「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 19】Step3

259 弦の振動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ギターの弦のように両端が固定された弦に生じる定在波を扱う問題です。弦の押さえ方によって振動の条件がどう変わるかを理解し、波の基本式を適用する能力が問われます。
この問題の核心は、「強く押さえる」場合と「軽く押さえる」場合の物理的な状況の違いを正確に把握することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弦の定在波と固有振動」です。特に、ギターの奏法における「通常の押弦」と「ハーモニクス奏法」の物理的な違いに対応しています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
弦の端から \(\displaystyle\frac{3}{4}L\) の場所を「強く押さえる」と、そこが新しい固定端（節）となります。つまり、振動する弦の長さが、元の \(L\) から \(\displaystyle\frac{3}{4}L\) に短くなります。この短くなった弦で生じる「基本振動」の振動数を求めます。
この設問における重要なポイント

• 波の速さの不変性: 弦の材質や張力は変わらないので、弦を伝わる波の速さ \(v\) は、どこも押さえないときと同じです。
• 新しい弦長: 振動する部分の弦の長さは \(L’ = \displaystyle\frac{3}{4}L\) となります。
• 基本振動: この新しい弦長 \(L’\) での基本振動を考えます。基本振動では、弦の長さが半波長に等しくなります。

具体的な解説と立式
まず、問題の冒頭で与えられた条件から、弦を伝わる波の速さ \(v\) を求めます。
どこも押さえないとき、弦の長さは \(L\) で、両端が節の基本振動が生じます。このときの波長を \(\lambda_0\) とすると、腹が1つの状態なので、
$$ L = \frac{\lambda_0}{2} \quad \text{より} \quad \lambda_0 = 2L $$
このときの振動数が \(f_0 = 330 \text{ Hz}\) なので、波の基本式 \(v=f\lambda\) から、
$$ v = f_0 \lambda_0 = 330 \times 2L = 660L \quad \cdots ① $$
この速さ \(v\) は、弦の状態が変わっても一定です。

次に、(1)の状況を考えます。
強く押さえたことで、振動する弦の長さは \(L’ = \displaystyle\frac{3}{4}L\) となります。
この弦で基本振動が生じるので、その波長を \(\lambda_1\) とすると、
$$ L’ = \frac{\lambda_1}{2} \quad \text{より} \quad \lambda_1 = 2L’ = 2 \times \left(\frac{3}{4}L\right) = \frac{3}{2}L \quad \cdots ② $$
求める振動数を \(f_1\) とすると、波の基本式は、
$$ v = f_1 \lambda_1 \quad \cdots ③ $$

式①、②、③から \(v\), \(\lambda_1\) を消去して \(f_1\) を求めます。
式③に式①と式②を代入します。
$$
\begin{aligned}
660L &= f_1 \times \frac{3}{2}L
\end{aligned}
$$
両辺を \(L\) で割り、\(f_1\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
f_1 &= 660 \times \frac{2}{3} \\[2.0ex]&= 220 \times 2 \\[2.0ex]&= 440 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$

ギターの弦は、フレットを押さえて弦を短くすると、音が高くなります。(1)は、弦の長さを元の \(\displaystyle\frac{3}{4}\) にしたのと同じです。弦の長さが \(\displaystyle\frac{3}{4}\) 倍になると、音の高さ（振動数）は逆数の \(\displaystyle\frac{4}{3}\) 倍になります。したがって、元の振動数 \(330 \text{ Hz}\) を \(\displaystyle\frac{4}{3}\) 倍することで、新しい振動数を計算できます。

求める振動数は \(440 \text{ Hz}\) です。
弦長が \(L\) から \(\displaystyle\frac{3}{4}L\) へと短くなったので、振動数は高くなるはずです。\(440 \text{ Hz} > 330 \text{ Hz}\) であり、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)と同じ場所を「軽く押さえる」と、弦全体の長さ \(L\) は変わらないまま、押さえた点（端から \(\displaystyle\frac{3}{4}L\) の位置）が強制的に定在波の「節」になります。両端も節なので、この3点が節となるような定在波を考えます。このような条件を満たすのは、基本振動ではなく、腹が複数ある高次の振動（倍振動）になります。条件を満たす最も単純な（＝最も振動数が低い）定在波の振動数を求めます。
この設問における重要なポイント

• 振動領域: 弦全体の長さ \(L\) で振動が起こります。
• 節の条件: 両端（位置 0 と \(L\)）に加えて、位置 \(x = \displaystyle\frac{3}{4}L\) も節になります。
• 倍振動: この条件を満たす定在波は、腹が複数ある倍振動です。そのモード（腹がいくつあるか）を特定することが鍵となります。

具体的な解説と立式
弦の全長 \(L\) にわたって定在波が生じ、両端と \(x = \displaystyle\frac{3}{4}L\) の点が節になります。
節と節の間隔は、半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda_2}{2}\) の整数倍でなければなりません。
したがって、端(0)から \(\displaystyle\frac{3}{4}L\) までの距離と、\(\displaystyle\frac{3}{4}L\) からもう一方の端(\(L\))までの距離について、
$$ \frac{3}{4}L = m_1 \times \frac{\lambda_2}{2} \quad \cdots ① $$
$$ L – \frac{3}{4}L = \frac{1}{4}L = m_2 \times \frac{\lambda_2}{2} \quad \cdots ② $$
が成り立ちます。ここで \(m_1, m_2\) は自然数です。
問題では、この条件で生じる音を問うているので、最も単純な（＝\(m_1, m_2\) が最小の自然数となる）場合を考えます。

式①と②の比をとると、
$$ \frac{\frac{3}{4}L}{\frac{1}{4}L} = \frac{m_1}{m_2} \quad \rightarrow \quad \frac{m_1}{m_2} = 3 $$
これを満たす最小の自然数の組は \(m_1 = 3, m_2 = 1\) です。
このとき、弦全体には \(n = m_1 + m_2 = 3 + 1 = 4\) 個の腹がある4倍振動が生じていることがわかります。

波長 \(\lambda_2\) を求めるために、式②に \(m_2=1\) を代入します。
$$ \frac{1}{4}L = 1 \times \frac{\lambda_2}{2} \quad \rightarrow \quad \lambda_2 = \frac{L}{2} \quad \cdots ③ $$
求める振動数を \(f_2\) とすると、波の基本式は、
$$ v = f_2 \lambda_2 \quad \cdots ④ $$
波の速さ \(v\) は(1)で求めたものと同じです。
$$ v = 660L \quad \cdots ⑤ $$

式④に式③と式⑤を代入します。
$$
\begin{aligned}
660L &= f_2 \times \frac{L}{2}
\end{aligned}
$$
両辺を \(L\) で割り、\(f_2\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= 660 \times 2 \\[2.0ex]&= 1320 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えるため、\(1.32 \times 10^3 \text{ Hz}\) とします。

ギターの弦の途中を軽く触れて弾くと、キーンという高い音が出ます。これはハーモニクスという奏法で、基本の音の整数倍の高さの音（倍音）を取り出すテクニックです。弦の \(\displaystyle\frac{3}{4}\) の場所を触れると、弦全体が4つの「こぶ」を持って振動する「4倍振動」という状態になります。音の高さは基本の音の4倍になるので、元の振動数 \(330 \text{ Hz}\) を4倍して計算します。

求める振動数は \(1.32 \times 10^3 \text{ Hz}\) です。
この値は、基本振動数 \(f_0 = 330 \text{ Hz}\) のちょうど4倍（\(4 \times 330 = 1320\)）になっています。これは、生じた振動が4倍振動であることを裏付けており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の基本式 \(v=f\lambda\) と速さの不変性:
  • 核心: 弦を伝わる波の速さ \(v\) は、弦の張力と線密度のみで決まります。問題の操作（押さえる場所や方法を変える）ではこれらは変化しないため、\(v\) は一貫して同じ値をとります。この「速さの不変性」を基点として、各設問の \(f\) と \(\lambda\) の関係を考えるのが、この問題の最も重要なアプローチです。
  • 理解のポイント: まず初めに与えられた基本振動の情報（\(f_0=330 \text{ Hz}\), \(\lambda_0=2L\)）から \(v=660L\) という関係を導き出し、これを(1)と(2)の両方で「共通の定数」として利用します。
• 定在波の形成条件（境界条件）:
  • 核心: 弦の振動で生じる音は、弦の長さや固定のされ方によって決まる「定在波」のパターンによって決まります。この問題では、そのパターンが「強く押さえる」か「軽く押さえる」かで劇的に変わることを理解するのが核心です。
  • 理解のポイント:
    1. (1) 強く押さえる: 押さえた点が新たな「固定端（節）」となり、振動する部分の長さそのものが変わります。\(L’ = \displaystyle\frac{3}{4}L\) という新しい弦長での基本振動を考えます。
    2. (2) 軽く押さえる: 弦の長さは \(L\) のまま変わらず、押さえた点が強制的に節になるという制約が加わります。これにより、基本振動ではなく、その条件を満たす高次の振動（倍振動）が選択的に励起されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 開管・閉管の気柱の共鳴: 弦の振動と同様に、管の長さと開口端（腹）か閉口端（節）かという境界条件によって共鳴する音の高さが決まります。管の途中に仕切りを入れる問題は(1)に、管の途中で音を鳴らして共鳴させる問題は(2)の考え方に類似します。
  • 他のハーモニクス奏法: ギターで弦の中央（\(\displaystyle\frac{1}{2}L\)）を軽く押さえて弾くと、2倍振動（1オクターブ上の音）が生じます。\(\displaystyle\frac{1}{3}L\) の位置なら3倍振動が生じます。本問の(2)は、このハーモニクス奏法の原理そのものです。
  • 膜の振動: 太鼓の皮のような2次元の膜の振動も、境界（膜の縁）が固定されているため、特定のパターンの定在波（固有振動）しか生じません。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波の速さ \(v\) は一定か？: まず、弦の張力や材質が変わっていないかを確認します。変わっていなければ、\(v\) は一定として扱えます。
  2. 境界条件はどうなっているか？: 弦のどこが「節」になり、どこが「腹」になるのかを図示します。「強く押さえる」「固定する」は節、「自由端」「開口端」は腹、と読み替えます。
  3. 振動領域の長さはどこか？: 実際に波が立っている区間の長さを正確に把握します。(1)のように弦長そのものが変わるのか、(2)のように弦長は同じで振動のパターンが変わるだけなのかを区別することが最重要です。
  4. 問われているのは基本振動か、倍振動か？: 問題文から、腹が1つの最も単純な振動を求められているのか、それとも特定の条件を満たす高次の振動なのかを読み取ります。「生じる音は」とだけ問われた場合は、通常、最も振動数が低い（波長が長い）ものを答えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• (1)と(2)の状況の混同:
  • 誤解: 「強く押さえる」と「軽く押さえる」の違いが分からず、(2)でも(1)と同じように弦長が \(\displaystyle\frac{3}{4}L\) になると考えてしまう。あるいは、(1)で(2)のように倍振動を考えてしまう。
  • 対策: 「強く押さえる＝弦を短くする」、「軽く押さえる＝ハーモニクス（倍振動の選択）」という物理的なイメージを明確に区別して覚えましょう。ギターを弾く人なら実際の奏法と結びつけると忘れません。
• 波長の計算ミス:
  • 誤解: 腹が \(n\) 個ある定在波の波長を \(\lambda = \displaystyle\frac{L}{n}\) のように誤って覚えてしまう。
  • 対策: 必ず図を描いて確認する習慣をつけましょう。弦長 \(L\) の中に腹が \(n\) 個ある（＝半波長が \(n\) 個ある）ので、\(L = n \times \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) という関係が成り立ちます。ここから \(\lambda = \displaystyle\frac{2L}{n}\) と正しく導出できます。
• 基本振動数と弦長の関係の誤認:
  • 誤解: 弦長が短くなると振動数も低くなると勘違いする。
  • 対策: \(f = \displaystyle\frac{v}{2l}\) の関係から、振動数 \(f\) は弦長 \(l\) に反比例することを明確に意識しましょう。「短い弦ほど高い音が出る」という日常的な感覚と結びつけると間違いにくくなります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 定在波の図を必ず描く: この種の問題は、図を描くことが全てと言っても過言ではありません。
    • 基準状態: 全長 \(L\) で腹が1つの基本振動の図を描く。
    • (1)の状況: 長さ \(\displaystyle\frac{3}{4}L\) の弦を描き、その中に腹が1つの基本振動を描く。
    • (2)の状況: 全長 \(L\) の弦を描き、両端と \(\displaystyle\frac{3}{4}L\) の位置に「節」の印（●）をつけます。この3つの節を結ぶ最も滑らかで単純な波形（腹が4つの波）を描いてみる。これにより、4倍振動であることが視覚的に一目瞭然となります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 節と腹を明確に: 節は点で、腹は振動の最大振幅を示す曲線で描きます。
  • 波長との関係を書き込む: 描いた図に、半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) がどの区間に対応するかを書き込むと、立式が容易になります。
  • モード（\(n\)）を明記する: 図の横に \(n=1\)（基本振動）、\(n=4\)（4倍振動）のようにモード番号を書いておくと、思考が整理されます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本式 (\(v=f\lambda\)):
  • 選定理由: 波の3つの基本要素（速さ、振動数、波長）の関係を表す最も普遍的な公式だからです。この問題では、未知の振動数 \(f\) を、計算で求まる \(v\) と \(\lambda\) から導出するために用います。
  • 適用根拠: 弦の振動、音波、光など、あらゆる波に適用できる基本法則です。
• 定在波の波長と弦長の関係 (\(L = n \cdot \frac{\lambda}{2}\)):
  • 選定理由: 弦の長さという幾何学的な制約（境界条件）が、そこに存在できる波の波長 \(\lambda\) をどのように制限するかを数式で表現するためです。
  • 適用根拠: 両端が節という条件から、弦の長さは半波長の整数倍でなければならない、という物理的要請に基づいています。
• 固有振動数の公式 (\(f_n = n f_0\)):
  • 選定理由: (2)の別解のように、定在波の振動数がとびとびの値（基本振動数の整数倍）になるという性質を利用するため。これにより、波長や速さを経由せずに、直接モード \(n\) から振動数を求めることができます。
  • 適用根拠: \(f_n = \displaystyle\frac{v}{\lambda_n} = \frac{v}{2L/n} = n \left(\frac{v}{2L}\right) = n f_0\) という導出からわかるように、上記の2つの公式から導かれる便利な関係式です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 準備段階（共通）:
   • 戦略: まず、すべての計算の土台となる波の速さ \(v\) を求める。
   • フロー: ①基準状態（全長 \(L\)、基本振動）の図を描く → ②波長 \(\lambda_0 = 2L\) を求める → ③波の基本式 \(v = f_0 \lambda_0\) に値を代入し、\(v = 660L\) を導出する。
2. (1) 強く押さえた場合:
   • 戦略: 短くなった弦での基本振動を考える。
   • フロー: ①振動する弦長 \(L’ = \displaystyle\frac{3}{4}L\) を確認 → ②この弦での基本振動の波長 \(\lambda_1 = 2L’ = \displaystyle\frac{3}{2}L\) を求める → ③波の基本式 \(v = f_1 \lambda_1\) に \(v\) と \(\lambda_1\) を代入し、\(f_1\) を解く。
3. (2) 軽く押さえた場合:
   • 戦略: 全長 \(L\) のままで、指定された点が節になる条件を満たす倍振動モードを特定する。
   • フロー: ①全長 \(L\) で、\(x=0, \displaystyle\frac{3}{4}L, L\) が節になる図を描く → ②この条件を満たす波長 \(\lambda_2\) を求める（節の間隔が \(\displaystyle\frac{\lambda_2}{2}\) の整数倍になることから、\(\lambda_2 = \displaystyle\frac{L}{2}\) を導出） → ③波の基本式 \(v = f_2 \lambda_2\) に \(v\) と \(\lambda_2\) を代入し、\(f_2\) を解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める:
  • (1)の別解のように、比例関係を使うと計算が楽になります。\(f_1 = f_0 \times \displaystyle\frac{L}{L’} = 330 \times \frac{L}{(3/4)L} = 330 \times \frac{4}{3}\)。
  • (2)では、\(f_2 = \displaystyle\frac{v}{\lambda_2} = \frac{660L}{L/2} = 660 \times 2\)。このように、最後まで文字（\(L\)）を残して計算すると、約分によって計算が簡単になり、ミスが減ります。
• 分数の計算を丁寧に:
  • \(\displaystyle\frac{L}{(3/4)L}\) のような繁分数の計算は、逆数を掛ける（\(\times \frac{4}{3}\)）と落ち着いて処理しましょう。
• 比を利用する:
  • (2)のメインの解法では、節の間隔の比からモードを特定しました。\(\displaystyle\frac{3}{4}L : \frac{1}{4}L = 3:1\)。この比から、腹の数も \(3:1\) の比で分かれ、合計4個の腹（4倍振動）になると直感的に理解できます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 振動数 \(f_1 = 440 \text{ Hz}\): 弦を短くしたので、音は高くなるはずです。\(440 \text{ Hz} > 330 \text{ Hz}\) であり、直感と一致します。
  • (2) 振動数 \(f_2 = 1320 \text{ Hz}\): ハーモニクスは元の音より高い倍音を取り出す奏法なので、振動数は必ず高くなります。\(1320 \text{ Hz}\) は基本振動数 \(330 \text{ Hz}\) のちょうど4倍であり、4倍振動が生じたという解析結果と完全に一致します。この整数倍の関係が確認できれば、答えの正しさに自信が持てます。
• 別解との比較:
  • (1), (2)ともに、2つの異なるアプローチ（波の基本式を愚直に使う方法と、固有振動の性質を利用する方法）で同じ答えが得られました。これは、計算の正しさと物理的理解の確かさを裏付ける強力な証拠となります。特に(2)で、波長から計算した結果と、モード番号から計算した結果が一致することの確認は非常に重要です。

260 弦の振動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、「弦の振動」と「気柱の共鳴」という2つの波動現象を組み合わせた複合問題です。うなりの情報から未知の振動数を特定し、さらに弦の振動が音源となって気柱を共鳴させるという、一連の物理プロセスを追う必要があります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「うなり・弦の固有振動・気柱の共鳴」です。複数の物理現象が連動しており、それぞれの関係を正しく理解することが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
弦の基本振動の振動数 \(f_1\) を求める問題です。\(f_1\) は未知ですが、2つの既知の振動数のおんさ（\(332 \text{ Hz}\) と \(344 \text{ Hz}\)）との間で、どちらとも \(6 \text{ Hz}\) のうなりを生じることが分かっています。この2つの条件を同時に満たす \(f_1\) を見つけ出します。その後、弦の速さを計算します。
この設問における重要なポイント

• うなりの公式: うなりの振動数 \(f_{\text{うなり}}\) は、2つの音源の振動数の差の絶対値、\(f_{\text{うなり}} = |f_a – f_b|\) で与えられます。
• 2つの条件の利用: 2つのおんさの情報を使うことで、\(f_1\) の候補を一つに絞り込むことができます。
• 弦の基本振動の波長: 長さ \(l\) の弦の基本振動では、腹が1つなので、波長 \(\lambda_1\) は弦の長さの2倍、\(\lambda_1 = 2l\) となります。

具体的な解説と立式
弦の基本振動の振動数を \(f_1\) [Hz] とします。
おんさ1（\(332 \text{ Hz}\)）との間に \(6 \text{ Hz}\) のうなりが生じるので、うなりの公式から、
$$ |f_1 – 332| = 6 \quad \cdots ① $$
この式から、\(f_1\) は \(332+6=338 \text{ Hz}\) または \(332-6=326 \text{ Hz}\) のどちらかです。

おんさ2（\(344 \text{ Hz}\)）との間に \(6 \text{ Hz}\) のうなりが生じるので、同様に、
$$ |f_1 – 344| = 6 \quad \cdots ② $$
この式から、\(f_1\) は \(344+6=350 \text{ Hz}\) または \(344-6=338 \text{ Hz}\) のどちらかです。

\(f_1\) は両方の条件を同時に満たす必要があるので、共通する値は \(338 \text{ Hz}\) と決まります。

次に、弦を伝わる波の速さ \(v_{\text{弦}}\) を求めます。
弦の長さは \(l = 0.800 \text{ m}\) で、基本振動なので、その波長 \(\lambda_1\) は、
$$ \lambda_1 = 2l = 2 \times 0.800 = 1.60 \text{ m} \quad \cdots ③ $$
波の基本式 \(v=f\lambda\) を用いて、
$$ v_{\text{弦}} = f_1 \lambda_1 \quad \cdots ④ $$

まず、\(f_1\) を求めます。
式①より、\(f_1 = 332 \pm 6\) なので、\(f_1 = 338 \text{ Hz}\) または \(f_1 = 326 \text{ Hz}\)。
式②より、\(f_1 = 344 \pm 6\) なので、\(f_1 = 350 \text{ Hz}\) または \(f_1 = 338 \text{ Hz}\)。
両方を満たすのは、
$$ f_1 = 338 \text{ [Hz]} $$
次に、\(v_{\text{弦}}\) を計算します。式④に求めた \(f_1\) と式③の \(\lambda_1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{弦}} &= 338 \times 1.60 \\[2.0ex]&= 540.8 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えると、\(541 \text{ m/s}\) となります。

うなりが「1秒間に6回」ということは、弦の音の高さ（振動数）と、おんさの音の高さの差が「6 Hz」だということです。332 Hzのおんさとの差が6、344 Hzのおんさとの差も6になるような音の高さを探します。数直線で考えると、332と344のちょうど真ん中の音、つまり338 Hzが答えだとわかります。弦の速さは、この振動数と、弦の基本振動のときの波長（弦の長さの2倍）を掛け算して求めます。

弦の基本振動の振動数は \(338 \text{ Hz}\)、弦を伝わる波の速さは \(541 \text{ m/s}\) です。
うなりの問題では、候補が2つ出ることが多いですが、本問のように条件が2つ与えられることで一意に定まる典型的なパターンです。計算結果も物理的に妥当な範囲です。

問(2)

思考の道筋とポイント
弦に2倍振動を起こさせ、その音で閉管を共鳴させる問題です。まず、弦の2倍振動の振動数 \(f_2\) を求めます。この \(f_2\) が、閉管を共鳴させる音波の振動数になります。次に、音速 \(v_{\text{音}}\) と振動数 \(f_2\) から音波の波長 \(\lambda_{\text{音}}\) を計算し、最後に閉管の基本振動の共鳴条件を使って管の長さ \(L\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 弦の倍振動: 弦の \(n\) 倍振動の振動数 \(f_n\) は、基本振動数 \(f_1\) の \(n\) 倍、つまり \(f_n = n f_1\) です。
• 音源の引き継ぎ: 弦の振動が音源となり、周囲の空気を同じ振動数で振動させます。したがって、発生する音波の振動数は、弦の振動数と等しくなります。
• 閉管の基本共鳴: 長さ \(L\) の閉管が基本振動で共鳴するとき、管長は波長の4分の1に等しくなります (\(L = \displaystyle\frac{\lambda_{\text{音}}}{4}\))。

具体的な解説と立式
まず、弦の2倍振動の振動数 \(f_2\) を求めます。
弦の固有振動数の関係から、
$$ f_2 = 2 f_1 \quad \cdots ① $$
ここで \(f_1\) は(1)で求めた基本振動数 \(338 \text{ Hz}\) です。

この弦の振動によって発生する音波が閉管を共鳴させます。したがって、音波の振動数 \(f_{\text{音}}\) は \(f_2\) に等しくなります。
$$ f_{\text{音}} = f_2 \quad \cdots ② $$
この音波の速さは \(v_{\text{音}} = 340 \text{ m/s}\) と与えられています。波の基本式から、音波の波長 \(\lambda_{\text{音}}\) は、
$$ v_{\text{音}} = f_{\text{音}} \lambda_{\text{音}} \quad \cdots ③ $$
閉管は基本振動で共鳴したので、閉管の長さ \(L\) と音波の波長 \(\lambda_{\text{音}}\) の間には次の関係があります。
$$ L = \frac{\lambda_{\text{音}}}{4} \quad \cdots ④ $$

まず、式①から \(f_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= 2 \times 338 \\[2.0ex]&= 676 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$
したがって、音波の振動数も \(f_{\text{音}} = 676 \text{ Hz}\) です。
次に、式③を \(\lambda_{\text{音}}\) について解き、値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\lambda_{\text{音}} &= \frac{v_{\text{音}}}{f_{\text{音}}} \\[2.0ex]&= \frac{340}{676} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
最後に、式④にこの \(\lambda_{\text{音}}\) を代入して \(L\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
L &= \frac{1}{4} \lambda_{\text{音}} \\[2.0ex]&= \frac{1}{4} \times \frac{340}{676} \\[2.0ex]&= \frac{85}{676} \\[2.0ex]&\approx 0.1257… \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で答えると、\(0.126 \text{ m}\) となります。

(1)で求めた弦の基本の音（338 Hz）の、1オクターブ上の音（2倍の振動数、676 Hz）を鳴らします。この音を使って、片方が閉じた筒を共鳴させます。筒が基本の形で共鳴するとき、筒の長さは音の波長の「4分の1」になります。まず「音速÷振動数」で音の波長を計算し、それを4で割れば、筒の長さが求まります。

閉管の長さは \(0.126 \text{ m}\)（\(12.6 \text{ cm}\)）です。
弦の振動数と音波の振動数が等しいこと、閉管の共鳴条件を正しく適用できるかがポイントです。計算結果も現実的な管の長さであり、妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• うなりの公式 (\(f_{\text{うなり}} = |f_a – f_b|\)):
  • 核心: (1)の前半は、この公式を応用して未知の振動数を特定する典型問題です。振動数 \(f_1\) の音源が、\(f_{\text{おんさ1}}\) とも \(f_{\text{おんさ2}}\) とも同じ回数のうなりを生じる、という条件が鍵です。これは、\(f_1\) が \(f_{\text{おんさ1}}\) と \(f_{\text{おんさ2}}\) のちょうど中間の値であることを意味します。
  • 理解のポイント: \(|f_1 – 332| = 6\) と \(|f_1 – 344| = 6\) という2つの連立方程式を解く問題と捉えます。数直線をイメージすると、2つの定点（332, 344）から等距離（距離6）にある点を求めることになり、それが2点の中点（338）であると直感的に理解できます。
• 弦の固有振動と気柱の共鳴の連動:
  • 核心: この問題は、弦の振動という「第1の現象」が、音波という形でエネルギーを伝え、気柱の共鳴という「第2の現象」を引き起こす、という連動したプロセスを扱っています。この2つの現象を結びつけるのが「振動数」です。
  • 理解のポイント:
    1. 振動数の引き継ぎ: 弦が振動数 \(f\) で振動すると、周囲の空気も強制的に同じ振動数 \(f\) で振動させられ、音波が発生します。この「振動数は保存される」という点が、2つの現象をつなぐ橋渡しとなります。
    2. 波の種類の違い: 弦を伝わるのは「横波」であり、その速さは \(v_{\text{弦}}\) です。一方、空気中を伝わるのは「縦波（音波）」であり、その速さは \(v_{\text{音}}\) です。同じ振動数でも、媒質が違うため速さと波長は異なります。この区別を明確にすることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ドップラー効果とうなり: 観測者に近づいてくるおんさと、静止しているおんさの音を同時に聞いたときのうなりを考える問題など、他の波動現象とうなりが組み合わされることがあります。
  • 開管との共鳴: 本問が閉管だったのに対し、両端が開いた開管を共鳴させる問題も考えられます。その場合、基本共鳴の条件は \(L = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) となります。
  • 弦の張力を変える問題: 弦につるすおもりの質量を変えると、弦の張力が変わり、波の速さ \(v_{\text{弦}}\) が変化します。その結果、振動数も変わるという設定の問題も頻出です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 現象の分解: 問題文を読み、いくつの独立した物理現象（うなり、弦の振動、気柱の共鳴、ドップラー効果など）が含まれているかを把握します。
  2. 現象間のつながりを探す: 各現象を結びつけている物理量は何かを見抜きます。本問では「振動数」がその役割を担っていました。
  3. 各現象の条件を整理: 弦であれば「長さ、固定端、腹の数」、気柱であれば「開管か閉管か、長さ、共鳴の次数」といった、それぞれの現象を特徴づける条件を正確にリストアップします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波の速さの混同:
  • 誤解: (2)で気柱の長さを計算する際に、(1)で求めた弦を伝わる波の速さ \(v_{\text{弦}} = 541 \text{ m/s}\) を誤って使ってしまう。
  • 対策: 「何の波」が「どの媒質」を伝わっているのかを常に意識しましょう。弦の振動はあくまで音源であり、気柱を共鳴させるのは「空気中を伝わる音波」です。したがって、音速 \(v_{\text{音}} = 340 \text{ m/s}\) を使わなければなりません。
• 振動数の計算ミス:
  • 誤解: (2)で、弦の2倍振動の振動数を計算せず、(1)で求めた基本振動数 \(f_1 = 338 \text{ Hz}\) をそのまま音源の振動数として使ってしまう。
  • 対策: 問題文の「図2のような2倍振動を起こさせ」という記述を正確に読み取りましょう。\(n\)倍振動の振動数は基本振動数の\(n\)倍 (\(f_n = n f_1\)) であることを確実に適用します。
• 気柱の共鳴条件の間違い:
  • 誤解: 閉管の基本共鳴の条件を、開管の条件 \(L = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) と混同してしまう。
  • 対策: 「閉管は節・腹」で \(L=\lambda/4\), 「開管は腹・腹」で \(L=\lambda/2\) と、必ず図をイメージして条件式を導き出せるようにしておきましょう。暗記だけに頼ると間違いやすいポイントです。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • うなりの数直線イメージ: (1)の振動数決定では、数直線を描き、332と344の位置に印をつけます。それぞれの点から距離6となる点を考えると、338が唯一の共通点であることが視覚的にわかります。
  • 現象の連鎖の図解: 弦の振動から気柱の共鳴への流れを、各段階の物理量とともに整理すると、思考がクリアになり、どの数値をどこで使うべきかが一目瞭然になります。
    • ステップ1：弦の2倍振動（音源）
      • 振動数: \(f_2 = 2f_1 = 676 \text{ Hz}\)
      • 弦を伝わる波の速さ: \(v_{\text{弦}} = 541 \text{ m/s}\)
      • 弦の定在波の波長: \(\lambda_{\text{弦}} = l = 0.800 \text{ m}\)
    • ステップ2：音波（伝達）
      • 弦の振動が空気を振動させ、音波が発生します。振動数は引き継がれます。
      • 音波の振動数: \(f_{\text{音}} = f_2 = 676 \text{ Hz}\)
      • 音波の速さ: \(v_{\text{音}} = 340 \text{ m/s}\)
      • 音波の波長: \(\lambda_{\text{音}} = \displaystyle\frac{v_{\text{音}}}{f_{\text{音}}}\)
    • ステップ3：閉管の基本振動（共鳴）
      • この音波が閉管を共鳴させます。
      • 共鳴する振動数: \(f_{\text{音}} = 676 \text{ Hz}\)
      • 閉管内の音速: \(v_{\text{音}} = 340 \text{ m/s}\)
      • 共鳴条件から決まる管の長さ: \(L = \displaystyle\frac{\lambda_{\text{音}}}{4}\)

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• うなりの公式 (\(f_{\text{うなり}} = |f_a – f_b|\)):
  • 選定理由: (1)で、問題文に「うなり」というキーワードがあり、その回数が与えられているため。未知の振動数 \(f_1\) を決定するための主要な手がかりです。
  • 適用根拠: 2つの波の重ね合わせによって振幅が周期的に変化する現象を記述する、実験的に確立された関係式です。
• 弦の固有振動数の関係式 (\(f_n = n f_1\)):
  • 選定理由: (2)で「2倍振動」という、基本振動ではない特定のモードが指定されているため。その振動数を基本振動数から計算する必要があります。
  • 適用根拠: 弦の定在波の波長が \(\lambda_n = 2l/n\) となることから、\(f_n = v/\lambda_n = n(v/2l) = n f_1\) として導出される、弦の振動の基本特性です。
• 閉管の共鳴条件 (\(L = \lambda/4\)):
  • 選定理由: (2)で「閉管」が「基本振動で共鳴」したと明記されているため。管の長さと、共鳴している音波の波長を結びつけるために必須の公式です。
  • 適用根拠: 閉管の口（開口端）が腹、底（閉口端）が節となるという境界条件を満たす最も単純な定在波の形が、長さ\(L\)の管に1/4波長が収まる形であることから導かれます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 振動数と弦の速さの計算:
   • 戦略: うなりの情報から振動数を特定し、波の基本式で速さを求める。
   • フロー: ①うなりの公式を2つのおんさに対して立式 (\(|f_1 – 332| = 6\), \(|f_1 – 344| = 6\)) → ②連立方程式を解き、\(f_1 = 338 \text{ Hz}\) を特定 → ③弦の基本振動の波長を計算 (\(\lambda_1 = 2l = 1.60 \text{ m}\)) → ④波の基本式 \(v_{\text{弦}} = f_1 \lambda_1\) に値を代入して \(v_{\text{弦}}\) を計算。
2. (2) 閉管の長さの計算:
   • 戦略: 弦の振動数を音源とし、閉管の共鳴条件から長さを逆算する。
   • フロー: ①弦の2倍振動の振動数を計算 (\(f_2 = 2f_1 = 676 \text{ Hz}\)) → ②これが音波の振動数 \(f_{\text{音}}\) となることを確認 → ③音波の波長を計算 (\(\lambda_{\text{音}} = v_{\text{音}} / f_{\text{音}}\)) → ④閉管の基本共鳴の条件式 \(L = \lambda_{\text{音}}/4\) に値を代入して \(L\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の換算を確実に行う: 弦の長さが \(80.0 \text{ cm}\) で与えられているので、計算の最初に \(0.800 \text{ m}\) に変換するのを忘れないようにしましょう。他の物理量（速さなど）がm/sで与えられているため、単位をmに統一することが不可欠です。
• 有効数字を意識する: 問題文で与えられている数値（80.0cm, 332Hz, 344Hz, 340m/s）がいずれも有効数字3桁です。したがって、最終的な答えも有効数字3桁でまとめるのが適切です。計算途中の値は、1桁多く（4桁程度）保持しておくと、丸め誤差を減らせます。\(v_{\text{弦}} = 540.8 \rightarrow 541\), \(L = 0.1257… \rightarrow 0.126\)。
• 分数のまま計算を進める: (2)の計算では、\(L = \frac{1}{4} \times \frac{340}{676}\) のように、途中で小数に直さずに分数のまま計算を進め、最後の最後に電卓などで割り算を実行すると、精度が保たれやすくなります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 振動数: \(f_1=338\text{ Hz}\) は、おんさの振動数 \(332\text{ Hz}\) と \(344\text{ Hz}\) のちょうど中間の値であり、うなりの条件と完全に一致していて妥当です。
  • (2) 閉管の長さ: \(L=0.126\text{ m} = 12.6\text{ cm}\)。これは実験で使うようなガラス管の長さとして、ごく一般的なサイズです。もし答えが数kmや数mmになったら、どこかで計算ミスを疑うべきです。
• 思考プロセスの再確認:
  • (2)の計算で、弦の速さ \(v_{\text{弦}}\) ではなく音速 \(v_{\text{音}}\) を正しく使ったか？ 弦の振動数として基本振動 \(f_1\) ではなく2倍振動 \(f_2\) を正しく使ったか？ この2点がこの問題最大のトラップであり、解き終わった後にセルフチェックする重要なポイントです。

261 弦の振動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、電磁おんさによって強制的に振動させられる弦の定在波を扱います。おんさのつなぎ方（振動の向き）によって、弦に伝わる振動数がどう変わるか、また、弦の張力を変えることで波の速さがどう変わるかを総合的に理解する力が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弦の強制振動と固有振動」です。特に、駆動源であるおんさの振動方向が、弦の振動数にどう影響するかという点が最大のポイントです。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
図1の状況における波長と速さを求める問題です。波長は、弦の長さと腹の数から定在波の公式を使って求めます。速さは、波の基本式 \(v=f\lambda\) を使って計算しますが、そのためには振動数 \(f\) を知る必要があります。図1のつなぎ方では、弦はおんさと同じ振動数で振動します。
この設問における重要なポイント

• 定在波の条件: 長さ \(L=0.75 \text{ m}\) の区間に、腹が \(n=3\) 個の定在波ができています。
• 振動数の特定: 図1の横振動の場合、弦の振動数 \(f_1\) はおんさの振動数 \(f_{\text{おんさ}} = 150 \text{ Hz}\) と等しくなります。

具体的な解説と立式
まず、波長 \(\lambda_1\) を求めます。
長さ \(L = 0.75 \text{ m}\) の弦に、腹が \(n=3\) 個の定在波が生じているので、
$$ L = n \frac{\lambda_1}{2} \quad \cdots ① $$
次に、速さ \(v_1\) を求めます。
図1のつなぎ方（横振動）では、弦の振動数 \(f_1\) は電磁おんさの振動数 \(f_{\text{おんさ}}\) と等しくなります。
$$ f_1 = f_{\text{おんさ}} = 150 \text{ [Hz]} \quad \cdots ② $$
波の基本式より、
$$ v_1 = f_1 \lambda_1 \quad \cdots ③ $$

式①に \(L=0.75 \text{ m}\), \(n=3\) を代入して \(\lambda_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
0.75 &= 3 \times \frac{\lambda_1}{2} \\[2.0ex]\lambda_1 &= \frac{2 \times 0.75}{3} \\[2.0ex]&= \frac{1.50}{3} \\[2.0ex]&= 0.50 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
次に、式③に \(f_1 = 150 \text{ Hz}\) と求めた \(\lambda_1 = 0.50 \text{ m}\) を代入して \(v_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_1 &= 150 \times 0.50 \\[2.0ex]&= 75 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

波長は、弦の長さ（0.75 m）の中に、波の「山と谷」のセットがいくつ入っているかで決まります。腹が3つということは、波が1.5個入っているのと同じなので、波1個分の長さ（波長）は「0.75 m ÷ 1.5 = 0.50 m」となります。速さは「振動数 × 波長」で計算できます。図1のつなぎ方では、振動数は150 Hzなので、「150 × 0.50 = 75 m/s」となります。

図1のときの波長は \(0.50 \text{ m}\)、速さは \(75 \text{ m/s}\) です。
与えられた条件から、順を追って計算することで求められます。

問(2)

思考の道筋とポイント
図2と図1の弦の張力の比を求める問題です。弦の張力は、滑車につるされたおもりの重力によって決まります。それぞれの状況でのおもりの質量が与えられているので、それを使って張力の比を計算します。
この設問における重要なポイント

• 張力の源: 弦の張力 \(S\) は、おもりの重さ \(mg\) に等しいです。
• 質量の比較: 図1のおもりの質量は \(M\)、図2のおもりの質量は \(\displaystyle\frac{M}{4}\) です。

具体的な解説と立式
図1のときの弦の張力を \(S_1\)、図2のときの張力を \(S_2\) とします。重力加速度を \(g\) とすると、それぞれの張力は、おもりの重力とのつり合いから、
$$ S_1 = Mg \quad \cdots ① $$
$$ S_2 = \frac{M}{4} g \quad \cdots ② $$
求めるのは、\(S_2\) が \(S_1\) の何倍か、つまり比 \(\displaystyle\frac{S_2}{S_1}\) です。

式①と②から、比 \(\displaystyle\frac{S_2}{S_1}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{S_2}{S_1} &= \frac{\frac{M}{4} g}{Mg} \\[2.0ex]&= \frac{1}{4}
\end{aligned}
$$

張力は、おもりの重さによって決まります。図2のおもりの重さは、図1の \(\displaystyle\frac{1}{4}\) なので、張力も \(\displaystyle\frac{1}{4}\) 倍になります。

図2の弦の張力は、図1のときの \(\displaystyle\frac{1}{4}\) 倍です。

問(3)

思考の道筋とポイント
図2と図1の弦を伝わる波の速さの比を求める問題です。問題文に「弦を伝わる波の速さは、張力の大きさの平方根に比例する」という重要なヒントが与えられています。これと(2)で求めた張力の比を利用します。
この設問における重要なポイント

• 速さと張力の関係: \(v \propto \sqrt{S}\)
• 張力の比: (2)より \(\displaystyle\frac{S_2}{S_1} = \displaystyle\frac{1}{4}\)

具体的な解説と立式
弦を伝わる波の速さ \(v\) は、張力 \(S\) の平方根に比例するので、比例定数を \(k\) とすると、
$$ v = k \sqrt{S} $$
と書けます。図1と図2の速さをそれぞれ \(v_1, v_2\) とすると、
$$ v_1 = k \sqrt{S_1} \quad \cdots ① $$
$$ v_2 = k \sqrt{S_2} \quad \cdots ② $$
求めるのは、速さの比 \(\displaystyle\frac{v_2}{v_1}\) です。

式①と②から、比 \(\displaystyle\frac{v_2}{v_1}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{v_2}{v_1} &= \frac{k \sqrt{S_2}}{k \sqrt{S_1}} \\[2.0ex]&= \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}
\end{aligned}
$$
ここに(2)の結果 \(\displaystyle\frac{S_2}{S_1} = \displaystyle\frac{1}{4}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{v_2}{v_1} &= \sqrt{\frac{1}{4}} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

速さは、張力の平方根（ルート）に比例します。張力が \(\displaystyle\frac{1}{4}\) 倍になったので、速さはそのルートである \(\sqrt{\displaystyle\frac{1}{4}} = \displaystyle\frac{1}{2}\) 倍になります。

図2の弦を伝わる波の速さは、図1のときの \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 倍です。

問(4)

思考の道筋とポイント
図2と図1の弦の振動数の比を求める問題です。これは、この問題の核心部分であり、おんさのつなぎ方の違いを理解しているかが問われます。
この設問における重要なポイント

• 図1（横振動）の振動数: 弦はおんさと同じ振動数で振動する。\(f_1 = f_{\text{おんさ}} = 150 \text{ Hz}\)。
• 図2（縦振動）の振動数: おんさが1回振動する間に、弦は半周期分しか振動しない。つまり、弦の振動周期は、おんさの周期の2倍になる。したがって、弦の振動数 \(f_2\) は、おんさの振動数の半分になる。\(f_2 = \displaystyle\frac{1}{2} f_{\text{おんさ}} = 75 \text{ Hz}\)。

具体的な解説と立式
図1のときの弦の振動数 \(f_1\) は、おんさの振動数と等しいので、
$$ f_1 = 150 \text{ [Hz]} \quad \cdots ① $$
図2のときの弦の振動数 \(f_2\) は、おんさの振動数の半分になるので、
$$ f_2 = \frac{1}{2} \times 150 = 75 \text{ [Hz]} \quad \cdots ② $$
求めるのは、振動数の比 \(\displaystyle\frac{f_2}{f_1}\) です。

式①と②から、比 \(\displaystyle\frac{f_2}{f_1}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{f_2}{f_1} &= \frac{75}{150} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

図1の横向きの振動では、おんさが1回ブルっと震えると、弦も1回ブルっと震えます。しかし、図2の縦向きの振動では、おんさが上下に1往復する間に、弦は「一番下→真ん中→一番下」という半分の動きしかできません。そのため、弦の振動数は、おんさの振動数の半分になります。したがって、図2の振動数は図1の \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 倍です。

図2のときの弦を伝わる波の振動数は、図1のときの \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 倍です。
この結果は、(3)で求めた速さの比と一致します。波長は図1、図2ともに \(0.50 \text{ m}\) で同じなので（\(L=0.75, n=3\)より）、波の基本式 \(v=f\lambda\) から、\(v\) と \(f\) は比例関係にあります。したがって、速さが \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 倍になれば、振動数も \(\displaystyle\frac{1}{2}\) 倍になるはずで、物理的に矛盾のない結果となっています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 強制振動における振動数の決定則:
  • 核心: この問題の最大のポイントは、弦の振動数が常に駆動源（電磁おんさ）によって決まる「強制振動」である点です。さらに、その伝達のされ方がおんさの振動方向によって変わることを理解することが核心です。
  • 理解のポイント:
    1. 横振動（図1）: おんさの振動方向が弦の振動方向と一致。おんさが1回振動すると弦も1回振動します。よって \(f_{\text{弦}} = f_{\text{おんさ}}\)。
    2. 縦振動（図2）: おんさが上下に1往復する間に、弦は「最下点→中央→最下点」という半分の動きしか完了しません。つまり、弦の周期がおんさの周期の2倍になります。周期と振動数は逆数の関係なので、\(f_{\text{弦}} = \displaystyle\frac{1}{2}f_{\text{おんさ}}\) となります。
• 弦を伝わる波の速さの公式 (\(v = \sqrt{S/\rho}\)):
  • 核心: 弦を伝わる波の速さ \(v\) は、弦の性質（線密度\(\rho\)）と弦の状態（張力\(S\)）によって決まります。この問題では、同じ弦を使っているので \(\rho\) は一定で、おもりの質量を変えることで \(S\) を変化させています。
  • 理解のポイント: 公式から、速さ \(v\) は張力 \(S\) の平方根に比例する (\(v \propto \sqrt{S}\)) ことがわかります。この比例関係を使うことで、(2)で求めた張力の比から(3)の速さの比を簡単に導出できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • メルデの実験: 本問は、まさにメルデの実験と呼ばれる有名な実験を題材にしています。おんさの振動方向（横振動・縦振動）と、張力（おもりの重さ）や弦の長さを変えて、定在波の腹の数がどう変わるかを問う問題は頻出です。
  • スピーカーと弦の共振: 電磁おんさの代わりにスピーカーから音を出し、その音波で弦を振動させる問題もあります。この場合、弦は音波と同じ振動数で強制振動します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 振動源は何か？: まず、弦を振動させているのが何か（おんさ、スピーカーなど）を特定します。これは「強制振動」の問題であることを見抜く第一歩です。
  2. 振動数はどう決まるか？: 強制振動の場合、弦の振動数は振動源によって決まります。その関係（等しいか、半分かなど）を問題設定（特におんさの向き）から正確に読み取ります。
  3. 定在波の条件は何か？: 弦の長さ \(L\) と腹の数 \(n\) を確認し、波長 \(\lambda\) を \(L=n(\lambda/2)\) から求めます。
  4. 波の速さは何で変わるか？: 張力（おもりの重さ）や線密度（弦の種類）が変わっていないかを確認します。もし変わっていれば、速さも変化すると考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 振動数の誤認:
  • 誤解: 図1と図2で、弦の振動数が両方ともおんさの振動数(150Hz)と同じだと考えてしまう。
  • 対策: おんさの「縦振動」の場合は弦の振動数が半分になる、というメルデの実験の基本事項をしっかり理解し、図とセットで覚えておきましょう。なぜ半分になるのか、振動の様子をイメージできるようになることが重要です。
• 速さと張力の関係の誤用:
  • 誤解: 速さが張力に比例する (\(v \propto S\)) と勘違いし、(3)で速さの比を \(\displaystyle\frac{1}{4}\) 倍としてしまう。
  • 対策: 速さの公式 \(v = \sqrt{S/\rho}\) を正しく覚え、「速さは張力の平方根に比例する」ことを徹底しましょう。ギターのペグを少し回すだけで音が大きく変わるように、張力と速さ（音の高さ）の関係は線形ではない、とイメージするのも有効です。
• 独立した設問だと勘違いする:
  • 誤解: (3)や(4)を、(1)や(2)の結果を使わずに解こうとして混乱する。
  • 対策: この種の問題は、前の設問の結果を次の設問で使う、連鎖的な構造になっていることがほとんどです。(2)の張力比→(3)の速さ比→(4)の振動数比、という論理の流れを意識しましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • おんさと弦の動きの連動イメージ:
    • 横振動: おんさの腕が右に動けば弦も右に、左に動けば弦も左に引っ張られる。動きが1対1で対応している様子をイメージします。
    • 縦振動: おんさの腕が一番上に来たとき、弦は水平（中央）。一番下に来たときも弦は水平（中央）。おんさが中央を通過するときに弦の変位が最大（または最小）になります。この動きを頭の中で再生すると、おんさの1周期で弦が半周期しか進まないことが直感的に理解できます。問題の図にある矢印の動きを追うと良いでしょう。
  • 物理量の関係図: 各物理量（\(f, \lambda, v, S, M, n, L\)）が、どのようにお互いに影響し合っているかをリストで整理すると、思考がクリアになります。
    • おもりの質量(\(M\))は、張力(\(S\))を決め、張力(\(S\))は波の速さ(\(v\))を決めます。
    • おんさの向きは、振動数(\(f\))を決めます。
    • 弦長(\(L\))と腹の数(\(n\))は、波長(\(\lambda\))を決めます。

    そして、これら3グループの物理量は、最終的に波の基本式 \(v=f\lambda\) で結びつきます。この構造を理解することが、問題を解く上での羅針盤となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 定在波の式 (\(L=n\lambda/2\)):
  • 選定理由: (1)で、弦の長さと腹の数という幾何学的条件から、物理的な波長を求めるために必要だからです。
  • 適用根拠: 両端が節（またはそれに準ずる点）となる定在波では、弦長が半波長の整数倍になるという普遍的な条件に基づきます。
• 速さと張力の関係 (\(v \propto \sqrt{S}\)):
  • 選定理由: (3)で、張力の変化が速さにどう影響するかを計算するために必要です。問題文でこの関係が与えられているため、これを使うのが最も直接的です。
  • 適用根拠: 波の速さが媒質の復元力（張力）と慣性（線密度）に依存するという、より深い物理法則 (\(v=\sqrt{S/\rho}\)) の一部を適用しています。
• 波の基本式 (\(v=f\lambda\)):
  • 選定理由: (1)では波長と振動数から速さを、(4)の別解では速さと波長から振動数を求めるなど、3つの基本物理量（\(v, f, \lambda\)）のうち2つが分かっているときに残りの1つを求めるための万能ツールとして使います。
  • 適用根拠: 波が1周期(\(T\))の間に1波長(\(\lambda\))進むという定義 (\(v=\lambda/T\)) から導かれる、あらゆる波に共通の基本法則です。\(f=1/T\)なので\(v=f\lambda\)となります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 図1の波長と速さ:
   • 戦略: 定在波の条件から\(\lambda_1\)を、おんさの向きから\(f_1\)を求め、\(v_1=f_1\lambda_1\)で速さを出す。
   • フロー: ①\(L=3(\lambda_1/2)\)より\(\lambda_1\)を計算 → ②横振動なので\(f_1=150\)Hzと判断 → ③\(v_1=f_1\lambda_1\)で\(v_1\)を計算。
2. (2) 張力の比:
   • 戦略: おもりの質量の比から張力の比を求める。
   • フロー: ①\(S_1=Mg, S_2=(M/4)g\)と立式 → ②比\((S_2/S_1)\)を計算。
3. (3) 速さの比:
   • 戦略: \(v \propto \sqrt{S}\)の関係と(2)の結果を使う。
   • フロー: ①\((v_2/v_1) = \sqrt{S_2/S_1}\)と立式 → ②(2)で求めた張力比を代入して計算。
4. (4) 振動数の比:
   • 戦略: おんさの向きの違いから直接、振動数の比を求める。
   • フロー: ①図1は横振動なので\(f_1=f_{\text{おんさ}}\) → ②図2は縦振動なので\(f_2=(1/2)f_{\text{おんさ}}\) → ③比\((f_2/f_1)\)を計算。
   • （別解戦略）: \(f=v/\lambda\)と、(3)の速さ比、波長が不変であることから比を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比例関係を使いこなす: この問題は「〜は何倍か」という問いが多いのが特徴です。このような場合、具体的な数値をすべて計算するよりも、比例関係を使って比を計算する方が速く、間違いも少ないです。
  • \(S \propto M\) なので \(\displaystyle\frac{S_2}{S_1} = \frac{M_2}{M_1}\)
  • \(v \propto \sqrt{S}\) なので \(\displaystyle\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}\)
• 結果の整合性を確認する: (4)の別解で示したように、\(v=f\lambda\) という関係は常に成り立たなければなりません。図1と図2で波長\(\lambda\)が同じなので、速さの比\((v_2/v_1)\)と振動数の比\((f_2/f_1)\)は等しくなるはずです。(3)と(4)の答えが同じ\(\displaystyle\frac{1}{2}\)倍になったことを確認することで、解答の信頼性が高まります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理現象との対応を考える:
  • (2)おもりを軽くした(\(M \rightarrow M/4\)) → (3)弦の速さが遅くなった(\(v \rightarrow v/2\))。これは物理的に正しいです（張力が小さいほど速さは遅い）。
  • 図2では、図1に比べて速さが半分になっています。それにもかかわらず同じ波長（同じ腹の数）の定在波を作るためには、\(v=f\lambda\)の関係から、振動数\(f\)も半分にする必要があります。おんさの向きを縦振動に変える操作が、まさにこの「振動数を半分にする」という要請を満たしているのです。このように、各設問の結果が、一つの物理現象としてうまくつじつまが合っていることを確認する作業は、物理の深い理解につながります。

262 気柱の共鳴

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、両端が開いた管（開管）の長さを変えながら、気柱の共鳴（気柱の固有振動）を観測する実験を扱っています。開口端補正を考慮に入れる必要があるため、管の物理的な長さと、音響的な長さ（定在波が生じる実効的な長さ）の違いを理解することが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「開口端補正を考慮した開管の共鳴」です。管の長さを連続的に変えていくときの、隣り合う共鳴点の関係が核心となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
管の長さが \(L_1\) のときの節の数を求める問題です。開管では、管の長さが短い方から順に、基本振動（腹1つ）、2倍振動（腹2つ）、3倍振動（腹3つ）…と共鳴が起こります。それぞれの共鳴が起こるときの管の長さと波長 \(\lambda\) のおおよその関係は、\(L \approx m \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) となります。この関係と、与えられた近似式 \(L_2 \approx 1.5 L_1\) を使って、\(L_1\) と \(L_2\) がどの振動モードに対応するかを特定します。
この設問における重要なポイント

• 開管の共鳴モード: 開管では、腹の数 \(m\) が \(m=1, 2, 3, \dots\) となる全てのモードの共鳴が起こりえます。
• 管長とモードの関係（近似）: 開口端補正を無視すると、\(m\) 倍振動のときの管長 \(L_m\) は \(L_m \approx m \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) となります。
• 節の数: 開管の \(m\) 倍振動では、腹の数が \(m\) 個、節の数も \(m\) 個となります。

具体的な解説と立式
開管の共鳴は、管長が短い方から順に、基本振動（\(m=1\)）、2倍振動（\(m=2\)）、3倍振動（\(m=3\)）…と起こります。
開口端補正を無視した場合、それぞれの管の長さは、
基本振動: \(L \approx 1 \times \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)
2倍振動: \(L \approx 2 \times \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)
3倍振動: \(L \approx 3 \times \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)
となります。

\(L_1\) と \(L_2\) は隣り合う共鳴点なので、\(L_1\) が \(m\) 倍振動、\(L_2\) が \(m+1\) 倍振動に対応すると考えられます。
このとき、管長の比は、
$$ \frac{L_2}{L_1} \approx \frac{(m+1) \frac{\lambda}{2}}{m \frac{\lambda}{2}} = \frac{m+1}{m} $$
問題文の条件 \(L_2 \approx 1.5 L_1\) すなわち \(\displaystyle\frac{L_2}{L_1} \approx 1.5 = \frac{3}{2}\) を代入すると、
$$ \frac{3}{2} \approx \frac{m+1}{m} $$
この式を解くと、\(3m \approx 2(m+1)\) より \(m \approx 2\) と推測できます。
したがって、\(L_1\) は \(m=2\) の2倍振動、\(L_2\) は \(m=3\) の3倍振動に対応していると考えられます。
開管の2倍振動では、節の数は2個です。

上記の通り、\(m \approx 2\) と推測されるため、\(L_1\) のときの共鳴は2倍振動です。
開管の2倍振動における節の数は2個となります。

管を伸ばしていくと、腹が1つ、2つ、3つ…と増える形で共鳴していきます。管の長さの比が \(L_2/L_1 \approx 1.5 = 3/2\) となるのは、腹が2つの状態（\(L_1\)）と腹が3つの状態（\(L_2\)）の組み合わせのときです。したがって、\(L_1\) のときは腹が2つの「2倍振動」であり、このとき節の数も2個になります。

管の長さが \(L_1\) のときの節の数は2個です。
問題で与えられた近似関係をうまく利用してモードを特定する、典型的な解法です。

問(2)

思考の道筋とポイント
音の波長 \(\lambda\) と音速 \(V\) を求める問題です。(1)で \(L_1\) が2倍振動、\(L_2\) が3倍振動に対応することがわかったので、開口端補正 \(x\) を考慮した共鳴条件の式をそれぞれ立て、連立方程式として解くことで \(\lambda\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 共鳴条件の立式: 開口端補正 \(x\) を考慮し、実効長 \(L+2x\) で共鳴条件を立てます。
• \(L_1\) の条件: 2倍振動 (\(m=2\)) なので、\(L_1 + 2x = 2 \times \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)。
• \(L_2\) の条件: 3倍振動 (\(m=3\)) なので、\(L_2 + 2x = 3 \times \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)。

具体的な解説と立式
(1)の結果より、\(L_1\) は2倍振動、\(L_2\) は3倍振動に対応します。
開口端補正を \(x\) とすると、実効的な管の長さはそれぞれ \(L_1+2x\), \(L_2+2x\) となります。
\(L_1\) での共鳴条件（\(m=2\)）:
$$ L_1 + 2x = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda \quad \cdots ① $$
\(L_2\) での共鳴条件（\(m=3\)）:
$$ L_2 + 2x = 3 \times \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ② $$
この連立方程式を解いて \(\lambda\) を求めます。式②から式①を引くと、\(x\) が消去できます。
$$ (L_2 + 2x) – (L_1 + 2x) = \frac{3\lambda}{2} – \lambda $$
$$ L_2 – L_1 = \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ③ $$
音速 \(V\) は、波の基本式 \(V=f\lambda\) を用いて計算します。
$$ V = f\lambda \quad \cdots ④ $$

式③を \(\lambda\) について解きます。
$$ \lambda = 2(L_2 – L_1) \text{ [m]} $$
次に、この結果を式④に代入して音速 \(V\) を求めます。
$$ V = f \times 2(L_2 – L_1) = 2f(L_2 – L_1) \text{ [m/s]} $$

音の波長は \(\lambda = 2(L_2 – L_1)\) [m]、音速は \(V = 2f(L_2 – L_1)\) [m/s] です。
(1)でモードを特定してから連立方程式を解く、という手順で答えが導かれました。

問(3)

思考の道筋とポイント
開口端補正 \(x\) を \(L_1, L_2\) を用いて表す問題です。(2)で立てた共鳴条件の式と、求めた波長 \(\lambda\) の関係式を利用して \(x\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 使用する式: (2)で立てた式① \(L_1 + 2x = \lambda\) を使います。
• 代入する値: (2)で求めた \(\lambda = 2(L_2 – L_1)\) を代入します。

具体的な解説と立式
(2)の式①より、
$$ L_1 + 2x = \lambda \quad \cdots ① $$
ここに、(2)で求めた波長 \(\lambda = 2(L_2 – L_1)\) を代入します。
$$ L_1 + 2x = 2(L_2 – L_1) $$
この式を \(x\) について解きます。

上記で立てた式を \(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
2x &= 2(L_2 – L_1) – L_1 \\[2.0ex]2x &= 2L_2 – 2L_1 – L_1 \\[2.0ex]2x &= 2L_2 – 3L_1 \\[2.0ex]x &= \frac{2L_2 – 3L_1}{2} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

(1)で、\(L_1\) のときの共鳴は「波長がちょうど実効的な管の長さに等しい」状態だとわかりました。また、(2)で波長は \(2(L_2-L_1)\) だと計算しました。つまり、「\(L_1\) + 両端の補正(\(2x\)) = \(2(L_2-L_1)\)」という等式が成り立ちます。この式を \(x\) について変形すれば答えが求まります。

開口端補正は \(x = \displaystyle\frac{2L_2 – 3L_1}{2}\) [m] です。
(1)のモード特定が正しければ、この結果も正しくなります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 開口端補正を考慮した共鳴条件:
  • 核心: 開管や閉管の共鳴を考える際、音響的な長さ（実効長）は物理的な管の長さより少し長い、という点が重要です。両端が開いた開管では、腹の位置が管の両端から距離 \(x\) だけ外側にはみ出します。したがって、定在波が立つ空間の長さは \(L+2x\) となります。
  • 理解のポイント: 共鳴条件の公式は、この実効的な長さに対して適用されます。開管の \(m\) 倍振動（腹が \(m\) 個）の場合、\(L+2x = m \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) という式が成り立ちます。この「\(L\)」を「\(L+2x\)」に置き換えて考えることが、この問題の出発点です。
• 隣り合う共鳴点の間隔は半波長 (\(\lambda/2\)):
  • 核心: これはこの種の問題を解く上で最も強力かつ本質的な法則です。管の長さを連続的に変えていくとき、共鳴が観測される管の長さの差は、常に半波長に等しくなります。
  • 理解のポイント: \(L_1\) で \(m\) 倍振動、\(L_2\) で \(m+1\) 倍振動が起きたとすると、それぞれの共鳴条件は \(L_1+2x = m\lambda/2\) と \(L_2+2x = (m+1)\lambda/2\) です。これらの差を取ると、開口端補正 \(x\) やモード番号 \(m\) がきれいに消去され、\(L_2 – L_1 = \lambda/2\) という非常にシンプルな関係式が導かれます。この関係式を使えば、共鳴の次数が分からなくても波長を求めることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 閉管の共鳴: 片方が閉じた管（閉管）で同様の実験を行う問題です。この場合、開口端補正は片側だけなので実効長は \(L+x\) となります。また、共鳴は奇数倍振動（\(m=1, 3, 5, \dots\)）しか起こりません。しかし、「隣り合う共鳴点の間隔が半波長」という法則は閉管でも全く同じように成り立ちます（例：基本振動と3倍振動の管長の差は \(\lambda/2\)）。
  • 水中での気柱共鳴（クインケ管）: ガラス管に水を入れ、水位を変えることで気柱の長さを変える実験です。水面が閉口端の役割を果たすため、閉管の共鳴と同じように考えます。
  • 未知の振動数を求める問題: 逆に、音速が既知で、\(L_1, L_2\) の測定値から音源の振動数 \(f\) を求める問題も頻出です。\(L_2-L_1=\lambda/2\) から \(\lambda\) を求め、\(f=V/\lambda\) で計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 管の形状を確認する: まず「開管」か「閉管」かを確認します。これにより、共鳴条件と開口端補正の扱い（\(2x\)か\(x\)か）が決まります。
  2. 「隣り合う共鳴」というキーワードを探す: 「管をゆっくり伸ばし、次に音が強くなった」や「水位を下げていき、2回目の共鳴が起きた」といった記述があれば、それは \(L_2-L_1=\lambda/2\) を使うサインです。
  3. 開口端補E正の有無を確認する: 「開口端補正は無視する」とあれば計算は簡単になります。「無視できない」とあれば、実効長を考えて立式する必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 開口端補正の扱い:
  • 誤解: 開管なのに、開口端補正を片側ぶんの \(x\) だけで考えて \(L+x\) としてしまう。または、閉管なのに \(L+2x\) としてしまう。
  • 対策: 必ず図を描き、腹がはみ出す場所を意識しましょう。「開管は両端がはみ出すので \(+2x\)」、「閉管は開いている片側だけがはみ出すので \(+x\)」と視覚的に覚えるのが効果的です。
• 共鳴条件の混同:
  • 誤解: 開管の共鳴条件を、閉管の条件 \(L+x = (2n-1)\lambda/4\) と混同してしまう。
  • 対策: これも図を描くことで防げます。開管は「腹〜腹」なので、基本は半波長。閉管は「腹〜節」なので、基本は1/4波長。この基本形をしっかり押さえれば、\(m\)倍振動の式も間違えにくくなります。
• 近似式への過度な依存:
  • 誤解: (1)で使う \(L_2/L_1 \approx (m+1)/m\) という関係が、常に厳密に成り立つと思い込んでしまう。
  • 対策: これはあくまで開口端補正を無視した近似であり、モードを「推測」するためのヒントに過ぎない、と理解しておくことが重要です。より本質的なのは「隣り合う共鳴点の間隔は\(\lambda/2\)」という関係であり、こちらは厳密な式です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 定在波の「腹」をスライドさせるイメージ: 管の長さを \(L_1\) から \(L_2\) へと伸ばしていく様子を、「定在波の波形はそのままで、管だけがスライドしていく」とイメージします。\(L_1\) のときは管の両端に腹がうまく乗って共鳴しています。そこから管を伸ばしていくと、腹の位置がずれて共鳴しなくなります。さらに伸ばして、再び管の両端に腹がうまく乗る位置が \(L_2\) です。このとき、管が伸びた長さ (\(L_2-L_1\)) は、定在波の腹と腹の間隔、つまり半波長 (\(\lambda/2\)) に等しくなります。このイメージは開口端補正の有無に関わらず成り立ちます。
  • 実効長と物理長の図示: 管の図を描く際に、物理的な管の両端から \(x\) だけ外側に点線を引き、そこを「実効的な端（腹の位置）」として定在波の絵を描くと、\(L+2x\) という長さが何を意味するのかが視覚的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 隣り合う共鳴条件の差 (\(L_2-L_1=\lambda/2\)):
  • 選定理由: (2)で、未知数である開口端補正 \(x\) とモード番号 \(m\) を知らずに、測定可能な量 (\(L_1, L_2\)) のみから波長 \(\lambda\) を求めるための最もエレガントで直接的な方法だからです。
  • 適用根拠: 共鳴条件の一般式という基本法則から、代数的な操作（引き算）によって導出される、論理的に必然な関係式です。
• 共鳴条件の一般式 (\(L+2x=m\lambda/2\)):
  • 選定理由: (1)でモードを特定したり、(3)で開口端補正を計算したりするために、物理的な長さ(\(L\))と音響的な現象（波長\(\lambda\), モード\(m\)）を結びつける根幹の式として必要です。
  • 適用根拠: 「開管の腹は（実効的な）両端にある」という境界条件と、「定在波は半波長の整数倍の長さの空間に収まる」という波の性質を組み合わせたものです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 【推奨フロー（別解）】
   • (2) 波長の計算: ①隣り合う共鳴条件から \(L_2-L_1=\lambda/2\) を導出 → ②\(\lambda=2(L_2-L_1)\) を計算。
   • (1) モードの特定: ①\(L_1, L_2\) がそれぞれ \(m, m+1\) 倍振動と仮定 → ②\(L_2/L_1 \approx (m+1)/m\) と問題の近似式 \(L_2/L_1 \approx 1.5\) から \(m=2\) を特定 → ③節の数は2個と結論。
   • (3) 開口端補正の計算: ①\(L_1\)での共鳴条件 \(L_1+2x=m\lambda/2\) に \(m=2\) と(2)で求めた\(\lambda\)を代入 → ②式を\(x\)について解く。
2. 【模範解答フロー】
   • (1) モードの特定: （推奨フローの(1)と同じ）
   • (2) 波長の計算: ①(1)の結果を使い、\(L_1+2x=2(\lambda/2)\) と \(L_2+2x=3(\lambda/2)\) を立式 → ②2式の差を取り、\(L_2-L_1=\lambda/2\) から \(\lambda\) を計算。
   • (3) 開口端補正の計算: （推奨フローの(3)と同じ）

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題はすべて文字式で答える形式です。途中で具体的な数値を代入する必要がないため、式の変形を丁寧に行うことが重要です。特に(3)の計算では、移項や分配法則のミスに注意しましょう。
  \(2x = 2(L_2-L_1) – L_1 = 2L_2 – 2L_1 – L_1 = 2L_2 – 3L_1\)。
• 連立方程式の処理: (2)や(3)を解く際には、2つの共鳴条件の式を連立させて解きます。未知数が \(\lambda, x, m\) の3つあるように見えますが、\(m\) は(1)で整数として特定し、残りの \(\lambda, x\) を求める、という流れを意識すると混乱しにくいです。特に、2式の差を取ると \(x\) が消える、というテクニックは定石として覚えておきましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 開口端補正 \(x\) の吟味: 開口端補正 \(x\) は、管の半径の0.6倍程度の正の値になることが知られています。したがって、計算結果 \(x = \displaystyle\frac{2L_2 – 3L_1}{2}\) は正の値になるはずです。\(L_2 \approx 1.5 L_1\) という条件から、\(2L_2 \approx 3L_1\) なので、\(2L_2 – 3L_1\) はゼロに近い小さな正の値となり、物理的に妥当な結果であることが示唆されます。もし計算ミスで分子の符号が逆になったりすると、\(x\) が負になってしまい、おかしいと気づくことができます。
• 別解との比較:
  • 本解説で示したように、この問題は(1)から順に解く方法と、(2)の普遍的法則から解き始める方法があります。どちらの思考プロセスを経ても、最終的な答え（\(\lambda, V, x\) の表式）が完全に一致することを確認できれば、解答の正しさに対する信頼性は格段に向上します。

263 金属棒の振動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、「金属棒を伝わる縦波の振動」と、それが音源となって引き起こす「気柱の共鳴」という2つの現象を組み合わせた、クントの実験に関する問題です。それぞれの媒質（金属棒と空気）における波の性質と、2つの現象をつなぐ物理量を正しく理解することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「固体中の縦波の振動と気柱の共鳴（クントの実験）」です。異なる媒質中の波が「同じ振動数」で連動する現象を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ガラス管内の音波の波長と振動数を求める問題です。ガラス管内では、金属棒の振動によって強制的に空気が振動させられ、音波の定在波が生じています。コルクの粉の縞模様は、この定在波の様子を可視化したものです。
この設問における重要なポイント

• コルクの粉と定在波: コルクの粉は、定在波の「節」（空気の変位がゼロで、圧力変化が最大となる場所）に集まります。したがって、粉が濃い部分の間隔は、節と節の間隔に等しく、これは半波長 (\(\displaystyle\frac{\lambda_{\text{気}}}{2}\)) にあたります。
• 波の基本式: 波長が分かれば、与えられている音速 \(V\) と波の基本式 \(V = f_{\text{気}}\lambda_{\text{気}}\) を使って振動数を計算できます。

具体的な解説と立式
ガラス管内には音波の定在波ができています。コルクの粉が濃い縞模様を作る間隔は、定在波の節と節の間隔に相当します。この間隔は半波長に等しいです。
ガラス管内の音波の波長を \(\lambda_{\text{気}}\) とすると、問題の条件から、
$$ \frac{\lambda_{\text{気}}}{2} = l \quad \cdots ① $$
次に、ガラス管内の音波の振動数 \(f_{\text{気}}\) を求めます。
空気中の音速は \(V\) なので、波の基本式より、
$$ V = f_{\text{気}} \lambda_{\text{気}} \quad \cdots ② $$

式①から、波長 \(\lambda_{\text{気}}\) を求めます。
$$ \lambda_{\text{気}} = 2l $$
次に、式②を \(f_{\text{気}}\) について解き、上で求めた \(\lambda_{\text{気}}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_{\text{気}} &= \frac{V}{\lambda_{\text{気}}} \\[2.0ex]&= \frac{V}{2l}
\end{aligned}
$$

ガラス管の中のコルクの粉は、音の定在波の「節」という、ほとんど振動しない場所に集まります。問題文にある「濃い部分の間隔 \(l\)」は、この節と節の間の距離のことです。節と節の間の距離は、波長のちょうど半分なので、波長は \(2l\) となります。振動数は、「音速 ÷ 波長」で計算できるので、\(\displaystyle\frac{V}{2l}\) となります。

ガラス管内の音波の波長は \(2l\)、振動数は \(\displaystyle\frac{V}{2l}\) です。
クントの実験におけるコルクの粉の役割を正しく理解していれば、容易に立式できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
金属棒を伝わる縦波の波長と速さを求める問題です。まず、金属棒の振動の様子から波長を求めます。次に、速さを求めますが、そのためには振動数が必要です。ここで、「金属棒の振動が音源となってガラス管の空気を振動させている」という事実から、両者の振動数は等しいと考えます。
この設問における重要なポイント

• 金属棒の定在波の条件: 金属棒は、中点Cが万力で固定されているので「節」、両端A, Bは自由に振動できるので「腹」となります。
• 基本振動: この条件で生じる最も単純な振動（基本振動）を考えます。
• 振動数の共有: 金属棒の振動数 \(f_{\text{棒}}\) は、(1)で求めたガラス管内の音波の振動数 \(f_{\text{気}}\) と等しくなります。

具体的な解説と立式
まず、金属棒を伝わる縦波の波長 \(\lambda_{\text{棒}}\) を求めます。
金属棒は全長が \(L\) で、中央が節、両端が腹となる基本振動をしています。
これは、長さ \(L\) の空間に、腹-節-腹という構造の定在波が収まっている状態です。
腹から隣の節までの距離は \(\displaystyle\frac{1}{4}\) 波長なので、棒の半分の長さ \(\displaystyle\frac{L}{2}\) が、\(\displaystyle\frac{1}{4}\) 波長に相当します。
$$ \frac{L}{2} = \frac{\lambda_{\text{棒}}}{4} $$
これを解くと、
$$ \lambda_{\text{棒}} = 2L \quad \cdots ③ $$
（別な考え方：中央の節で棒を2つに分けると、それぞれが長さ \(L/2\) の「固定端-自由端」の棒の基本振動と同じになります。この場合、\(L/2 = \lambda_{\text{棒}}/4\) となります。）

次に、金属棒を伝わる縦波の速さ \(v_{\text{棒}}\) を求めます。
金属棒の振動数 \(f_{\text{棒}}\) は、音源としてガラス管内の空気を振動させているので、(1)で求めた音波の振動数 \(f_{\text{気}}\) と等しくなります。
$$ f_{\text{棒}} = f_{\text{気}} = \frac{V}{2l} \quad \cdots ④ $$
波の基本式を金属棒中の縦波に適用すると、
$$ v_{\text{棒}} = f_{\text{棒}} \lambda_{\text{棒}} \quad \cdots ⑤ $$

式⑤に、式③で求めた \(\lambda_{\text{棒}}\) と式④の \(f_{\text{棒}}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{棒}} &= \left( \frac{V}{2l} \right) \times (2L) \\[2.0ex]&= \frac{L}{l}V
\end{aligned}
$$

金属棒は、真ん中が固定され（節）、両端が自由（腹）なので、基本振動の形は、腹-節-腹となります。これは、ちょうど波長の半分が、棒の全長Lに収まっているのと同じ形です。したがって、金属棒を伝わる波の波長は \(2L\) となります。
金属棒の振動の速さは「振動数 × 波長」で計算できます。振動数は(1)で求めたガラス管の音波の振動数と同じ \(\displaystyle\frac{V}{2l}\) です。これに波長 \(2L\) を掛けると、速さが求まります。

金属棒を伝わる縦波の波長は \(2L\)、速さは \(\displaystyle\frac{L}{l}V\) です。
異なる2つの媒質（金属棒と空気）における波の現象を、共通の「振動数」で結びつけて解く、という複合問題の典型的な流れを理解することが重要です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 2つの独立した定在波と「振動数」による連結:
  • 核心: この問題は、一見複雑に見えますが、「金属棒の縦振動」と「ガラス管内の気柱の共鳴」という2つの独立した定在波の問題に分解できます。そして、これら2つの現象を結びつけている唯一の接点が「振動数」です。金属棒の振動が音源となり、同じ振動数で空気を振動させる、という物理的なつながりを理解することが全ての鍵となります。
  • 理解のポイント:
    1. ガラス管（気柱）: コルクの粉の間隔 \(l\) から波長 \(\lambda_{\text{気}}=2l\) を求め、音速 \(V\) と合わせて振動数 \(f = V/(2l)\) を計算する。
    2. 金属棒: 境界条件（中央：節、両端：腹）から波長 \(\lambda_{\text{棒}}=2L\) を求める。
    3. 連結: 2つの振動数は等しいので、(1)で求めた \(f\) を使って、金属棒中の波の速さ \(v_{\text{棒}} = f \lambda_{\text{棒}}\) を計算する。
• 境界条件の正しい適用:
  • 核心: 定在波の波長を正しく求めるには、振動する物体の境界条件（どこが節で、どこが腹か）を正確に把握する必要があります。
  • 理解のポイント:
    • ガラス管内のコルクの粉: 粉が集まる濃い部分は、媒質（空気）の変位がゼロの「節」です。したがって、その間隔は \(\lambda/2\) です。（※注意：圧力変化は最大になります）
    • 金属棒: 万力で固定された点は動けないので「節」。自由に伸縮できる端は変位が最大になるので「腹」です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • クントの実験の派生問題: 金属棒の振動モードを変える（例：3倍振動させる）、ガラス管内の気体を変える（例：ヘリウムガスを入れる）、金属棒の固定位置を変える（例：端からL/4の位置を固定する）など、様々なバリエーションが考えられます。しかし、基本的な考え方（2つの定在波を振動数でつなぐ）は全く同じです。
  • 弦の振動と気柱の共鳴: 弦の振動を音源として、気柱を共鳴させる問題も同じ構造です。弦の振動条件から振動数を求め、それを気柱の共鳴現象に適用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 現象の分離: まず、問題文にいくつの「振動する物体（媒質）」があるかを確認します（この問題では金属棒と空気の2つ）。
  2. 各物体の境界条件の特定: それぞれの物体について、「どこが固定（節）されているか」「どこが自由（腹）か」を図に書き込みます。
  3. 現象のつながりを見つける: 「AがBを振動させる」という記述を探し、2つの現象の振動数が等しいこと（\(f_A = f_B\)）を確認します。これが立式の中心的な柱となります。
  4. 与えられた情報と求めるものを整理する: 各物体について、\(v, f, \lambda\) のうち何が与えられ、何を求めるのかを明確にすることで、どの公式をどの順で使うかの見通しが立ちます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波長と速さの混同:
  • 誤解: 金属棒の波長を計算すべきところで、ガラス管内の音波の波長を使ってしまう。あるいは、金属棒中の波の速さを求めるのに、空気中の音速 \(V\) を使ってしまう。
  • 対策: \(\lambda_{\text{気}}, f_{\text{気}}, V\) と \(\lambda_{\text{棒}}, f_{\text{棒}}, v_{\text{棒}}\) のように、必ず添字をつけて物理量を区別する習慣をつけましょう。そして、\(f_{\text{気}} = f_{\text{棒}}\) であるが、それ以外の \(v\) と \(\lambda\) は全く異なる値であることを強く意識します。
• 金属棒の基本振動の波長の誤認:
  • 誤解: 金属棒の長さが \(L\) なので、基本振動の波長を \(L\) や \(L/2\) と誤解してしまう。
  • 対策: 必ず図を描いて境界条件を確認します。「腹-節-腹」という構造が長さ \(L\) の中に収まっているので、これはちょうど半波長分に相当します。したがって、\(\lambda_{\text{棒}}/2 = L\)、つまり \(\lambda_{\text{棒}} = 2L\) となります。開管の基本振動と同じ形である、と覚えるのも有効です。
• コルクの粉の解釈の間違い:
  • 誤解: コルクの粉が集まる場所を「腹」だと勘違いし、間隔 \(l\) を腹と腹の間隔（これも\(\lambda/2\)）と考える。結果的に波長の計算は合ってしまいますが、物理的な理解が間違っているため、応用問題で間違う可能性があります。
  • 対策: コルクの粉は「空気の振動が静かな場所」に吹き寄せられる、と覚えましょう。振動が静かな場所＝変位の節、です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 2つの系を並べて描く: 金属棒の定在波の図と、ガラス管の定在波の図を上下に並べて描くと、2つの現象の関係が視覚的にわかりやすくなります。
    • 上段（金属棒）: 長さ \(L\) の棒を描き、中央に節(●)、両端に腹(◯)をマークし、これを結ぶ最も単純な正弦波（半波長分）を描く。横に \(\lambda_{\text{棒}}/2 = L\) と書き込む。
    • 下段（ガラス管）: ガラス管を描き、コルクの粉の縞模様（節）を等間隔に描く。その間隔が \(l\) であり、\(\lambda_{\text{気}}/2 = l\) であることを書き込む。

    この2つの図の間に、\(f_{\text{棒}} = f_{\text{気}}\) という矢印を描けば、問題の構造が一目瞭然です。

  • 縦波の横波表示: 金属棒の振動もガラス管の音波も、本来は媒質の密度変化が伝わる「縦波」ですが、変位の大きさをグラフにすると「横波」のような形（正弦波）で表現できます。この「横波表示」は定在波の腹や節、波長を視覚的に捉える上で非常に有効なテクニックです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 定在波の節間隔 (\(l = \lambda_{\text{気}}/2\)):
  • 選定理由: (1)で、観測された現象（コルクの粉の間隔 \(l\)）と、物理的な量（音波の波長 \(\lambda_{\text{気}}\)）を結びつけるため。
  • 適用根拠: 定在波の定義そのものです。隣り合う節（または腹）の間隔は、常に半波長となります。
• 金属棒の基本振動の条件 (\(L = \lambda_{\text{棒}}/2\)):
  • 選定理由: (2)で、金属棒の形状（長さ \(L\)）と境界条件（中央節、両端腹）から、金属棒中の縦波の波長 \(\lambda_{\text{棒}}\) を決定するため。
  • 適用根拠: 与えられた境界条件を満たす最も波長が長い（＝振動数が低い）定在波の形が、腹-節-腹の形であるという物理的な要請に基づきます。
• 波の基本式 (\(v=f\lambda\)):
  • 選定理由: (1)では \(V\) と \(\lambda_{\text{気}}\) から \(f_{\text{気}}\) を、(2)では \(f_{\text{棒}}\) と \(\lambda_{\text{棒}}\) から \(v_{\text{棒}}\) を求めるために使用します。未知の物理量を、他の2つの既知の量から導出するための基本的なツールです。
  • 適用根拠: あらゆる波に成り立つ最も基本的な関係式です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) ガラス管内の音波:
   • 戦略: コルクの粉の情報から波長を求め、音速Vと合わせて振動数を出す。
   • フロー: ①コルクの粉の間隔が節の間隔であると解釈 → ②\(\lambda_{\text{気}}/2 = l\) より \(\lambda_{\text{気}}\) を求める → ③波の基本式 \(f_{\text{気}} = V/\lambda_{\text{気}}\) より \(f_{\text{気}}\) を計算。
2. (2) 金属棒の縦波:
   • 戦略: 棒の境界条件から波長を求め、(1)の振動数と合わせて速さを出す。
   • フロー: ①金属棒の境界条件（中央節、両端腹）から基本振動の形を考える → ②\(\lambda_{\text{棒}}/2 = L\) より \(\lambda_{\text{棒}}\) を求める → ③振動数は共通なので \(f_{\text{棒}} = f_{\text{気}}\) とする → ④波の基本式 \(v_{\text{棒}} = f_{\text{棒}}\lambda_{\text{棒}}\) より \(v_{\text{棒}}\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の区別を徹底する: \(L\) と \(l\)、\(V\) と \(v\) のように、似た文字が複数出てきます。大文字と小文字を意識して区別し、どちらが金属棒の量でどちらが空気の量なのかを常に明確にしながら計算を進めましょう。
• 最終的な式の次元を確認する: 例えば(2)で求めた速さ \(v_{\text{棒}} = \displaystyle\frac{L}{l}V\) の次元（単位）を考えます。\(L, l\) は長さなので \(L/l\) は無次元、\(V\) は速さ[m/s]です。したがって、右辺の次元は[m/s]となり、左辺の速さの次元と一致します。このような次元チェックは、計算ミスを発見するのに役立ちます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 速さの比較: 一般に、固体中を伝わる音の速さは、気体中よりもずっと速いです。したがって、計算結果 \(v_{\text{棒}}\) は \(V\) よりも大きくなるはずです。\(v_{\text{棒}} = \displaystyle\frac{L}{l}V\) という式を見ると、通常、金属棒の長さ \(L\) はコルクの粉の間隔 \(l\) よりも大きい（\(L>l\)）ので、\(L/l > 1\) となり、\(v_{\text{棒}} > V\) が成り立ちます。これは物理的な直感と一致しており、結果の妥当性を裏付けています。

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