「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 19】Step1 & 例題

Step1

① 弦の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弦に生じる定在波（基本振動）」です。両端が固定された弦にできる最も基本的な振動の形から、波長を特定し、波の基本式を用いて振動数を求めることが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、弦の振動によって生じる定在波の中でも、最も単純な「基本振動」を扱っています。定在波は、弦を伝わる進行波と、固定端で反射した反射波が重なり合うことで生じます。
まず、問題の図から、弦の両端が全く振動しない「節」となり、その中間に最も大きく振動する「腹」が1つだけ存在する状態であることを把握することが出発点です。この「腹が1つ」の振動モードが基本振動です。
この定在波の形と、弦全体の長さの関係を理解することが、波長を決定する上で非常に重要になります。波長が分かれば、波の速さ、振動数、波長を結びつける基本式を使って、未知の振動数を計算することができます。

この設問における重要なポイント

• 定在波の波長と腹・節の関係:
  • 隣り合う「節」と「節」の間の距離は、元の進行波の波長の半分 (\(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)) に等しい。
  • 隣り合う「腹」と「腹」の間の距離も、波長の半分 (\(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)) に等しい。
  • 隣り合う「節」と「腹」の間の距離は、波長の4分の1 (\(\displaystyle\frac{\lambda}{4}\)) に等しい。
• 基本振動: 両端が固定された弦で生じる最も単純な振動モード。腹が1つ、節が両端の2つのみ。このとき、弦の長さ \(L\) は、節と節の間の距離に等しいため、以下の関係が成り立つ。
  $$ L = \frac{\lambda}{2} $$
• 波の基本式: 弦を伝わる波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には、常に以下の関係が成り立ちます。
  $$ v = f\lambda $$

具体的な解説と立式
問題の図に示されているのは、弦の両端A, Bが節となり、その中央に腹が1つだけある定在波です。これは「基本振動」と呼ばれる最も基本的な振動モードです。
定在波において、節から隣の節までの距離は、弦を伝わる進行波の波長 \(\lambda\) の半分 (\(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)) に相当します。
この問題では、弦の長さ \(L\) が、ちょうど両端の節と節の間の距離になっています。
したがって、弦の長さ \(L\) と波長 \(\lambda\) の間には、次の関係式が成り立ちます。
$$ L = \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ① $$
この式を用いて、まず波長 \(\lambda\) を求めます。
次に、波の基本式 \(v = f\lambda\) を用いて、求める振動数 \(f\) を計算します。
$$ v = f\lambda \quad \cdots ② $$
問題文から、弦の長さ \(L = 2.0 \, \text{m}\)、弦を伝わる波の速さ \(v = 2.0 \times 10^2 \, \text{m/s}\) が与えられています。

まず、式①に弦の長さ \(L = 2.0 \, \text{m}\) を代入して、波長 \(\lambda\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2.0 &= \frac{\lambda}{2} \\[2.0ex]\lambda &= 2.0 \times 2 \\[2.0ex]&= 4.0 \, \text{m}
\end{aligned}
$$
次に、式②を \(f\) について解き、与えられた波の速さ \(v = 2.0 \times 10^2 \, \text{m/s}\) と、上で求めた波長 \(\lambda = 4.0 \, \text{m}\) を代入して、振動数 \(f\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{v}{\lambda} \\[2.0ex]&= \frac{2.0 \times 10^2}{4.0} \\[2.0ex]&= \frac{200}{4.0} \\[2.0ex]&= 50 \, \text{Hz}
\end{aligned}
$$

ギターの弦のようなものをイメージしてください。両端を固定してはじくと、図のような「お腹が一つ」の形の波ができます。

1. 波の形から波長を知る: 物理のルールで、この「お腹一つ」の長さは、弦の上を伝わっている本当の波（目には見えない進行波）の「波長の半分」にあたります。
2. 波長を計算する: 弦の長さは \(2.0 \, \text{m}\) なので、これが波長の半分です。ということは、波長全体の長さは \(2.0 \, \text{m} \times 2 = 4.0 \, \text{m}\) となります。
3. 公式で振動数を計算する: 物理の基本公式「速さ = 振動数 × 波長」を使います。振動数を求めたいので、式を変形して「振動数 = 速さ ÷ 波長」とします。
4. 値を代入する: 問題文から速さは \(2.0 \times 10^2 = 200 \, \text{m/s}\)、波長はさきほど \(4.0 \, \text{m}\) と計算しました。これを代入すると、\(200 \div 4.0 = 50\) となります。

したがって、答えは \(50 \, \text{Hz}\) です。

② 弦の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弦に生じる定在波（倍振動）」です。弦の特定の位置を強制的に節にすることで、基本振動とは異なる高次の振動モード（この場合は2倍振動）を発生させ、その波長と振動数を求めることが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、ギターのハーモニクス奏法のように、弦の特定の点に触れることで意図した倍音（高い音）を出す原理を扱っています。最大のポイントは、「中点Mを軽く触る」という操作が、Mを強制的に振動させない点、すなわち「節」にするという物理的な制約を与えることを理解することです。
弦の両端A, Bは固定されているため、常に節です。これに加えてMも節になるため、この弦にはA, M, Bの3点が節となる定在波が生じます。その結果、AM間とMB間にそれぞれ腹が1つずつある「2倍振動」が形成されます。
前問の基本振動（腹が1つ）と比較して、波長がどう変化し、振動数がどう変化するのか（問題文の「高い音が出た」という記述と整合性が取れるか）を意識することが重要です。

この設問における重要なポイント

• 強制的な節の形成: 弦の途中に軽く触れることで、その点を強制的に振動しない点、すなわち「節」にすることができます。
• 2倍振動: 両端が固定された弦で、腹が2つできる振動モード。節は両端と中央の3点になります。このとき、弦の長さ \(L\) は、腹2つ分の長さに等しくなります。
• 弦の長さと波長の関係（2倍振動）: 腹1つの長さは \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) なので、腹2つ分の長さは \(2 \times \displaystyle\frac{\lambda}{2} = \lambda\) となります。したがって、弦の長さ \(L\) と波長 \(\lambda\) の関係は次のようになります。
  $$ L = \lambda $$
• 波の速さの不変性: 弦の材質や張力が同じであれば、弦を伝わる波の速さ \(v\) は、振動の仕方（振動モード）によらず一定です。

具体的な解説と立式
1. 定在波の図示
「弦の中点Mを軽く触って」いるため、点Mは振動しない「節」になります。弦の両端A, Bも固定端なので「節」です。したがって、このときにできる定在波は、A, M, Bの3点を節として持ちます。「MBの中央あたりをはじく」ことから、AM間とMB間にそれぞれ1つずつ腹を持つ、腹が2つの「2倍振動」が形成されます。
図示すると、弦ABの中点Mが節となり、AM間とMB間にそれぞれ1つずつ膨らみ（腹）がある波形となります。

2. 波長 \(\lambda\) と振動数 \(f\) の立式
定在波において、隣り合う節と節の間の距離は、元の進行波の波長の半分 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) に相当します。
この問題の定在波には、節と節の間隔が2つ（AM間とMB間）含まれています。したがって、弦の全長を \(L\) とすると、
$$ L = \left(\frac{\lambda}{2}\right) + \left(\frac{\lambda}{2}\right) = \lambda $$
となり、波長 \(\lambda\) は弦の長さ \(L\) に等しくなります。
$$ \lambda = L \quad \cdots ① $$
振動数 \(f\) は、波の基本式 \(v = f\lambda\) を用いて求めます。
$$ v = f\lambda \quad \cdots ② $$
前問から、弦の長さは \(L = 2.0 \, \text{m}\)、弦を伝わる波の速さは \(v = 2.0 \times 10^2 \, \text{m/s}\) とします。

1. 波長 \(\lambda\) の計算
式①に、前問と同じ弦の長さ \(L = 2.0 \, \text{m}\) を代入します。
$$ \lambda = L = 2.0 \, \text{m} $$

2. 振動数 \(f\) の計算
式②を \(f\) について解き、波の速さ \(v = 2.0 \times 10^2 \, \text{m/s}\) と、上で求めた波長 \(\lambda = 2.0 \, \text{m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{v}{\lambda} \\[2.0ex]&= \frac{2.0 \times 10^2}{2.0} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^2 \, \text{Hz}
\end{aligned}
$$
したがって、波長は \(2.0 \, \text{m}\)、振動数は \(1.0 \times 10^2 \, \text{Hz}\) となります。

これはギターのハーモニクス奏法と同じ原理です。

1. 波の形を決める: 弦の真ん中Mに軽く触れると、Mは振動できなくなり「節」という動かない点になります。両端A, Bも固定されていて節なので、A, M, Bの3点が節になります。その結果、弦は「お腹が2つ」の形で振動します（これを2倍振動といいます）。
2. 波長を計算する: 「お腹が1つ」の長さは、波長の半分です。今回は「お腹が2つ」で弦全体の長さになっているので、「弦の長さ = 波長」という関係になります。前の問題から弦の長さは \(2.0 \, \text{m}\) なので、波長も \(2.0 \, \text{m}\) です。
3. 振動数を計算する: 公式「振動数 = 速さ ÷ 波長」を使います。速さは前の問題と同じで \(2.0 \times 10^2 = 200 \, \text{m/s}\) です。波長は \(2.0 \, \text{m}\) と計算しました。
4. 値を代入する: \(200 \div 2.0 = 100\)。答えは \(100 \, \text{Hz}\) です。前の問題の基本振動（50Hz）より振動数が2倍になり、問題文の通り「高い音」が出たことが確認できます。

③ 閉管の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「閉管内の気柱の共鳴（基本振動）」です。一端が閉じ、他端が開いた管の中で音が共鳴する際の、最も基本的な振動の様子を理解し、その波長と振動数を求めることが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、閉管（一端が閉じ、他端が開いている管）の気柱の振動を扱っています。重要なのは、管の端における空気の振動の仕方が物理的に決まっている点です。

• 開いている端（開口端）：空気の分子が最も自由に振動できるため、定在波の「腹」になります。
• 閉じている端（閉口端）：空気の分子が壁に妨げられて動けないため、定在波の「節」になります。

「基本振動」とは、これらの条件を満たす中で最も単純な（つまり、波長が最も長い）定在波のことです。この定在波の形を正しくイメージし、管の長さと波長の関係を導き出すことが、問題を解くための核心となります。また、「開口端補正は無視してよい」という条件により、腹の位置が管の開口端にぴったり一致すると考えて計算を進めます。

この設問における重要なポイント

• 閉管の定在波の条件:
  • 開口端：腹（振動が最大）
  • 閉口端：節（振動がゼロ）
• 定在波の腹と節の間隔: 隣り合う腹と節の間の距離は、元の進行波の波長の4分の1 (\(\displaystyle\frac{\lambda}{4}\)) に等しい。
• 閉管の基本振動:
  • 管内に腹が1つ、節が1つだけ存在する最も単純な振動モード。
  • このとき、管の長さ \(L\) は、ちょうど開口端の腹と閉口端の節の間の距離に等しくなります。
  • したがって、\(L = \displaystyle\frac{\lambda}{4}\) という関係が成り立ちます。
• 波の基本式: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には、常に以下の関係が成り立ちます。
  $$ v = f\lambda $$

具体的な解説と立式
閉管内で生じる定在波は、開口端が腹、閉口端が節となります。
問題で問われている「基本振動」は、この条件を満たす最も波長が長い振動であり、管の中には腹と節が1つずつだけ存在します。
定在波において、腹と節の間の距離は波長 \(\lambda\) の \(\displaystyle\frac{1}{4}\) です。閉管の基本振動では、この距離が管の長さ \(L\) に等しくなります。
したがって、管の長さ \(L\) と波長 \(\lambda\) の間には、次の関係式が成り立ちます。
$$ L = \frac{\lambda}{4} \quad \cdots ① $$
この式を用いて、まず波長 \(\lambda\) を求めます。
次に、波の基本式 \(v = f\lambda\) を用いて、求める振動数 \(f\) を計算します。
$$ v = f\lambda \quad \cdots ② $$
問題文から、管の長さ \(L = 50 \, \text{cm}\)、音速 \(v = 340 \, \text{m/s}\) が与えられています。

まず、式①を \(\lambda\) について解き、与えられた管の長さ \(L = 50 \, \text{cm} = 0.50 \, \text{m}\) を代入して、波長 \(\lambda\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 4L \\[2.0ex]&= 4 \times 0.50 \\[2.0ex]&= 2.0 \, \text{m}
\end{aligned}
$$
次に、式②を \(f\) について解き、与えられた音速 \(v = 340 \, \text{m/s}\) と、上で求めた波長 \(\lambda = 2.0 \, \text{m}\) を代入して、振動数 \(f\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{v}{\lambda} \\[2.0ex]&= \frac{340}{2.0} \\[2.0ex]&= 170 \, \text{Hz}
\end{aligned}
$$
有効数字を2桁で表すと、\(1.7 \times 10^2 \, \text{Hz}\) となります。

試験管に息を吹きかけて音を出すのをイメージしてください。

1. 波の形を考える: 閉管の場合、物理のルールで、閉じている底が「節」（動かない点）、開いている口が「腹」（一番大きく振動する点）になります。
2. 基本振動の形: 最もシンプルな振動（基本振動）は、管の中にこの「腹」と「節」が1つずつだけ入っている状態です。
3. 波長を計算する: 物理のもう一つのルールで、「腹と節の間の距離」は「波長全体の4分の1」にあたります。この問題では、管の長さがちょうどこの距離に等しいので、「管の長さ = 波長の4分の1」という関係になります。
4. 値を代入する: 管の長さは \(50 \, \text{cm}\) なので、波長全体は \(50 \, \text{cm} \times 4 = 200 \, \text{cm}\) となります。メートルに直すと \(2.0 \, \text{m}\) です。
5. 振動数を計算する: 最後に、公式「振動数 = 速さ ÷ 波長」を使います。速さは \(340 \, \text{m/s}\)、波長は \(2.0 \, \text{m}\) なので、\(340 \div 2.0 = 170\)。答えは \(170 \, \text{Hz}\) です。有効数字を考慮して \(1.7 \times 10^2 \, \text{Hz}\) とします。

④ 閉管の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「閉管の倍振動と変位・圧力の関係」です。閉管内に生じる高次の定在波のモードを特定し、音波の変位と圧力（疎密）の関係を理解することが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、閉管の共鳴の中でも基本振動より複雑な「倍振動」を扱います。まず、図に描かれた波の形を分析することが重要です。閉管では、閉口端が変位の「節」、開口端が「腹」になるというルールがあります。図の波形が、このルールを満たしつつ、腹と節がいくつ含まれているかを確認することで、振動のモード（何倍音か）を特定できます。
次に、この問題の核心である「空気の疎密の変化が最大になる」場所を考えます。音波は空気の変位の波であると同時に、圧力（疎密）の波でもあります。この2つは位相がずれており、変位が全くない「節」において、空気の圧縮・膨張が最も激しくなり、圧力（疎密）の変化が最大になります。この関係性を正しく理解することが、第2の問いに答えるための鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 閉管の振動モード: 閉管では、基本振動の奇数倍の振動数を持つ「奇数倍音」のみが生じます。
  • 基本振動（1倍音）: 管長 \(L = 1 \times \displaystyle\frac{\lambda_1}{4}\)。腹は1つ。
  • 3倍振動（3倍音）: 管長 \(L = 3 \times \displaystyle\frac{\lambda_3}{4}\)。腹は2つ。
  • 5倍振動（5倍音）: 管長 \(L = 5 \times \displaystyle\frac{\lambda_5}{4}\)。腹は3つ。
• 変位と圧力（疎密）の関係:
  • 変位の腹（媒質が最も大きく動く点） ⇔ 圧力の節（圧力変化がゼロの点）
  • 変位の節（媒質が全く動かない点） ⇔ 圧力の腹（圧力変化が最大の点）
• したがって、「空気の疎密の変化が最大」になる場所とは、変位の定在波における「節」の位置を指します。

具体的な解説と立式
1. 何倍音か？
図の定在波は、閉口端(\(x=0\))が節、開口端(\(x=L\))が腹となっています。定在波において、腹と節の間の距離は波長 \(\lambda\) の \(\displaystyle\frac{1}{4}\) に相当します。
図の波形は、閉口端から開口端までに、節と腹の間隔（\(\displaystyle\frac{\lambda}{4}\)）が3つ分含まれています。
したがって、管の長さ \(L\) と、この定在波をつくる波の波長 \(\lambda\) の間には、次の関係が成り立ちます。
$$ L = 3 \times \frac{\lambda}{4} \quad \cdots ① $$
一方、基本振動の波長を \(\lambda_1\) とすると、その関係は \(L = 1 \times \displaystyle\frac{\lambda_1}{4}\) です。
波の速さ \(v\) は一定なので、波の基本式 \(v=f\lambda\) より、振動数 \(f\) は波長 \(\lambda\) に反比例します。
式①から \(\lambda = \displaystyle\frac{4L}{3}\)、基本振動では \(\lambda_1 = 4L\) なので、\(\lambda = \displaystyle\frac{\lambda_1}{3}\) となります。
よって、この音の振動数 \(f\) は基本振動数 \(f_1\) の3倍、すなわち「3倍音」です。

2. 疎密の変化が最大になるx座標
空気の疎密の変化が最大になるのは、変位の定在波における「節」の位置です。
図から、節は閉口端 \(x=0\) と、管の途中の1点にあります。この途中の点の座標を求めます。
式①の関係から、この定在波の波長 \(\lambda\) を計算できます。
$$ \lambda = \frac{4}{3}L \quad \cdots ② $$
節と節の間隔は \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) です。閉口端 \(x=0\) が節なので、次の節は \(x = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の位置にあります。

1. 倍音の特定
図の定在波は、基本となる形（腹と節の間隔 \(\displaystyle\frac{\lambda}{4}\)）が3つ分、管の長さ \(L\) に収まっています。基本振動ではこの形が1つ分なので、この音は基本振動の3倍の振動数を持つ「3倍音」です。

2. 疎密の変化が最大になるx座標の計算
疎密の変化が最大になるのは、変位の節の位置です。
まず、管の長さ \(L = 30 \, \text{cm}\) を用いて、この定在波の波長 \(\lambda\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
L &= 3 \times \frac{\lambda}{4} \\[2.0ex]30 &= \frac{3}{4}\lambda \\[2.0ex]\lambda &= 30 \times \frac{4}{3} \\[2.0ex]&= 40 \, \text{cm}
\end{aligned}
$$
変位の節は、閉口端 \(x=0\) と、そこから \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) だけ離れた位置にあります。

• 1つ目の節: \(x = 0 \, \text{cm}\)
• 2つ目の節: \(x = 0 + \displaystyle\frac{\lambda}{2} = \frac{40}{2} = 20 \, \text{cm}\)

したがって、求めるx座標は \(x=0, 20 \, \text{cm}\) です。

1. 何倍音か？
閉管の基本振動は、管の中に波の基本パーツ（\(\displaystyle\frac{1}{4}\)波長）が1つだけ入った形です。図をよく見ると、閉じた端から開いた口まで、波の基本パーツが3つ入っていることがわかります。したがって、これは基本振動の3倍の振動数を持つ音、つまり「3倍音」です。

2. 空気が一番混み合う場所は？
「空気の疎密の変化が最大」とは、空気がぎゅうぎゅうに詰まったり（密）、逆にスカスカになったり（疎）する場所のことです。これは、音波の変位の図でいうと、媒質が全く動かない点、つまり「節」で起こります。

• 図から、節は左端の \(x=0\) と、管の途中にあります。
• 管の長さ \(30 \, \text{cm}\) の中に、波の基本パーツが3つ入っているので、1つのパーツの長さは \(30 \div 3 = 10 \, \text{cm}\) です。
• 節は、左端からパーツ2つ分離れた場所にもあります。つまり、\(x = 10 \, \text{cm} \times 2 = 20 \, \text{cm}\) の位置です。

よって、空気が一番混み合う（またはスカスカになる）場所は、\(x=0\) と \(x=20 \, \text{cm}\) の2か所です。

⑤ 開管の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「開管内の気柱の共鳴（基本振動）」です。両端が開いた管の中で音が共鳴する際の、最も基本的な振動の条件を理解し、与えられた振動数と音速から管の長さを求めることが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、開管（両端が開いている管）の気柱の振動を扱っています。閉管との大きな違いは、管の両端がどちらも「開口端」である点です。

• 開口端：空気の分子が最も自由に振動できるため、定在波の「腹」になります。

したがって、開管の定在波は両端が腹となります。
「基本振動」とは、この条件を満たす中で最も単純な（つまり、波長が最も長い）定在波のことです。この波形を正しくイメージし、管の長さと波長の関係を導き出すことが重要です。
この問題では、振動数と音速が与えられているため、先に波長を計算し、その後に管の長さを求めるという手順が分かりやすいでしょう。

この設問における重要なポイント

• 開管の定在波の条件:
  • 両方の開口端：腹（振動が最大）
• 定在波の腹と腹の間隔: 隣り合う腹と腹の間の距離は、元の進行波の波長の半分 (\(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)) に等しい。
• 開管の基本振動:
  • 管内に腹が2つ（両端）、節が1つ（中央）だけ存在する最も単純な振動モード。
  • このとき、管の長さ \(L\) は、ちょうど両端の腹と腹の間の距離に等しくなります。
  • したがって、\(L = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) という関係が成り立ちます。
• 波の基本式: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には、常に以下の関係が成り立ちます。
  $$ v = f\lambda $$

具体的な解説と立式
開管内で生じる定在波は、両端が腹となります。
問題で問われている「基本振動」は、管の中央に節が1つ、両端に腹が2つある形になります。
定在波において、腹から隣の腹までの距離は波長 \(\lambda\) の半分 (\(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)) です。開管の基本振動では、この距離が管の長さ \(L\) に等しくなります。
したがって、管の長さ \(L\) と波長 \(\lambda\) の間には、次の関係式が成り立ちます。
$$ L = \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ① $$
この問題では、音速 \(v\) と振動数 \(f\) が与えられているので、まず波の基本式を用いて波長 \(\lambda\) を求めます。
$$ v = f\lambda \quad \cdots ② $$
求めた \(\lambda\) を式①に代入することで、管の長さ \(L\) を計算できます。

まず、式②を \(\lambda\) について解き、与えられた音速 \(v = 340 \, \text{m/s}\) と振動数 \(f = 850 \, \text{Hz}\) を代入して、波長 \(\lambda\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \frac{v}{f} \\[2.0ex]&= \frac{340}{850} \\[2.0ex]&= \frac{34}{85} \\[2.0ex]&= \frac{2 \times 17}{5 \times 17} \\[2.0ex]&= \frac{2}{5} \\[2.0ex]&= 0.40 \, \text{m}
\end{aligned}
$$
次に、この波長 \(\lambda = 0.40 \, \text{m}\) を式①に代入して、管の長さ \(L\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
L &= \frac{\lambda}{2} \\[2.0ex]&= \frac{0.40}{2} \\[2.0ex]&= 0.20 \, \text{m}
\end{aligned}
$$
解答の有効数字を考慮すると、\(L = 0.200 \, \text{m}\) となります。

リコーダーのような両端が開いた管をイメージしてください。

1. 波の形を考える: 開管の場合、物理のルールで、両端が「腹」（一番大きく振動する点）になります。
2. 基本振動の形: 最もシンプルな振動は、両端が腹で、その真ん中に「節」（動かない点）が1つある形です。
3. 管の長さと波長の関係: 物理のもう一つのルールで、「腹から隣の腹までの距離」は「波長全体の半分」にあたります。この問題では、管の長さがちょうどこの距離に等しいので、「管の長さ = 波長の半分」という関係になります。
4. 計算の順番:
   1. (1) まず、公式「波長 = 速さ ÷ 振動数」で波長を計算します。
      速さ \(340 \, \text{m/s}\)、振動数 \(850 \, \text{Hz}\) なので、波長は \(340 \div 850 = 0.4 \, \text{m}\) です。
   2. (2) 次に、上で考えた関係「管の長さ = 波長の半分」を使います。
      波長が \(0.4 \, \text{m}\) なので、管の長さはその半分の \(0.4 \div 2 = 0.2 \, \text{m}\) です。

したがって、答えは \(0.200 \, \text{m}\) となります。

⑥ 倍音

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「開管の固有振動（倍振動）」です。開管で共鳴が起こる振動数（固有振動数）には特定の関係があることを理解し、基本振動の次に起こる共鳴の振動数を求めることが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、開管でどのような振動数の音が共鳴できるか（固有振動数）を問う問題です。開管では、基本振動数 \(f_1\) を基準として、その整数倍の振動数 \(f_1, 2f_1, 3f_1, \dots\) で共鳴が起こるという非常に重要な性質があります。
問題文では、基本振動数が \(850 \, \text{Hz}\) であることが与えられています。ここからスピーカーの振動数を上げていくとき、「最初に共鳴が起こる」というのは、基本振動（\(m=1\)）の次に共鳴が可能となる振動モード、すなわち「2倍振動」（\(m=2\)）の振動数を求めなさい、ということを意味しています。
したがって、この問題は複雑な計算を必要とせず、開管の倍音の構造を理解していれば、単純な掛け算で答えを導くことができます。

この設問における重要なポイント

• 開管の固有振動数: 開管では、基本振動数 \(f_1\) の整数倍の振動数で共鳴が起こります。これを「整数倍音」と呼びます。
• 固有振動数 \(f_m\) は、\(m\) を自然数として次のように表せます。
  $$ f_m = m \times f_1 \quad (m=1, 2, 3, \dots) $$
  ここで、\(f_1\) は基本振動数です。
• \(m=1\): 基本振動（1倍音）
• \(m=2\): 2倍振動（2倍音）
• \(m=3\): 3倍振動（3倍音）
• 「次に共鳴する振動数」とは、現在の振動モードの次のモードの振動数を意味します。

具体的な解説と立式
開管では、両端が腹となる定在波が生じます。腹が \(m+1\) 個（節が \(m\) 個）の定在波（\(m\)倍振動）が起こるときの固有振動数 \(f_m\) は、管の長さを \(L\)、音速を \(v\) として、一般に次の式で与えられます。
$$ f_m = m \frac{v}{2L} \quad (m=1, 2, 3, \dots) \quad \cdots ① $$
この式で \(m=1\) のときが基本振動数 \(f_1\) です。
$$ f_1 = \frac{v}{2L} $$
したがって、式①は次のように書き換えることができます。
$$ f_m = m \times f_1 \quad \cdots ② $$
この関係から、開管の固有振動数は基本振動数 \(f_1\) の整数倍になることがわかります。
問題文より、基本振動数は \(f_1 = 850 \, \text{Hz}\) です。
この振動数から大きくしていって、次に共鳴が起こるのは \(m=2\) の2倍振動のときです。その振動数を \(f_2\) とすると、式②より、
$$ f_2 = 2 \times f_1 \quad \cdots ③ $$
となります。

式③に、与えられた基本振動数 \(f_1 = 850 \, \text{Hz}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f_2 &= 2 \times f_1 \\[2.0ex]&= 2 \times 850 \\[2.0ex]&= 1700 \, \text{Hz}
\end{aligned}
$$
有効数字3桁で表すと、\(1.70 \times 10^3 \, \text{Hz}\) となります。

リコーダーのような両端が開いた管（開管）で共鳴する音には、きれいな関係性があります。

1. 共鳴のルール: 基本となる音（基本振動）の振動数を \(f_1\) とすると、その2倍、3倍、4倍、…と、ちょうど整数倍の振動数の音も共鳴することができます。
2. 問題の状況: この問題では、基本の音が \(850 \, \text{Hz}\) であることがわかっています。
3. 聞かれていること: 「\(850 \, \text{Hz}\) からだんだん音を高くしていって、次に共鳴する音は？」と聞かれています。
4. 答えの導き方: これは、基本の音（1倍の音）の「次」に共鳴する音、つまり「2倍の振動数」の音はいくつか、ということを聞いているのと同じです。
5. 計算: 計算はとてもシンプルです。
   \(850 \, \text{Hz} \times 2 = 1700 \, \text{Hz}\)
   これを科学的な表記にすると \(1.70 \times 10^3 \, \text{Hz}\) となります。

⑦ うなり

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「うなり」です。振動数がわずかに異なる2つの音を同時に鳴らしたときに、音が周期的に強弱を繰り返す現象の性質を理解し、1秒あたりのうなりの回数を計算することが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
「うなり」とは、2つの音が重なり合うことで、音の大きさが「ワーン、ワーン、…」と周期的に変化して聞こえる現象です。これは、2つの波の山と山が重なって音が大きくなるタイミング（強め合い）と、山と谷が重なって音が小さくなるタイミング（弱め合い）が、周期的に繰り返されるために生じます。
この問題のポイントは、1秒間に何回うなりが聞こえるか（うなりの振動数）は、元の2つの音の振動数の「差」を計算するだけで求められる、という点です。公式さえ覚えていれば、非常に簡単に解くことができます。

この設問における重要なポイント

• うなりの振動数（1秒あたりの回数）: 2つの音源の振動数をそれぞれ \(f_1\)、\(f_2\) とすると、1秒間に聞こえるうなりの回数 \(N\) は、2つの振動数の差の絶対値で与えられます。
  $$ N = |f_1 – f_2| $$
• この \(N\) の単位は [回/s] ですが、振動数の単位である [Hz] と同じ意味です。
• 公式に絶対値がついているのは、うなりの回数は常に正の値であり、\(f_1\) と \(f_2\) のどちらが大きいかには関係ないからです。

具体的な解説と立式
問題文から、2つのおんさA, Bの振動数はそれぞれ \(f_A = 320 \, \text{Hz}\)、\(f_B = 322 \, \text{Hz}\) です。
1秒間に生じるうなりの回数を \(N\) [回/s] とすると、うなりの公式は次のようになります。
$$ N = |f_A – f_B| \quad \cdots ① $$
この式に、与えられた振動数の値を代入することで、うなりの回数 \(N\) を求めることができます。

式①に、おんさAの振動数 \(f_A = 320 \, \text{Hz}\) と、おんさBの振動数 \(f_B = 322 \, \text{Hz}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
N &= |320 – 322| \\[2.0ex]&= |-2| \\[2.0ex]&= 2 \, \text{[回/s]}
\end{aligned}
$$
したがって、1秒間にうなりは2回生じます。

「うなり」とは、少しだけ音の高さが違う2つのおんさを同時に鳴らしたときに、「ワーン、ワーン」と音が大きくなったり小さくなったりして聞こえる現象のことです。
1秒間に何回「ワーン」と聞こえるかを計算するのは、とても簡単です。
やり方は、2つのおんさの振動数を引き算するだけです。
この問題では、おんさの振動数は \(320 \, \text{Hz}\) と \(322 \, \text{Hz}\) です。
その差は、\(322 – 320 = 2\) です。
したがって、1秒間に2回、うなりが聞こえることになります。

⑧ うなり

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「うなりを利用した未知の振動数の特定」です。2種類の既知の音源とのうなりの回数から、未知の音源の振動数を絞り込んでいくパズルのような問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、うなりの公式 \(N = |f_1 – f_2|\) を応用して、未知の振動数 \(f\) を特定する問題です。
うなりの回数 \(N\) と基準の振動数 \(f_1\) がわかっていても、未知の振動数 \(f_2\) は \(f_1\) よりも高い場合と低い場合の両方の可能性があります。つまり、\(f_2 = f_1 + N\) と \(f_2 = f_1 – N\) の2つの候補が考えられます。
この問題では、基準となるおんさがAとBの2つあり、それぞれについて未知のおんさCの振動数 \(f\) の候補をリストアップします。そして、両方のリストに共通して含まれる値が、求めるべき唯一の答えとなります。

この設問における重要なポイント

• うなりの公式: 2つの音源の振動数を \(f_1\), \(f_2\) とすると、1秒間のうなりの回数 \(N\) は \(N = |f_1 – f_2|\) で与えられる。
• 未知の振動数の候補: 基準となる振動数 \(f_0\) とのうなりの回数 \(N\) が分かっているとき、未知の振動数 \(f\) は以下の2つの可能性がある。
  $$ f = f_0 + N \quad \text{または} \quad f = f_0 – N $$
• 解の絞り込み: 2つの独立した条件から得られる候補の中から、共通する値を見つけ出すことで解を一つに確定させる。

具体的な解説と立式
未知のおんさCの振動数を \(f\) [Hz] とします。
おんさA（振動数 \(f_A = 320 \, \text{Hz}\)）との間に1秒間に3回のうなりが生じることから、うなりの公式より次の関係式が成り立ちます。
$$ |f – f_A| = 3 $$
$$ |f – 320| = 3 \quad \cdots ① $$
同様に、おんさB（振動数 \(f_B = 322 \, \text{Hz}\)）との間に1秒間に5回のうなりが生じることから、次の関係式が成り立ちます。
$$ |f – f_B| = 5 $$
$$ |f – 322| = 5 \quad \cdots ② $$
これら2つの式を同時に満たす \(f\) の値が、求めるおんさCの振動数です。

まず、式①を解いて、おんさCの振動数 \(f\) の候補を求めます。
$$
\begin{aligned}
|f – 320| &= 3 \\[2.0ex]f – 320 &= \pm 3 \\[2.0ex]f &= 320 \pm 3
\end{aligned}
$$
これにより、\(f\) の候補は \(f = 323 \, \text{Hz}\) または \(f = 317 \, \text{Hz}\) となります。

次に、式②を解いて、同様に \(f\) の候補を求めます。
$$
\begin{aligned}
|f – 322| &= 5 \\[2.0ex]f – 322 &= \pm 5 \\[2.0ex]f &= 322 \pm 5
\end{aligned}
$$
これにより、\(f\) の候補は \(f = 327 \, \text{Hz}\) または \(f = 317 \, \text{Hz}\) となります。

最後に、両方の条件から得られた候補を比較し、共通する値を見つけます。

• 条件①からの候補: {317, 323}
• 条件②からの候補: {317, 327}

両方のリストに共通して含まれる値は \(317\) です。
したがって、おんさCの振動数は \(f = 317 \, \text{Hz}\) です。

これは、犯人（未知のおんさCの振動数）を2つの目撃証言から特定するようなパズルです。
目撃証言1（おんさAより）:
「犯人CとAさん(320Hz)を比べたら、3だけ違っていた」
この証言から、犯人Cの振動数は、320より3大きい「323Hz」か、3小さい「317Hz」のどちらかだとわかります。
容疑者は「323」と「317」の2人に絞られました。

目撃証言2（おんさBより）:
「犯人CとBさん(322Hz)を比べたら、5だけ違っていた」
この証言から、犯人Cの振動数は、322より5大きい「327Hz」か、5小さい「317Hz」のどちらかだとわかります。
こちらの証言による容疑者は「327」と「317」の2人です。

犯人の特定:
両方の目撃証言に共通して登場する容疑者が、真の犯人です。

• 証言1の容疑者リスト: {317, 323}
• 証言2の容疑者リスト: {317, 327}

両方のリストにいるのは「317」だけです。
したがって、おんさCの振動数は \(317 \, \text{Hz}\) と特定できます。

例題

例題54 弦の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弦の定在波（固有振動）」です。弦に生じる定在波の基本的な性質を理解しているかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
弦に生じた定在波の様子から、まず「波長」を求め、次に「速さ」を計算する問題です。定在波の図から、弦の長さと波長の関係を正しく読み取ることが第一歩です。弦の両端が節となる基本振動では、弦の長さがちょうど半波長分に相当します。波長が分かれば、波の基本式 \(v=f\lambda\) を用いて速さを求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 弦の両端は定在波の「節」になる。
• 腹が1つの定在波（基本振動）では、弦の長さ \(L\) は半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) に等しい。
• 波の基本式：速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の関係は \(v = f\lambda\) で与えられる。

具体的な解説と立式
問題で与えられた条件は、弦の長さ \(L = 0.40 \text{ m}\)、振動数 \(f = 200 \text{ Hz}\) です。
図に示されているのは、両端が節で、中央に腹が1つある最も単純な形の定在波で、これを「基本振動」と呼びます。

定在波において、節から隣の節までの距離は、波長の半分、つまり \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) です。
本問では、弦の両端が節になっているため、弦の長さ \(L\) と波長 \(\lambda\) の間には以下の関係が成り立ちます。
$$ L = \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ① $$
この式から波長 \(\lambda\) を求めることができます。

次に、弦を伝わる波の速さ \(v\) は、振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\) を用いて、波の基本式で表されます。
$$ v = f\lambda \quad \cdots ② $$

まず、式①を用いて波長 \(\lambda\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
0.40 &= \frac{\lambda}{2} \\[2.0ex]\lambda &= 2 \times 0.40 \\[2.0ex]&= 0.80 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
次に、この \(\lambda\) の値と与えられた振動数 \(f=200 \text{ Hz}\) を式②に代入して、速さ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= 200 \times 0.80 \\[2.0ex]&= 160 \\[2.0ex]&= 1.6 \times 10^2 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字は問題文に合わせて2桁で表します。

まず波長を求めます。図を見ると、弦の長さ \(0.40 \text{ m}\) の中に、波の「山」がちょうど1つ分すっぽり入っています。これは波1つ分の長さ（波長）のちょうど半分です。したがって、本当の波長は \(0.40 \text{ m}\) の2倍、つまり \(0.80 \text{ m}\) となります。
次に速さを計算します。波の速さは「速さ = 振動数 × 波長」という公式で求められます。振動数は1秒間に200回揺れることを意味する \(200 \text{ Hz}\)、波長は \(0.80 \text{ m}\) なので、この2つを掛け合わせると、速さは \(160 \text{ m/s}\) となります。

弦を伝わる波の波長は \(0.80 \text{ m}\)、速さは \(1.6 \times 10^2 \text{ m/s}\) です。
基本振動の図から波長と弦の長さの関係を正しく導き、波の基本式に適用して計算しました。結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
同じ弦で「腹が2つ」の定在波を作るための振動数を求める問題です。ここでの最大のポイントは、「弦の物理的な性質（張力や線密度）は変わらないため、(1)で求めた波の速さ \(v\) はこの場合でも一定である」という点を理解しているかです。
まず、腹が2つの定在波（2倍振動）の波形を考え、弦の長さ \(L\) と新しい波長 \(\lambda’\) の関係を導きます。その後、一定である速さ \(v\) と新しい波長 \(\lambda’\) を使って、波の基本式 \(v = f’\lambda’\) から新しい振動数 \(f’\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 弦を伝わる波の速さ \(v\) は、弦の張力と線密度のみで決まり、振動数 \(f\) や波長 \(\lambda\) にはよらない。
• 腹が2つの定在波（2倍振動）では、弦の長さ \(L\) は1波長 \(\lambda’\) に等しい。
• 波の基本式: \(v = f’\lambda’\)

具体的な解説と立式
腹が2つの定在波（2倍振動）が生じるときの振動数を \(f’\)、波長を \(\lambda’\) とします。
この場合、弦の上には腹が2つ、節が3つ（両端と中央）できます。弦の長さ \(L\) の中に、ちょうど1波長分の波形が収まることになります。

したがって、弦の長さ \(L\) と新しい波長 \(\lambda’\) の間には以下の関係が成り立ちます。
$$ L = \lambda’ \quad \cdots ③ $$
弦の材質や張力は変わらないので、弦を伝わる波の速さ \(v\) は(1)で求めた値と同じです。
波の基本式に、この新しい波長 \(\lambda’\) と求める振動数 \(f’\) を適用すると、
$$ v = f’\lambda’ \quad \cdots ④ $$
となります。この式を \(f’\) について解くことで、答えを導きます。

まず、式③から新しい波長 \(\lambda’\) を求めます。
$$ \lambda’ = L = 0.40 \text{ [m]} $$
次に、(1)で求めた速さ \(v = 1.6 \times 10^2 \text{ m/s}\) と、上で求めた波長 \(\lambda’ = 0.40 \text{ m}\) を式④に代入して、振動数 \(f’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
1.6 \times 10^2 &= f’ \times 0.40 \\[2.0ex]f’ &= \frac{1.6 \times 10^2}{0.40} \\[2.0ex]&= \frac{160}{0.4} \\[2.0ex]&= 400 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$

今度は、弦の上に波の「山」と「谷」が1つずつ、つまり波1つ分がぴったり収まる状態を考えます。このとき、波長は弦の長さそのものなので \(0.40 \text{ m}\) となります。
弦の性質は変わっていないので、波が伝わる速さは(1)で計算した \(160 \text{ m/s}\) のままです。
「振動数 = 速さ ÷ 波長」の公式に当てはめると、\(160 \text{ m/s} \div 0.40 \text{ m}\) を計算して、答えは \(400 \text{ Hz}\) となります。

求める振動数は \(400 \text{ Hz}\) です。
(1)の基本振動の振動数は \(f_1 = 200 \text{ Hz}\) でした。腹が \(n\) 個の定在波（\(n\)倍振動）の振動数 \(f_n\) は、基本振動数の \(n\) 倍、すなわち \(f_n = n f_1\) という関係があります。今回は腹が2つなので \(n=2\) であり、\(f_2 = 2 \times f_1 = 2 \times 200 = 400 \text{ Hz}\) となり、計算結果と一致します。このことからも、答えが妥当であることが確認できます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 弦の定在波の成立条件:
  • 核心: 弦に定在波（固有振動）が生じるのは、弦の長さ \(L\) が、弦を伝わる波の半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の整数倍になるときだけである、という幾何学的な条件を理解することが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 公式: \(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2} \quad (n=1, 2, 3, \dots)\)
    • \(n\) は定在波の「腹の数」に一致します。
    • \(n=1\) のときを基本振動、\(n=2\) のときを2倍振動、\(n=3\) のときを3倍振動と呼びます。
• 波の速さの不変性:
  • 核心: 弦を伝わる波の速さ \(v\) は、弦の張力と線密度（弦の重さや太さ）によって決まります。一度、弦を張ってしまえば、振動数 \(f\) を変えても波の速さ \(v\) は変わりません。
  • 理解のポイント:
    • (1)で計算した速さ \(v\) は、(2)でも同じ値として使える、という点がこの問題の鍵です。
    • 振動数を変えると、\(v=f\lambda\) の関係を保つために、波長 \(\lambda\) の方が変化します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 開管・閉管の気柱の共鳴: 考え方は弦の振動と全く同じです。
    • 開管（両端が自由端）: 弦（両端が固定端）と同様に、管の長さ \(L\) が半波長の整数倍 (\(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)) のときに共鳴します。
    • 閉管（一端が固定端、一端が自由端）: 管の長さ \(L\) が1/4波長の「奇数倍」 (\(L = m \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{4}, m=1, 3, 5, \dots\)) のときに共鳴します。
  • 固有振動数の一般式を求める問題: 弦の長さ \(L\)、張力 \(S\)、線密度 \(\rho\) を用いて、\(n\)倍振動の振動数 \(f_n\) を表す問題。(\(v=\sqrt{S/\rho}\) を利用して \(f_n = \displaystyle\frac{n}{2L}\sqrt{\displaystyle\frac{S}{\rho}}\) を導出する)
• 初見の問題での着眼点:
  1. 端の条件を確認する: まず、問題が「弦（両端固定）」「開管（両端自由）」「閉管（一端固定、一端自由）」のどれなのかを把握します。これにより、定在波の条件式が変わります。
  2. 腹の数（または節の数）を数える: 問題の図や「基本振動」「\(n\)倍振動」といった言葉から、腹の数 \(n\) を特定します。これが定在波の条件式 \(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の \(n\) に対応します。
  3. 不変量を見抜く: 問題を通して何が一定で何が変化するのかを見極めます。この問題では「波の速さ \(v\)」が不変でした。問題によっては「振動数 \(f\)」が一定の場合もあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波長 \(\lambda\) と弦の長さ \(L\) の混同:
  • 誤解: (1)で、弦の長さ \(0.40 \text{ m}\) をそのまま波長 \(\lambda\) の値だとしてしまう。
  • 対策: 定在波の「見た目の形」と、それを構成する進行波の「波長」は別物であることを常に意識しましょう。「弦の長さ \(L\) の中に、半波長 (\(\lambda/2\)) が何個入っているか？」と自問自答する癖をつけることで、このミスは防げます。
• 振動数を変えると速さも変わるという誤解:
  • 誤解: (2)で振動数を変えるのだから、波の速さ \(v\) も変わるに違いないと思い込み、計算が行き詰まる。
  • 対策: 「弦を伝わる波の速さ \(v\) は、弦そのものの物理的性質（張力、線密度）で決まる」という大原則をしっかり覚えましょう。ギターの同じ弦で違う音（振動数）を出すときも、弦を伝わる波の速さは同じです。変わるのは波長の方です。
• 固有振動数の関係式の混同:
  • 誤解: 基本振動の振動数を \(f_1\) としたとき、\(n\)倍振動の振動数 \(f_n\) が \(n f_1\) なのか、\((2n-1)f_1\) なのか、といった関係を混同してしまう（特に気柱の共鳴とごっちゃになる）。
  • 対策: \(f_n = n f_1\) のような結果だけを暗記するのではなく、\(L=n\frac{\lambda_n}{2}\) と \(v=f_n\lambda_n\) の2式から毎回自分で導出する練習をしましょう。\(f_n = v/\lambda_n = v/(2L/n) = n(v/2L) = n f_1\) と、数ステップで導けます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 定在波の条件式 (\(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)):
  • 選定理由: 弦に定在波という特別な状態が成立するための「制約条件」を数式で表現するために使います。
  • 適用根拠: 弦の両端は振動できない「固定端」であるため、定在波の「節」になる必要があります。波が弦を往復して干渉し、常に強め合う（定在波を作る）ためには、この「両端が節」という幾何学的な条件を満たさなければなりません。その結果、弦の長さが半波長の整数倍になる、というこの公式が導かれます。
• 波の基本式 (\(v = f\lambda\)):
  • 選定理由: 波の速さ・振動数・波長という3つの基本量を結びつける、最も普遍的な関係式だからです。
  • 適用根拠: この式は、波が「1周期の時間 \(T\) の間に 1波長の距離 \(\lambda\) 進む」という波の定義そのものから来ています。速さ \(v\) = 距離 \(\lambda\) / 時間 \(T\) であり、振動数 \(f\) と周期 \(T\) の関係が \(f=1/T\) なので、\(v = \lambda/T = f\lambda\) となります。これは弦の波だけでなく、音波や光波など、あらゆる波に共通して適用できる大原則です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字の意識: 問題文で与えられている数値が「0.40」「200」であり、どちらも有効数字2桁です。したがって、最終的な答えも有効数字2桁で答えるのが適切です（例: 160 m/s → \(1.6 \times 10^2 \text{ m/s}\)）。
• 分数の計算をマスターする: (2)の \(f’ = \displaystyle\frac{160}{0.40}\) のような計算は、小数点のままだと位取りのミスをしやすいです。\(0.40 = \displaystyle\frac{4}{10}\) と考えて、\(f’ = 160 \div \displaystyle\frac{4}{10} = 160 \times \displaystyle\frac{10}{4} = 40 \times 10 = 400\) のように、分数で計算すると確実性が増します。
• 比例関係で検算する: 弦の振動では、振動数 \(f_n\) は腹の数 \(n\) に比例します (\(f_n \propto n\))。
  • (1)は基本振動 (\(n=1\)) で \(f_1 = 200 \text{ Hz}\) でした。
  • (2)は2倍振動 (\(n=2\)) なので、振動数は \(f_2 = 2 \times f_1 = 2 \times 200 = 400 \text{ Hz}\) となるはずです。
  • このように、計算結果が単純な整数比になっているかを確認することで、検算ができます。

例題55 弦の振動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弦の定在波（固有振動）の応用」です。条件が変化する中で、何が不変で何が変化するのかを正確に見抜くことが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、与えられた初期状態から、弦を伝わる波の基本的な性質である「波長」と「速さ」を求めます。腹が4個の定在波という情報から、弦の長さ \(L\) と波長 \(\lambda\) の関係式を立てます。波長が求まれば、与えられている振動数 \(f\) と波の基本式 \(v=f\lambda\) を用いて、速さ \(v\) を計算することができます。
この設問における重要なポイント

• 腹の数 \(n\) と、弦の長さに含まれる半波長の数は等しい。
• 定在波の条件式: \(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)
• 波の基本式: \(v = f\lambda\)

具体的な解説と立式
問題で与えられた初期条件は、弦の長さ \(L=0.80 \text{ m}\)、腹の数 \(n=4\)、振動数 \(f=400 \text{ Hz}\) です。
弦にできる定在波は、弦の長さ \(L\) が半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の整数倍になるという条件を満たします。腹の数 \(n\) を使うと、この条件は次のように表せます。
$$ L = n \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ① $$
この式から波長 \(\lambda\) を求めることができます。

次に、波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の関係は、波の基本式で与えられます。
$$ v = f\lambda \quad \cdots ② $$

まず、式①に \(L=0.80 \text{ m}\), \(n=4\) を代入して、波長 \(\lambda\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
0.80 &= 4 \times \frac{\lambda}{2} \\[2.0ex]0.80 &= 2\lambda \\[2.0ex]\lambda &= \frac{0.80}{2} \\[2.0ex]&= 0.40 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
次に、この \(\lambda\) の値と与えられた振動数 \(f=400 \text{ Hz}\) を式②に代入して、速さ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= 400 \times 0.40 \\[2.0ex]&= 160 \\[2.0ex]&= 1.6 \times 10^2 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

弦の長さ \(0.80 \text{ m}\) の中に、腹が4つできています。腹1つ分の長さは半波長なので、弦全体では半波長が4つ、つまり2波長分の長さになっています。したがって、1波長分の長さは \(0.80 \text{ m} \div 2 = 0.40 \text{ m}\) です。
波の速さは「振動数 × 波長」で計算できるので、\(400 \text{ Hz} \times 0.40 \text{ m} = 160 \text{ m/s}\) となります。

弦を伝わる波の波長は \(0.40 \text{ m}\)、速さは \(1.6 \times 10^2 \text{ m/s}\) です。
この速さ \(v\) は、弦の張力（おもりの重さ）と弦の線密度によって決まる値であり、(2)と(3)でもこの値が使われます。

問(2)

思考の道筋とポイント
「弦の長さはそのままで」「振動数を変える」という条件設定です。このとき、何が一定で何が変わるかを整理することが重要です。
不変量：弦の長さ \(L\)、おもりの重さ（→弦の張力）、弦の材質（→線密度）。張力と線密度が不変なので、(1)で求めた波の速さ \(v\) も不変です。
変化量：振動数 \(f\)、腹の数 \(n\)、波長 \(\lambda\)。
新しい腹の数 \(n’=5\) と不変の弦の長さ \(L\) から新しい波長 \(\lambda’\) を求め、不変の速さ \(v\) と波の基本式を使って新しい振動数 \(f’\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 不変量を見抜く：弦の長さ \(L\) と波の速さ \(v\) は(1)から変わらない。
• 変化するのは振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\)。
• 定在波の条件式と波の基本式を、新しい値（\(n’, \lambda’, f’\)）で適用する。

具体的な解説と立式
条件を整理します。
不変量: \(L=0.80 \text{ m}\), \(v=1.6 \times 10^2 \text{ m/s}\)
変化量: \(n \rightarrow n’=5\), \(f \rightarrow f’=?\), \(\lambda \rightarrow \lambda’\)

まず、新しい波長 \(\lambda’\) を定在波の条件式から求めます。
$$ L = n’ \frac{\lambda’}{2} \quad \cdots ③ $$
次に、求めた \(\lambda’\) と不変の \(v\) を使って、波の基本式から新しい振動数 \(f’\) を求めます。
$$ v = f’\lambda’ \quad \cdots ④ $$

まず、式③に \(L=0.80 \text{ m}\), \(n’=5\) を代入して、新しい波長 \(\lambda’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
0.80 &= 5 \times \frac{\lambda’}{2} \\[2.0ex]\lambda’ &= \frac{0.80 \times 2}{5} \\[2.0ex]&= \frac{1.6}{5} \\[2.0ex]&= 0.32 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
次に、式④に \(v=1.6 \times 10^2 \text{ m/s}\), \(\lambda’=0.32 \text{ m}\) を代入して、新しい振動数 \(f’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
1.6 \times 10^2 &= f’ \times 0.32 \\[2.0ex]f’ &= \frac{160}{0.32} \\[2.0ex]&= \frac{16000}{32} \\[2.0ex]&= 500 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$

弦の長さと波の速さは変わらないままで、腹の数を4個から5個に増やします。同じ長さに多くの腹を詰め込むので、波長は短くなります。波の速さが一定のとき、波長が短くなるということは、振動数を高くする必要があることを意味します（\(f=v/\lambda\)）。計算の結果、振動数を \(500 \text{ Hz}\) にすればよいことがわかります。

求める振動数は \(500 \text{ Hz}\) です。
弦の長さ \(L\) と速さ \(v\) が一定のとき、固有振動数 \(f_n\) は腹の数 \(n\) に比例します（\(f_n = n \cdot \frac{v}{2L}\)）。(1)では \(n=4\) で \(f_4=400 \text{ Hz}\) でした。したがって、\(n=5\) のときの振動数 \(f_5\) は、\(f_5 = \frac{5}{4} f_4 = \frac{5}{4} \times 400 = 500 \text{ Hz}\) となり、計算結果と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は「振動数はそのままで」「弦の長さを変える」という条件設定です。
不変量：振動数 \(f\)、おもりの重さ（→速さ \(v\)）。速さ \(v\) と振動数 \(f\) が両方とも不変なので、波の基本式 \(v=f\lambda\) より、波長 \(\lambda\) も不変となります。
変化量：弦の長さ \(L\)、腹の数 \(n\)。
不変の波長 \(\lambda\) と、新しい腹の数 \(n”=5\) を使って、定在波の条件式から新しい弦の長さ \(L”\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 不変量を見抜く：振動数 \(f\) と波の速さ \(v\) が(1)から変わらない。
• \(v\) と \(f\) が不変であるため、波長 \(\lambda\) も不変である。
• 変化するのは弦の長さ \(L\) と腹の数 \(n\)。

具体的な解説と立式
条件を整理します。
不変量: \(f=400 \text{ Hz}\), \(v=1.6 \times 10^2 \text{ m/s}\)
これから、波長 \(\lambda” = v/f = (1.6 \times 10^2) / 400 = 0.40 \text{ m}\) も不変であることがわかります。これは(1)の波長と同じです。
変化量: \(n \rightarrow n”=5\), \(L \rightarrow L”=?\)

不変の波長 \(\lambda”\) と新しい腹の数 \(n”\) を使って、定在波の条件式から新しい弦の長さ \(L”\) を求めます。
$$ L” = n” \frac{\lambda”}{2} \quad \cdots ⑤ $$

式⑤に \(n”=5\), \(\lambda”=0.40 \text{ m}\) を代入して、新しい弦の長さ \(L”\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
L” &= 5 \times \frac{0.40}{2} \\[2.0ex]&= 5 \times 0.20 \\[2.0ex]&= 1.0 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

波の速さと振動数が変わらないので、できあがる波の「形」（波長）は(1)のときと同じ \(0.40 \text{ m}\) です。この同じ形の波を使って、腹を4個から5個に増やしたい場合、単純に腹1つ分（半波長分）だけ弦を長くすればよいと考えられます。しかし、問題は「腹が5個になった」状態の長さを聞いているので、腹5個分の長さを計算します。腹1個分の長さは半波長で \(0.20 \text{ m}\) なので、5個分では \(0.20 \text{ m} \times 5 = 1.0 \text{ m}\) となります。

求める弦の長さは \(1.0 \text{ m}\) です。
波長 \(\lambda\) が一定のとき、定在波の条件式 \(L = n \cdot \frac{\lambda}{2}\) より、弦の長さ \(L\) は腹の数 \(n\) に比例します。(1)では \(n=4\) で \(L=0.80 \text{ m}\) でした。したがって、\(n=5\) のときの弦の長さ \(L”\) は、\(L” = \frac{5}{4} L = \frac{5}{4} \times 0.80 = 1.0 \text{ m}\) となり、計算結果と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 変数と不変量の見極め:
  • 核心: この問題は、弦の定在波に関する3つの主要な物理量（弦の長さ\(L\)、振動数\(f\)、腹の数\(n\)）のうち、どれを固定し、どれを変化させるかを設問ごとに正確に読み解く能力を試しています。物理法則そのものよりも、この「条件整理能力」が核心となります。
  • 理解のポイント:
    • 波の速さ \(v\): 弦の張力（おもりの重さ）と線密度（弦の種類）が変わらない限り、常に一定です。この問題では、おもりを交換していないため、(1)〜(3)を通して \(v\) は不変です。
    • 波長 \(\lambda\): \(v=f\lambda\) の関係から、\(v\) が一定でも \(f\) が変われば \(\lambda\) も変わります。逆に \(f\) が一定なら \(\lambda\) も一定です。
• 2つの基本法則の連動:
  • 核心: 弦の定在波の問題は、常に以下の2つの法則を連立させて解くことになります。
    1. 定在波の条件式: \(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) （幾何学的な制約）
    2. 波の基本式: \(v = f\lambda\) （波の普遍的な性質）
  • 理解のポイント: 設問で与えられた条件（既知の値）と求めたい値（未知の値）を、この2つの式に当てはめて解くだけです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • おもりの重さを変える問題: おもりの質量を \(M\) にすると、張力 \(S=Mg\) が変化し、波の速さ \(v = \sqrt{S/\rho}\) が変化します。この場合、\(v\) が不変ではなくなるため、より複雑な比例計算が必要になります。
  • 気柱の共鳴で水面を上下させる問題: これは(3)の類題です。音源の振動数 \(f\) と音速 \(v\) は一定なので、波長 \(\lambda\) も一定です。水面を下げて気柱の長さ \(L\) を変え、共鳴点（腹の数が変わる点）を探します。
  • うなりを観測する問題: 2つの音源の振動数がわずかに異なるときに発生する「うなり」と、定在波の知識を組み合わせた問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 不変量を特定する: 問題文を読み、「〜はそのままで」「〜を変える」というキーワードに印をつけます。まず、おもりが変わらないかを確認し、速さ \(v\) が一定かどうかを判断します。次に、振動数 \(f\) や弦の長さ \(L\) が固定されているかを確認します。
  2. 初期状態を完全に把握する: (1)のように、まず基準となる状態の物理量（\(L, n, f, \lambda, v\)）を全て計算しておきます。後の設問は、この初期状態から何を変えたのか、という視点で解くことになります。
  3. 比例関係を意識する: 2つの基本式から、各物理量間の比例関係を導出しておくと、計算が速く正確になります。
     • \(L, v\) が一定のとき: \(f_n = n \cdot (\frac{v}{2L})\) より、\(f_n \propto n\) （(2)のパターン）
     • \(f, v\) が一定のとき: \(L_n = n \cdot (\frac{\lambda}{2})\) より、\(L_n \propto n\) （(3)のパターン）

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 全ての設問で条件が同じだと勘違いする:
  • 誤解: (2)で振動数を変えたのに、(3)でもその振動数を引き継いでしまう。あるいは、(3)で弦の長さを変えたのに、(2)の計算でその長さを使ってしまう。
  • 対策: 各設問は独立した思考実験だと考えましょう。(2)と(3)は、どちらも「(1)の状態から変化させたら」という問いです。必ず(1)の初期状態を基準に考える癖をつけます。
• 波長 \(\lambda\) が常に一定だと誤解する:
  • 誤解: (2)で振動数を変えているにもかかわらず、(1)で求めた波長 \(\lambda=0.40 \text{ m}\) を使ってしまい、\(v=f’\lambda\) の式で矛盾が生じる。
  • 対策: 波長 \(\lambda\) は、速さ \(v\) と振動数 \(f\) の両方に依存する従属的な量だと認識しましょう。\(v\) と \(f\) が決まって初めて \(\lambda\) が決まります。\(v\) が一定でも \(f\) が変われば \(\lambda\) は必ず変わります。
• 比例計算の分母と分子を間違える:
  • 誤解: (2)で \(f_5 = \frac{4}{5} f_4\) と計算してしまう。 (3)で \(L_5 = \frac{4}{5} L_4\) と計算してしまう。
  • 対策: 計算する前に物理的な直感を働かせましょう。(2)では腹の数が増える（密になる）ので振動数は上がるはず → 5/4倍。(3)では腹の数が増えるので弦の長さは長くなるはず → 5/4倍。このように、結果が大きくなるか小さくなるかを予測してから計算すると、単純なミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 定在波の条件式 (\(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)) と波の基本式 (\(v = f\lambda\)):
  • 選定理由: この問題は、弦の定在波という現象を扱っており、この2つの式がその現象を記述するための根幹だからです。前者は「定在波が成立するための幾何学的条件」、後者は「波そのものの運動学的性質」を表しており、両方を使わないと現象を完全に記述できません。
  • 適用根拠:
    • (1)では、\(L, n, f\) が既知で \(\lambda, v\) が未知。未知数が2つなので、式も2つ必要です。
    • (2)では、\(L, v, n’\) が既知で \(f’, \lambda’\) が未知。やはり未知数が2つなので、式も2つ必要です。
    • (3)では、\(f, v, n”\) が既知で \(L”, \lambda”\) が未知。同様に未知数が2つなので、式も2つ必要です。
    • このように、未知数の数と方程式の数が一致するため、この2式を連立させることで必ず解ける構造になっています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位を省略しない: 計算過程で \(v=160\), \(\lambda=0.4\) のように単位を省略すると、自分が何の量を計算しているのか混乱しやすくなります。\(v=160 \text{ [m/s]}\), \(\lambda=0.40 \text{ [m]}\) のように、単位を意識することで、次元のチェックも働き、ミスが減ります。
• 小数の割り算: (2)の \(160 \div 0.32\) のような計算は、筆算で間違いやすいポイントです。分数の形 \(\displaystyle\frac{160}{0.32}\) に直し、分母分子を100倍して \(\displaystyle\frac{16000}{32}\) と整数にしてから約分すると、計算ミスを大幅に減らせます。\(16000 \div 32 = (160 \times 100) \div (16 \times 2) = 10 \times 50 = 500\)。
• 比例式による検算: 上記「応用テクニック」で示した比例関係は、検算に非常に有効です。
  • (2)の検算: \(f_5 = \frac{5}{4} f_4 = \frac{5}{4} \times 400 = 500 \text{ Hz}\)。OK。
  • (3)の検算: \(L_5 = \frac{5}{4} L_4 = \frac{5}{4} \times 0.80 = 1.0 \text{ m}\)。OK。
  • この検算は数秒でできるので、必ず実行する習慣をつけましょう。

例題56 気柱の共鳴

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気柱の共鳴と開口端補正」です。閉管における音波の定在波の性質を、実験データに基づいて解き明かす問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
1回目の共鳴と2回目の共鳴が起こったときの気柱の長さ \(L_1\), \(L_2\) を使って、音波の波長 \(\lambda\) を求める問題です。それぞれの共鳴条件を立式し、その差を取ることで、未知数である開口端補正 \(\Delta L\) を消去して \(\lambda\) を求めるのが定石です。
この設問における重要なポイント

• 気柱の共鳴では、管口（開口端）が腹、水面（閉端）が節となる定在波ができる。
• 1回目の共鳴（基本振動）では、有効長 \(L_1 + \Delta L\) が \(\displaystyle\frac{1}{4}\)波長に等しい。
• 2回目の共鳴（3倍振動）では、有効長 \(L_2 + \Delta L\) が \(\displaystyle\frac{3}{4}\)波長に等しい。
• 隣り合う共鳴点間の距離は、常に半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) である。

具体的な解説と立式
気柱の管口から腹までの距離（開口端補正）を \(\Delta L\) とします。
1回目の共鳴は、気柱の有効長 \(L_1 + \Delta L\) が \(\displaystyle\frac{1}{4}\)波長になるときに起こります。
$$ L_1 + \Delta L = \frac{1}{4}\lambda \quad \cdots ① $$
2回目の共鳴は、気柱の有効長 \(L_2 + \Delta L\) が \(\displaystyle\frac{3}{4}\)波長になるときに起こります。
$$ L_2 + \Delta L = \frac{3}{4}\lambda \quad \cdots ② $$
式②から式①を引くと、未知の \(\Delta L\) が消去できます。
$$ (L_2 + \Delta L) – (L_1 + \Delta L) = \frac{3}{4}\lambda – \frac{1}{4}\lambda $$
これを整理すると、\(L_1\) と \(L_2\) の差が半波長に等しいという関係が得られます。
$$ L_2 – L_1 = \frac{1}{2}\lambda \quad \cdots ③ $$

式③を \(\lambda\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= 2(L_2 – L_1)
\end{aligned}
$$

共鳴は、管の先から水面までの間に、定在波の「腹」と「節」がうまく収まるときに起こります。1回目の共鳴と2回目の共鳴では、腹と節のペアが1つ分（＝半波長分）だけ多く収まっています。したがって、気柱の長さの差 \(L_2 – L_1\) が、ちょうど半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) になります。この関係から、波長 \(\lambda\) は長さの差の2倍になります。

管内の音波の波長 \(\lambda\) は \(2(L_2 – L_1)\) です。この方法は、測定が難しい開口端補正 \(\Delta L\) を知らなくても、測定可能な \(L_1, L_2\) から波長を正確に求められるため、実験でよく用いられます。

問(2)

思考の道筋とポイント
開口端補正 \(\Delta L\) を求める問題です。(1)で波長 \(\lambda\) が求まったので、1回目の共鳴条件式（式①）を使えば \(\Delta L\) を計算できます。
この設問における重要なポイント

• 開口端補正 \(\Delta L\) は、定在波の腹が管口から外側にはみ出す距離である。
• 1回目の共鳴条件は、気柱の実際の長さ \(L_1\) と開口端補正 \(\Delta L\) を足した「有効長」が \(\displaystyle\frac{1}{4}\)波長になることである。

具体的な解説と立式
(1)で用いた1回目の共鳴条件式を再掲します。
$$ L_1 + \Delta L = \frac{\lambda}{4} \quad \cdots ① $$
この式を \(\Delta L\) について解くことで、答えを導きます。

式①を \(\Delta L\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= \frac{\lambda}{4} – L_1
\end{aligned}
$$

「開口端補正」とは、いわば「見えない長さ」のことです。1回目の共鳴では、この見えない長さ \(\Delta L\) と、実際の気柱の長さ \(L_1\) を合わせたものが、ちょうど1/4波長分になります。したがって、\(\Delta L\) は、1/4波長から \(L_1\) を引いた残りとなります。

開口端補正 \(\Delta L\) は \(\displaystyle\frac{\lambda}{4} – L_1\) と表せます。これは、(1)で求めた \(\lambda = 2(L_2 – L_1)\) を代入すると、\(\Delta L = \displaystyle\frac{2(L_2 – L_1)}{4} – L_1 = \displaystyle\frac{L_2 – L_1}{2} – L_1 = \displaystyle\frac{L_2 – 3L_1}{2}\) とも表せますが、問題の要求は \(\lambda\) と \(L_1\) を用いて表すことなので、\(\displaystyle\frac{\lambda}{4} – L_1\) が答えとなります。

問(3)

思考の道筋とポイント
スピーカーから出された音の振動数 \(f\) を求める問題です。音速 \(V\) は与えられており、波長 \(\lambda\) は(1)で求まっています。したがって、波の基本式 \(V=f\lambda\) を使えば、簡単に \(f\) を計算できます。
この設問における重要なポイント

• 音速 \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には、常に \(V=f\lambda\) の関係が成り立つ。

具体的な解説と立式
波の基本式は以下の通りです。
$$ V = f\lambda \quad \cdots ④ $$
この式に、(1)で求めた \(\lambda = 2(L_2 – L_1)\) を代入します。

式④を \(f\) について解き、\(\lambda\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{V}{\lambda} \\[2.0ex]&= \frac{V}{2(L_2 – L_1)}
\end{aligned}
$$

波の速さ、振動数、波長はセットで考えるのが基本です。このうち2つが分かれば、残りの1つは必ず計算できます。今回は速さ \(V\) が与えられ、波長 \(\lambda\) は(1)で \(2(L_2 – L_1)\) と分かりました。振動数 \(f\) は「速さ ÷ 波長」で求められるので、\(V\) を \(2(L_2 – L_1)\) で割れば答えが出ます。

振動数 \(f\) は \(\displaystyle\frac{V}{2(L_2 – L_1)}\) です。実験で \(L_1, L_2\) を測定し、音速 \(V\) が分かっていれば、音源の振動数を特定できることを示しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
3回目の共鳴が起こるときの気柱の長さ \(L_3\) を求める問題です。共鳴が等間隔（半波長ごと）に起こるという規則性を利用するのが最も簡単で直感的です。
この設問における重要なポイント

• 共鳴が起こる気柱の長さ \(L_1, L_2, L_3, \dots\) は、公差が \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の等差数列をなす。
• したがって、\(L_2 – L_1 = L_3 – L_2 = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) が成り立つ。

具体的な解説と立式
共鳴は、気柱の長さが半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) 長くなるごとに再び起こります。
したがって、1回目と2回目の長さの差と、2回目と3回目の長さの差は等しくなります。
$$ L_3 – L_2 = L_2 – L_1 $$
この式を、求める \(L_3\) について解きます。

上の関係式を \(L_3\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
L_3 &= L_2 + (L_2 – L_1) \\[2.0ex]&= 2L_2 – L_1
\end{aligned}
$$

共鳴は「等間隔」で起こります。1回目の長さが \(L_1\)、2回目が \(L_2\) だったので、その間隔は \(L_2 – L_1\) です。3回目は、2回目の位置 \(L_2\) から同じ間隔だけ水面を下げたところで起こります。したがって、3回目の長さは \(L_2 + (L_2 – L_1)\) と計算できます。

3回目の共鳴が起こるときの気柱の長さは \(2L_2 – L_1\) です。
別のアプローチとして、3回目の共鳴条件 \(L_3 + \Delta L = \displaystyle\frac{5}{4}\lambda\) を使い、(1), (2)で求めた \(\lambda\) と \(\Delta L\) を代入しても同じ結果が得られますが、計算が複雑になります。共鳴が等間隔で起こるという性質を使う方が、はるかに簡潔で本質的です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 閉管の共鳴条件と開口端補正:
  • 核心: 気柱共鳴の問題は、「有効長」という概念を理解することが全てです。定在波の腹は管口から少しはみ出した位置にできるため、実際の気柱の長さ \(L\) に「開口端補正 \(\Delta L\)」を加えた有効長 \(L+\Delta L\) が、共鳴条件を満たします。
  • 理解のポイント:
    • 境界条件: 開口端が「腹」、水面（閉端）が「節」となります。
    • 共鳴条件式: 有効長 \(L+\Delta L\) が、\(\displaystyle\frac{1}{4}\)波長の「奇数倍」になるときに共鳴します。
      • 1回目（基本振動）: \(L_1 + \Delta L = 1 \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{4}\)
      • 2回目（3倍振動）: \(L_2 + \Delta L = 3 \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{4}\)
      • 3回目（5倍振動）: \(L_3 + \Delta L = 5 \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{4}\)
• 隣り合う共鳴点間の距離の不変性:
  • 核心: この問題で最も強力かつエレガントな解法ツールです。開口端補正 \(\Delta L\) の具体的な値を知らなくても、隣り合う共鳴が起こる気柱の長さの差 (\(L_2 – L_1\), \(L_3 – L_2\)など) は、常に「半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)」に等しくなります。
  • 理由: 上記の共鳴条件式の差を取ると、\((L_2+\Delta L) – (L_1+\Delta L) = \displaystyle\frac{3}{4}\lambda – \displaystyle\frac{1}{4}\lambda\) となり、\(\Delta L\) が消去されて \(L_2 – L_1 = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) という美しい関係式が導かれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 音速を求める実験問題: 逆に、音源の振動数 \(f\) が既知の場合、\(L_1, L_2\) を測定することで、音速 \(V\) を \(V = f\lambda = f \cdot 2(L_2 – L_1)\) として算出できます。これは物理実験の定番テーマです。
  • 開管の共鳴: 両端が開いている管の場合、両端が「腹」となります。この場合、有効長（\(L + 2\Delta L\)）が半波長の整数倍 (\(n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)) のときに共鳴します。弦の振動と似たパターンになります。
  • クインケ管: 音の干渉を調べる装置。2つの経路の長さの差（経路差）が、半波長の偶数倍なら強め合い、奇数倍なら弱め合うという干渉条件を使います。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 管の端の状態を確認: まず「閉管」か「開管」かを見極めます。これで共鳴条件の基本形が決まります。
  2. 開口端補正の要否を判断: 問題文に「開口端補正」の記述があるか、あるいは \(L_1\) だけでなく \(L_2\) のように複数の共鳴点が与えられているかを確認します。複数の共鳴点が与えられていれば、ほぼ間違いなく開口端補正を考慮する問題です。
  3. \(L_2 – L_1 = \lambda/2\) を最優先で利用: 複数の共鳴点の長さが与えられたら、まずこの関係式から波長 \(\lambda\) を求めるのが最も確実で速いアプローチです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 開口端補正 \(\Delta L\) の存在を忘れる:
  • 誤解: 1回目の共鳴条件を、安易に \(L_1 = \displaystyle\frac{\lambda}{4}\) と立式してしまう。
  • 対策: 「気柱の共鳴」と聞いたら、反射的に「開口端補正 \(\Delta L\) はあるか？」と自問する癖をつけましょう。共鳴条件は常に「有効長 \(L+\Delta L\)」で考えることを徹底します。
• 共鳴点間の距離を間違える:
  • 誤解: \(L_2 – L_1 = \lambda\) のように、半波長ではなく1波長と勘違いする。
  • 対策: 定在波の図を頭に思い浮かべるか、簡単に描いてみましょう。1回目の共鳴（腹1つ）と2回目の共鳴（腹2つ）では、波の「腹と節のワンセット」が1つ増えるだけです。このワンセットの長さが半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\) に相当することを視覚的に理解しておけば、間違うことはありません。
• 閉管と開管の条件の混同:
  • 誤解: 閉管なのに、開管や弦の振動と同じように「半波長の整数倍」で共鳴すると考えてしまう。
  • 対策: 「閉管は、\(\displaystyle\frac{1}{4}\)波長の、1倍、3倍、5倍…という奇数倍」と、特徴的な数字とセットで覚えましょう。これも、開口端が腹、閉端が節という図を描けば、なぜそうなるか一目瞭然です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 共鳴条件式 (\(L+\Delta L = (2m-1)\displaystyle\frac{\lambda}{4}\)):
  • 選定理由: これは、閉管という物理的・幾何学的な制約の下で、入射波と反射波が強め合って定在波を形成するための「位相の一致条件」を数式化したものです。
  • 適用根拠: 水面（固定端）で位相が反転して反射した波が、管口まで戻ってきて次の波と強め合うためには、往復距離 \(2(L+\Delta L)\) が波長の整数倍に特定の補正を加えたものになる必要があります。これを整理した結果がこの公式です。
• 差分を取る操作 (\(L_2 – L_1 = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)):
  • 選定理由: これは、未知数であり測定も難しい「開口端補正 \(\Delta L\)」を数式から消去するための、極めて有効な数学的テクニックです。
  • 適用根拠: \(\Delta L\) は管の形状などに依存しますが、一度実験系を組めばその値は一定です。この「不変性」を利用して、2つの共鳴条件式を連立方程式とみなし、辺々を引き算することで \(\Delta L\) を消去できます。これにより、測定が容易な \(L_1, L_2\) だけで、より根源的な物理量である \(\lambda\) を求めることが可能になります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題のように、答えが \(L_1, L_2\) などの文字で要求される場合、最後まで文字のまま丁寧に式変形を行うことが重要です。途中で具体的な数値を代入する問題よりも、むしろ計算ミスは起こりにくいです。
• 括弧の付け忘れに注意: (3)の答え \(f = \displaystyle\frac{V}{2(L_2 – L_1)}\) のように、分母が複数の項を含む場合は、括弧を正しく使うことが不可欠です。\(f = \displaystyle\frac{V}{2L_2 – 2L_1}\) と同じ意味であることを理解しましょう。
• 等差数列による検算: (4)で求めた \(L_3 = 2L_2 – L_1\) は、数列 \(L_1, L_2, L_3\) が公差 \(d=L_2-L_1\) の等差数列をなすことを意味します。これは、共鳴が等間隔で起こるという物理的性質と完全に一致しており、強力な検算手段となります。
• 式の代入は慎重に: 複数の式を代入して1つの答えを導く場合、一歩ずつ計算を進めましょう。例えば、\(\Delta L = \displaystyle\frac{\lambda}{4} – L_1\) に \(\lambda = 2(L_2 – L_1)\) を代入する際は、\(\Delta L = \displaystyle\frac{2(L_2 – L_1)}{4} – L_1 = \displaystyle\frac{L_2 – L_1}{2} – L_1\) のように、段階を踏んで通分・整理するとミスを防げます。

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