「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 14】Step1 & 例題

Step1

① 内部エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「理想気体の内部エネルギーの性質」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、理想気体の状態量である「物質量」と「絶対温度」が変化したときに、もう一つの状態量である「内部エネルギー」がどのように変化するかを問うています。物理法則を正しく理解していれば、簡単な計算で答えを導くことができます。鍵となるのは、理想気体の内部エネルギーが、気体分子の熱運動のエネルギーの総和であり、物質量 \(n\) と絶対温度 \(T\) に比例するという事実です。この比例関係を式で表現し、変化前後の値を比較することが解答への道筋となります。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の内部エネルギー \(U\) は、気体を構成する分子の運動エネルギーの総和で定義されます。
• この内部エネルギー \(U\) は、物質量 \(n\) と絶対温度 \(T\) に正比例します。
• 気体の種類（単原子分子、二原子分子など）によって比例定数は異なりますが、「\(n\) と \(T\) に比例する」という関係自体は、どの理想気体でも成り立ちます。

具体的な解説と立式
理想気体の内部エネルギーを \(U\)、物質量を \(n\)、絶対温度を \(T\) とします。内部エネルギーは物質量と絶対温度に比例するため、比例定数を \(k\) とおくと、次のように表すことができます。
$$ U = k n T $$
ここで \(k\) は、気体の種類（単原子分子か二原子分子かなど）によって決まる定数です。

変化前の物質量を \(n_1\)、絶対温度を \(T_1\) とすると、変化前の内部エネルギー \(U_1\) は、
$$ U_1 = k n_1 T_1 \quad \cdots ① $$
と表せます。

問題の条件より、変化後の物質量 \(n_2\) は変化前の2倍、変化後の絶対温度 \(T_2\) は変化前の3倍なので、
$$ n_2 = 2n_1 $$
$$ T_2 = 3T_1 $$
と書けます。したがって、変化後の内部エネルギー \(U_2\) は、
$$ U_2 = k n_2 T_2 \quad \cdots ② $$
と表せます。

変化後の内部エネルギー \(U_2\) が変化前の内部エネルギー \(U_1\) の何倍になるかを計算します。式②に \(n_2 = 2n_1\) と \(T_2 = 3T_1\) を代入し、式①を使って整理します。
$$
\begin{aligned}
U_2 &= k n_2 T_2 \\[2.0ex]&= k (2n_1) (3T_1) \\[2.0ex]&= 6 (k n_1 T_1) \\[2.0ex]&= 6 U_1
\end{aligned}
$$
したがって、変化後の内部エネルギーは変化前の6倍になります。

この問題は、比例関係を使うととても簡単に考えられます。
理想気体の内部エネルギーは、「物質量」と「絶対温度」の両方に比例します。

1. まず、物質量が2倍になったので、この時点で内部エネルギーは2倍になります。
2. 次に、絶対温度が3倍になったので、この影響で内部エネルギーはさらに3倍になります。

したがって、両方の変化を合わせると、内部エネルギーはもとの状態の \(2 \times 3 = 6\) 倍になります。

② 熱力学第1法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱力学第1法則の適用」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、熱力学におけるエネルギー保存則である「熱力学第1法則」を正しく理解し、適用できるかを問うています。気体の状態変化において、外部から加えられた熱エネルギーが「内部エネルギーの変化」と「外部への仕事」という2つの形でどのように分配されるか、その関係性を捉えることが重要です。問題文と図で与えられた各物理量（熱量、仕事）が、法則のどの項に対応し、符号が正負どちらになるかを正確に判断することが解答の鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 熱力学第1法則は \(Q = \Delta U + W\) と表されます。これはエネルギーの収支を表す重要な法則です。
• \(Q\)（熱量）: 気体が外部から吸収した熱量を正とします。問題では「気体に加えた熱量」が \(50\)\(\text{J}\) なので、\(Q = +50\)\(\text{J}\) です。
• \(W\)（仕事）: 気体が外部にした仕事を正とします。問題では「気体がピストンにした仕事」が \(20\)\(\text{J}\) なので、\(W = +20\)\(\text{J}\) です。
• \(\Delta U\)（内部エネルギーの変化）: 内部エネルギーが増加した場合に正となります。
• この法則は、気体が受け取ったエネルギー（\(Q\)）が、自身のエネルギーの増加分（\(\Delta U\)）と、外部への仕事（\(W\)）に使われる、という関係を示しています。

具体的な解説と立式
求める物理量は、気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) です。
熱力学第1法則は、気体が吸収した熱量を \(Q\)、内部エネルギーの変化を \(\Delta U\)、気体が外部にした仕事を \(W\) として、以下の式で表されます。
$$ Q = \Delta U + W \quad \cdots ① $$
問題文より、シリンダー内の気体に加えられた熱量は \(50\)\(\text{J}\) です。これは気体が熱を吸収したことを意味するので、\(Q = 50\)\(\text{J}\) となります。
また、気体がピストンにした仕事は \(20\)\(\text{J}\) です。これは気体が外部に仕事をしたことを意味するので、\(W = 20\)\(\text{J}\) となります。
これらの値を式①に代入して \(\Delta U\) を求めます。

式①を \(\Delta U\) について解くと、\(\Delta U = Q – W\) となります。
この式に、\(Q = 50\)\(\text{J}\)、\(W = 20\)\(\text{J}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= Q – W \\[2.0ex]&= 50 – 20 \\[2.0ex]&= 30
\end{aligned}
$$
したがって、気体の内部エネルギーの変化は \(30\)\(\text{J}\) となります。

熱力学第1法則は、お小遣いの収支に例えると分かりやすいです。

• 気体がもらったお小遣い（加えられた熱量 \(Q\)）が \(50\) 円。
• 気体が何かを買うために使ったお金（外部にした仕事 \(W\)）が \(20\) 円。
• その結果、手元に残って貯金が増えた分（内部エネルギーの変化 \(\Delta U\)）はいくらになるでしょうか？

もらった \(50\) 円から使った \(20\) 円を引けば、貯金の増加分がわかります。
\(50 – 20 = 30\) 円。
これと同じように、気体は \(50\)\(\text{J}\) の熱エネルギーをもらい、\(20\)\(\text{J}\) を仕事として使ったので、残りの \(30\)\(\text{J}\) が自身の内部エネルギーの増加分となります。

③ 定積モル比熱

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定積変化における熱量と定積モル比熱の関係」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、「定積モル比熱」という物理量の定義と、それを用いた計算ができるかを問うています。問題文中の「体積を一定に保って」という記述が、この変化が「定積変化」であることを示しています。定積変化では、気体は膨張も収縮もしないため、外部に対して仕事をしません（\(W=0\)）。したがって、熱力学第1法則 \(Q = \Delta U + W\) より、加えられた熱量 \(Q\) はすべて内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) に使われます。
定積モル比熱 \(C_V\) は、物理的に「体積一定の条件で、1molの気体の温度を1K上げるのに必要な熱量」を意味します。この定義を理解していれば、\(n\) molの気体の温度を \(\Delta T\) だけ上昇させるのに必要な熱量 \(Q\) が \(Q = n C_V \Delta T\) と表せることにたどり着けます。この関係式を立てることが、解答への直接的な道筋となります。

この設問における重要なポイント

• 定積モル比熱 \(C_V\) [\(\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)]: 体積が一定という条件下で、物質1molの温度を1K上昇させるのに必要な熱量のことです。
• 定積変化: 気体の体積を一定に保ったまま、加熱または冷却するプロセスです。このとき、気体の体積変化がないため、気体が外部にする仕事 \(W\) はゼロになります。
• 熱力学第1法則との関係: 定積変化では \(W=0\) なので、熱力学第1法則は \(Q = \Delta U\) となります。つまり、加えられた熱はすべて内部エネルギーの増加分となります。
• 熱量の計算式: 定積変化で気体に加える熱量 \(Q\) は、物質量 \(n\)、定積モル比熱 \(C_V\)、温度変化 \(\Delta T\) を用いて \(Q = nC_V\Delta T\) と計算できます。

具体的な解説と立式
求める物理量は、気体の定積モル比熱 \(C_V\) です。
問題文から、以下の値が与えられています。

• 物質量: \(n = 0.20 \, \text{mol}\)
• 加えられた熱量: \(Q = 1.2 \times 10^2 \, \text{J}\)
• 温度上昇: \(\Delta T = 50 \, \text{K}\)

体積を一定に保って加えられた熱量 \(Q\) は、物質量 \(n\)、定積モル比熱 \(C_V\)、温度変化 \(\Delta T\) を用いて、次の関係式で表されます。
$$ Q = n C_V \Delta T \quad \cdots ① $$
この式に、問題文で与えられた値を代入することで、\(C_V\) を求める方程式を立てます。

式①を \(C_V\) について解くと、
$$ C_V = \displaystyle\frac{Q}{n \Delta T} $$
となります。この式に、\(n = 0.20\)、\(Q = 1.2 \times 10^2 = 120\)、\(\Delta T = 50\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
C_V &= \displaystyle\frac{120}{0.20 \times 50} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{120}{10} \\[2.0ex]&= 12
\end{aligned}
$$
したがって、この気体の定積モル比熱は \(12 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) となります。

「定積モル比熱」とは、「1molの気体の温度を1K上げるのに必要な熱量」のことです。この定義から逆算してみましょう。

1. 問題では、\(0.20\)\(\text{mol}\) の気体の温度を \(50\)\(\text{K}\) 上げるのに \(1.2 \times 10^2 = 120\)\(\text{J}\) の熱が必要でした。
2. まず、これを「1molあたり」の熱量に直してみます。\(0.20\)\(\text{mol}\) で \(120\)\(\text{J}\) なので、\(1\)\(\text{mol}\) あたりでは \(120 \div 0.20 = 600\)\(\text{J}\) が必要になります。つまり、「1molの気体の温度を50K上げるのに600J必要」ということです。
3. 次に、これを「1Kあたり」の熱量に直します。\(50\)\(\text{K}\) 上げるのに \(600\)\(\text{J}\) 必要だったので、\(1\)\(\text{K}\) 上げるだけなら \(600 \div 50 = 12\)\(\text{J}\) で済みます。

よって、この気体の「1molあたり、1Kあたり」の熱量、すなわち定積モル比熱は \(12 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) となります。

④ 定圧モル比熱

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定圧モル比熱と定積モル比熱の関係（マイヤーの関係）」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、理想気体の定圧モル比熱 \(C_p\) と定積モル比熱 \(C_V\) の間に成り立つ「マイヤーの関係」という重要な公式を理解し、使えるかを問うています。この関係式を知っていれば、与えられた数値を代入するだけで簡単に答えが求まります。
物理的な背景として、「なぜ定圧モル比熱は定積モル比熱より大きいのか」を理解しておくことが重要です。体積一定（定積）で気体を温める場合、加えられた熱はすべて内部エネルギーの増加に使われます。一方、圧力一定（定圧）で温める場合、気体は膨張して外部に仕事をするため、加えられた熱は「内部エネルギーの増加」と「外部への仕事」の両方に分配されます。したがって、同じだけ温度を上げる（＝同じだけ内部エネルギーを増加させる）ためには、仕事をする分だけ余計に熱量が必要となり、\(C_p\) は \(C_V\) よりも大きくなります。その差が、気体定数 \(R\) に相当します。

この設問における重要なポイント

• 定積モル比熱 \(C_V\): 体積一定の条件下で、1molの気体の温度を1K上げるのに必要な熱量。
• 定圧モル比熱 \(C_p\): 圧力一定の条件下で、1molの気体の温度を1K上げるのに必要な熱量。
• マイヤーの関係: 理想気体において、\(C_p\) と \(C_V\) の間には常に \(C_p = C_V + R\) という関係が成り立ちます。これをマイヤーの関係と呼びます。
• \(C_p > C_V\) の理由: 定圧変化では、気体が外部に仕事をするため、その分だけ余計に熱エネルギーが必要になるからです。その差 \(C_p – C_V\) が、1molの気体を1K温めたときに外部にする仕事に相当し、気体定数 \(R\) に等しくなります。

具体的な解説と立式
求める物理量は、気体の定圧モル比熱 \(C_p\) です。
問題文から、以下の値が与えられています。

• 定積モル比熱: \(C_V = 20.8 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)
• 気体定数: \(R = 8.3 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)

理想気体の定圧モル比熱 \(C_p\)、定積モル比熱 \(C_V\)、気体定数 \(R\) の間には、以下の「マイヤーの関係」が成り立ちます。
$$ C_p = C_V + R \quad \cdots ① $$
この式に、与えられた \(C_V\) と \(R\) の値を代入して \(C_p\) を求めます。

式①に、\(C_V = 20.8 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) と \(R = 8.3 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
C_p &= C_V + R \\[2.0ex]&= 20.8 + 8.3 \\[2.0ex]&= 29.1
\end{aligned}
$$
したがって、この気体の定圧モル比熱は \(29.1 \, \text{J/(mol}\cdot\text{K)}\) となります。

気体の温度を1K上げるのに必要な熱量を考えます。

• 定積（体積が一定）の場合: 気体は膨張できず、外部に仕事をしません。加えた熱はすべて温度上昇のために使われます。このとき必要な熱量が \(C_V = 20.8\)\(\text{J}\) です。
• 定圧（圧力が一定）の場合: 気体は温められると膨張し、外部に仕事をします。そのため、温度を1K上げるためには、「内部の温度を上げるための熱」に加えて、「仕事をするための余分な熱」が必要になります。

この「仕事をするための余分な熱」の量が、1molあたりで気体定数 \(R\) (\(8.3\)\(\text{J}\)) に等しいことが知られています。これがマイヤーの関係です。
したがって、定圧の場合に必要な熱量 \(C_p\) は、定積の場合の熱量 \(C_V\) に、仕事のための余分な熱 \(R\) を足し合わせることで求められます。
\(C_p = (\text{温度上昇のための熱}) + (\text{仕事のための熱}) = C_V + R = 20.8 + 8.3 = 29.1\)\(\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\)。

⑤ 定積変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定積変化における熱力学第1法則と状態方程式の応用」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、内部エネルギー、温度、圧力という3つの物理量が、定積加熱によってどのように変化するかを段階的に考察する問題です。
まず、問題文の「体積を一定に保ち」という記述から、この変化が「定積変化」であることを見抜くことが第一歩です。定積変化では、気体は膨張も収縮もしないため、外部に対して仕事をしません（\(W=0\)）。この事実を熱力学第1法則に適用することで、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) が簡単に求まります。
次に、求めた \(\Delta U\) と温度 \(T\) の関係を考えます。理想気体の内部エネルギーは絶対温度にのみ比例するという基本原則を思い出せば、\(\Delta U\) の符号から温度が上がったか下がったかを判断できます。
最後に、圧力 \(p\) の変化を考えます。圧力・体積・温度の関係を示すボイル・シャルルの法則（または気体の状態方程式 \(pV=nRT\)）を利用し、体積 \(V\) が一定で温度 \(T\) が変化したときに圧力 \(p\) がどうなるかを導き出します。

この設問における重要なポイント

• 定積変化: 体積が一定の変化です。気体は外部に仕事をしないので \(W=0\) となります。
• 熱力学第1法則: \(Q = \Delta U + W\)。定積変化では \(W=0\) なので、この法則は \(Q = \Delta U\) と簡略化されます。これは、加えられた熱がすべて内部エネルギーの増加に使われることを意味します。
• 内部エネルギーと温度の関係: 理想気体の内部エネルギー \(U\) は絶対温度 \(T\) に比例します (\(U \propto T\))。したがって、\(\Delta U > 0\) ならば温度は上昇し、\(\Delta U < 0\) ならば温度は下降します。
• ボイル・シャルルの法則: \(\displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定}\)。体積 \(V\) が一定の場合、この式は \(\displaystyle\frac{p}{T} = \text{一定}\) となり、圧力 \(p\) は絶対温度 \(T\) に比例する (\(p \propto T\)) ことがわかります。

具体的な解説と立式
この問題は3つの問いから構成されています。

1. 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) の計算
2. 温度変化の判断
3. 圧力変化の判断

まず、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を計算します。
熱力学第1法則は、加えられた熱量を \(Q\)、内部エネルギーの変化を \(\Delta U\)、気体がした仕事を \(W\) として、
$$ Q = \Delta U + W $$
と表されます。
問題文より、加えられた熱量は \(Q = 50\)\(\text{J}\) です。
また、「体積を一定に保ち」とあるので、これは定積変化です。気体は体積変化がないため外部に仕事をせず、\(W=0\) となります。
したがって、熱力学第1法則は次のように簡単になります。
$$ \Delta U = Q \quad \cdots ① $$
次に、温度の変化を判断します。
理想気体の内部エネルギー \(U\) は、絶対温度 \(T\) に比例します。したがって、内部エネルギーが増加すれば (\(\Delta U > 0\))、絶対温度 \(T\) も上昇します。

最後に、圧力の変化を判断します。
ボイル・シャルルの法則は、
$$ \displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定} $$
と表されます。体積 \(V\) が一定なので、この法則は \(\displaystyle\frac{p}{T} = k\) ( \(k\) は定数) と書き換えられます。これを変形すると、
$$ p = kT $$
となり、圧力 \(p\) は絶対温度 \(T\) に比例することがわかります。したがって、温度 \(T\) が上昇すれば、圧力 \(p\) も上昇します。

内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を計算します。
式①に \(Q=50\)\(\text{J}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= Q \\[2.0ex]&= 50 \, \text{[J]}
\end{aligned}
$$
内部エネルギーの変化は \(50\)\(\text{J}\) です。

次に、温度と圧力の変化を判断します。

• 温度変化: \(\Delta U = 50\)\(\text{J}\) であり、\(\Delta U > 0\) です。理想気体の内部エネルギーは絶対温度に比例するため、内部エネルギーが増加したということは、温度は上がったことになります。
• 圧力変化: 上記より温度が上がったことがわかりました。ボイル・シャルルの法則から、体積が一定のとき、圧力は絶対温度に比例します。したがって、温度が上がったので、圧力も上がったことになります。

この問題は3つのパートに分けて考えると分かりやすいです。

1. 内部エネルギーの変化は？
   • 気体は箱の中で体積が変わらないので、壁を押して膨らむような「仕事」を全くしていません (\(W=0\))。
   • 熱力学の基本的なルール（第1法則）は、「もらった熱(\(Q\)) = 内部エネルギーの増加(\(\Delta U\)) + した仕事(\(W\))」です。
   • 仕事がゼロなので、この場合は「もらった熱 = 内部エネルギーの増加」という単純な関係になります。
   • \(50\)\(\text{J}\) の熱をもらったので、内部エネルギーはそのまま \(50\)\(\text{J}\) 増加します。
2. 温度の変化は？
   • 気体の「内部エネルギー」は、その気体の「温度」と直接つながっています。
   • 内部エネルギーが増加した (\(\Delta U\) がプラスになった) ということは、温度も上がったということです。
3. 圧力の変化は？
   • 密閉された容器（体積一定）の中で気体を熱する状況を想像してみてください。中の気体分子がより激しく動き回り（温度上昇）、容器の壁を叩く力と回数が増えます。これが圧力の上昇です。
   • 物理の法則（ボイル・シャルルの法則）でも、体積が一定なら「圧力は温度に比例する」と決まっています。温度が上がったのですから、圧力も上がります。

⑥ 定圧変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「定圧変化における仕事、内部エネルギー、温度の変化」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、定圧変化という条件下で、加えられた熱がどのようにエネルギーとして分配されるかを問うています。問題文の「圧力を…に保ち」という記述から、これが「定圧変化」であることがわかります。
定圧変化では、気体は加熱されると膨張し、外部に対して仕事をします。この仕事の量は \(W = p\Delta V\) という簡単な式で計算できます。
加えられた熱量 \(Q\) は、この「外部への仕事 \(W\)」と「内部エネルギーの増加 \(\Delta U\)」の2つに分けられます。このエネルギーの収支を表すのが熱力学第1法則 \(Q = \Delta U + W\) です。
したがって、まず仕事 \(W\) を計算し、それを使って熱力学第1法則から内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を求める、という流れになります。最後に、内部エネルギーの変化が正か負かによって、温度が上がったか下がったかを判断します。

この設問における重要なポイント

• 定圧変化: 圧力が一定の変化です。気体が体積 \(\Delta V\) だけ膨張するとき、外部にする仕事は \(W = p\Delta V\) となります。
• 仕事 \(W\): 気体が外部にした仕事です。問題では体積が増加しているので、気体は正の仕事をします。
• 熱量 \(Q\): 気体が吸収した熱量です。問題では「熱量を加えた」とあるので、\(Q\) は正の値です。
• 熱力学第1法則: \(Q = \Delta U + W\)。気体が吸収した熱エネルギー(\(Q\))が、内部エネルギーの増加(\(\Delta U\))と外部への仕事(\(W\))に分配されることを示すエネルギー保存則です。
• 内部エネルギーと温度の関係: 理想気体の内部エネルギーは絶対温度に比例します。したがって、内部エネルギーが増加すれば(\(\Delta U > 0\))、温度は上昇します。

具体的な解説と立式
この問題は3つの問いから構成されています。

1. 気体が外部にした仕事 \(W\) の計算
2. 気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) の計算
3. 温度変化の判断

まず、気体が外部にした仕事 \(W\) を計算します。
定圧変化なので、仕事 \(W\) は一定の圧力 \(p\) と体積変化 \(\Delta V\) を用いて次のように表せます。
$$ W = p \Delta V \quad \cdots ① $$
問題文より、\(p = 1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)、\(\Delta V = 2.0 \, \text{m}^3\) です。

次に、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を計算します。
熱力学第1法則は、
$$ Q = \Delta U + W \quad \cdots ② $$
と表されます。問題文より、加えられた熱量は \(Q = 5.0 \times 10^5 \, \text{J}\) です。この式を \(\Delta U\) について解き、値を代入します。

最後に、温度の変化を判断します。
理想気体の内部エネルギーは絶対温度に比例するため、計算した \(\Delta U\) の符号を調べることで温度変化がわかります。

気体が外部にした仕事 \(W\) を計算します。
式①に \(p = 1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)、\(\Delta V = 2.0 \, \text{m}^3\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
W &= p \Delta V \\[2.0ex]&= (1.0 \times 10^5) \times 2.0 \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^5 \, \text{[J]}
\end{aligned}
$$
次に、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を計算します。
式②を \(\Delta U\) について解くと \(\Delta U = Q – W\) となります。この式に \(Q = 5.0 \times 10^5 \, \text{J}\) と、上で計算した \(W = 2.0 \times 10^5 \, \text{J}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= Q – W \\[2.0ex]&= (5.0 \times 10^5) – (2.0 \times 10^5) \\[2.0ex]&= 3.0 \times 10^5 \, \text{[J]}
\end{aligned}
$$
最後に、温度の変化を判断します。
\(\Delta U = 3.0 \times 10^5 \, \text{J}\) であり、\(\Delta U > 0\) です。内部エネルギーが増加したので、気体の温度は上がったことになります。

この気体のエネルギーのやり取りを、お小遣いに例えてみましょう。

1. 気体がした仕事は？
   • 気体は圧力を一定に保ちながら膨張しました。これは、一定の力で何かを押し動かすような「仕事」をしたことになります。
   • この仕事の量は「圧力 \(\times\) 増えた体積」で計算でき、\(1.0 \times 10^5 \times 2.0 = 2.0 \times 10^5\)\(\text{J}\) となります。
2. 内部エネルギーの変化は？
   • 気体は外部から \(5.0 \times 10^5\)\(\text{J}\) のお小遣い（熱量）をもらいました。
   • そのうち、\(2.0 \times 10^5\)\(\text{J}\) 分を「仕事」として使いました。
   • 残ったお金が、気体の貯金（内部エネルギー）の増加分です。
   • 貯金の増加分 = もらったお小遣い – 使ったお金 = \(5.0 \times 10^5 – 2.0 \times 10^5 = 3.0 \times 10^5\)\(\text{J}\)。
3. 温度の変化は？
   • 気体の貯金（内部エネルギー）が \(3.0 \times 10^5\)\(\text{J}\) 増えました。
   • 内部エネルギーが増えるということは、気体の元気（温度）が上がったということです。したがって、温度は上がりました。

⑦ 等温変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等温変化における熱力学第1法則とボイルの法則の応用」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、等温変化という特殊な条件下でのエネルギーのやり取りと状態変化を問うています。
最大の鍵は、問題文の「温度を一定に保って」という記述から、これが「等温変化」であると見抜くことです。理想気体の場合、内部エネルギーは絶対温度にのみ依存するため、温度が一定ならば内部エネルギーも変化しません (\(\Delta U = 0\))。
この事実を熱力学第1法則 \(Q = \Delta U + W\) に適用すると、\(Q = W\) という非常にシンプルな関係式が導かれます。これは「等温変化では、気体に加えられた熱はすべて外部への仕事に使われる」という重要な性質を示しています。
圧力の変化については、温度が一定のときの気体の法則、すなわち「ボイルの法則」を適用して考えます。

この設問における重要なポイント

• 等温変化: 温度が一定の変化です。理想気体の場合、内部エネルギーも一定であるため、内部エネルギーの変化は \(\Delta U = 0\) となります。
• 熱力学第1法則: \(Q = \Delta U + W\)。等温変化では \(\Delta U = 0\) なので、この法則は \(Q = W\) となります。
• 仕事 \(W\): 気体が外部にした仕事です。問題文で \(W = 4.0 \times 10^5 \, \text{J}\) と与えられています。
• ボイルの法則: 温度が一定のとき、気体の圧力 \(p\) は体積 \(V\) に反比例します (\(pV = \text{一定}\))。

具体的な解説と立式
この問題は3つの問いから構成されています。

1. 気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) の計算
2. 気体に加えた熱量 \(Q\) の計算
3. 圧力変化の判断

まず、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を考えます。
理想気体の内部エネルギー \(U\) は絶対温度 \(T\) のみに比例します。問題では「温度を一定に保って」いるので、これは等温変化です。したがって、温度が変化しないため、内部エネルギーも変化しません。
$$ \Delta U = 0 \quad \cdots ① $$
次に、気体に加えた熱量 \(Q\) を計算します。
熱力学第1法則は、
$$ Q = \Delta U + W \quad \cdots ② $$
と表されます。問題文より、気体が外部にした仕事は \(W = 4.0 \times 10^5 \, \text{J}\) です。

最後に、圧力の変化を判断します。
温度が一定のとき、ボイルの法則が成り立ちます。
$$ pV = \text{一定} $$
この式から、圧力 \(p\) は体積 \(V\) に反比例することがわかります。

内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を求めます。
式①より、等温変化なので内部エネルギーは変化しません。
$$ \Delta U = 0 \, \text{[J]} $$
次に、気体に加えた熱量 \(Q\) を計算します。
式②に \(\Delta U = 0 \, \text{J}\) と \(W = 4.0 \times 10^5 \, \text{J}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q &= \Delta U + W \\[2.0ex]&= 0 + 4.0 \times 10^5 \\[2.0ex]&= 4.0 \times 10^5 \, \text{[J]}
\end{aligned}
$$
最後に、圧力の変化を判断します。
ボイルの法則 \(pV = \text{一定}\) より、圧力 \(p\) は \(p = \displaystyle\frac{\text{一定}}{V}\) と表せます。
問題文に「気体の体積が増加し」とあるので、分母の \(V\) が大きくなります。したがって、圧力 \(p\) は減少します。つまり、圧力は下がったことになります。

この問題も3つのパートに分けて考えましょう。

1. 内部エネルギーの変化は？
   • 問題文の「温度を一定に保って」が最大のヒントです。気体の元気（温度）が変わらないので、その貯金（内部エネルギー）も増えたり減ったりしません。したがって、変化はゼロです。
2. 加えた熱量は？
   • 熱力学のルール「もらった熱(\(Q\)) = 内部エネルギーの増加(\(\Delta U\)) + した仕事(\(W\))」を思い出します。
   • 今回は内部エネルギーの変化がゼロなので、このルールは「もらった熱 = した仕事」というとてもシンプルな形になります。
   • 気体は \(4.0 \times 10^5\)\(\text{J}\) の仕事をしたと書かれているので、もらった熱もぴったり同じ \(4.0 \times 10^5\)\(\text{J}\) であることがわかります。もらった熱を100%仕事に変えた、というイメージです。
3. 圧力の変化は？
   • 温度を一定に保ちながら、気体の体積を増やす状況を想像してみましょう。例えば、注射器の先を指でふさいで、中の温度が変わらないようにゆっくりとピストンを引く感じです。
   • 体積が大きくなると、気体分子が動き回るスペースが広くなるので、壁にぶつかる回数が減ります。これが圧力の低下につながります。
   • これは「ボイルの法則」として知られており、「温度が一定なら、体積を増やすと圧力は下がる」と決まっています。

⑧ 断熱変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「断熱変化における熱力学第1法則と状態方程式の応用」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、断熱圧縮という条件下で、気体の状態量がどのように変化するかを問うています。
まず、「熱の出入りがないようにして」という記述から、この変化が「断熱変化」(\(Q=0\)) であることを見抜くのが最重要です。
次に、「ピストンが気体にした仕事」が与えられています。これは気体の視点から見ると「された仕事」です。熱力学第1法則 \(Q = \Delta U + W\) で使う \(W\) は「気体がした仕事」なので、符号を反転させる必要があります。
断熱変化では、熱力学第1法則は \(0 = \Delta U + W\)、すなわち \(\Delta U = -W\) となります。これは、外部からされた仕事がすべて内部エネルギーの増加に変わることを意味します。この結果、温度が上昇します。
最後に、温度と体積の変化がわかったので、ボイル・シャルルの法則を使って圧力の変化を導き出します。

この設問における重要なポイント

• 断熱変化: 外部との熱のやり取りがない変化 (\(Q=0\))。
• 仕事の符号: 熱力学第1法則 \(Q = \Delta U + W\) における \(W\) は「気体が外部にした仕事」を正とします。気体が圧縮される場合、外部から仕事を「される」ので、気体が「した」仕事 \(W\) は負の値になります。
• 熱力学第1法則: 断熱変化では \(Q=0\) なので、\(0 = \Delta U + W\)、つまり \(\Delta U = -W\) となります。
• 断熱圧縮: 気体が圧縮されるので \(W<0\) です。したがって、\(\Delta U = -W > 0\) となり、内部エネルギーは増加し、温度は上昇します。
• ボイル・シャルルの法則: \(\displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定}\)。断熱変化では圧力、体積、温度の3つすべてが変化します。

具体的な解説と立式
この問題は3つの問いから構成されています。

1. 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) の計算
2. 温度変化の判断
3. 圧力変化の判断

まず、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を計算します。
熱力学第1法則は、
$$ Q = \Delta U + W \quad \cdots ① $$
と表されます。
問題文より「熱の出入りがないようにして」とあるので、これは断熱変化であり、\(Q=0\) です。
また、「ピストンが気体にした仕事」が \(3.0 \times 10^5 \, \text{J}\) です。これは気体が「された」仕事なので、気体が「した」仕事 \(W\) はその逆の符号となり、
$$ W = -3.0 \times 10^5 \, \text{J} $$
となります。

次に、温度の変化を判断します。
理想気体の内部エネルギー \(U\) は絶対温度 \(T\) に比例するため、\(\Delta U\) の符号から温度変化がわかります。

最後に、圧力の変化を判断します。
ボイル・シャルルの法則は、
$$ \displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定} $$
と表されます。この式を圧力 \(p\) について整理すると、
$$ p = (\text{一定}) \times \displaystyle\frac{T}{V} $$
となります。この式を使って、温度 \(T\) と体積 \(V\) の変化から圧力 \(p\) の変化を考えます。

内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を計算します。
式①に \(Q=0\) と \(W = -3.0 \times 10^5 \, \text{J}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
0 &= \Delta U + (-3.0 \times 10^5) \\[2.0ex]\Delta U &= 3.0 \times 10^5 \, \text{[J]}
\end{aligned}
$$
次に、温度と圧力の変化を判断します。

• 温度変化: \(\Delta U = 3.0 \times 10^5 \, \text{J}\) であり、\(\Delta U > 0\) です。内部エネルギーが増加したので、気体の温度は上がったことになります。
• 圧力変化: 気体は「圧縮」されたので体積 \(V\) は減少しました。そして、上記より温度 \(T\) は上昇しました。ボイル・シャルルの法則を \(p = (\text{一定}) \times \frac{T}{V}\) の形で考えると、分子の \(T\) が増加し、分母の \(V\) が減少したことになります。この両方の効果により、圧力 \(p\) は増加します。したがって、圧力は上がったことになります。

この現象を、身近な例で考えてみましょう。

1. 内部エネルギーの変化は？
   • 「熱の出入りがない」というのは、魔法瓶のように断熱された容器をイメージしてください。エネルギーのやり取りは「仕事」しかありません。
   • 気体はピストンによって \(3.0 \times 10^5\)\(\text{J}\) の仕事を「されました」。これは、外部からエネルギーを無理やり押し込まれたのと同じです。
   • 押し込まれたエネルギーはどこにも逃げられないので、すべて気体の内部エネルギーの増加分になります。自転車の空気入れを素早く押すとポンプが熱くなるのと同じ原理です。
   • したがって、内部エネルギーは \(3.0 \times 10^5\)\(\text{J}\) 増加します。
2. 温度の変化は？
   • 内部エネルギーが増加したので、気体の元気（温度）も上がります。
3. 圧力の変化は？
   • 気体は狭い空間に押し込められました（体積が減少）。
   • さらに、温度も上がって気体分子の動きがより激しくなりました。
   • 「狭い空間」で「元気な分子」が飛び回るので、壁を叩く力（圧力）は当然強くなります。したがって、圧力は上がります。

⑨ 熱効率

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱機関の熱効率とエネルギー保存則」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、熱機関の性能を表す「熱効率」と、エネルギーの流れを理解しているかを問うています。熱機関は、高温の熱源から熱エネルギー \(Q_1\) を受け取り、その一部を外部への仕事 \(W’\) に変換し、残りの熱エネルギー \(Q_2\) を低温の熱源へ放出する装置です。
「熱効率」とは、投入した熱エネルギーのうち、どれだけの割合を有効な仕事に変換できたかを示す指標です。定義式を正しく適用することが第一歩です。
また、熱機関の動作全体でエネルギーは保存されます。つまり、「吸収した熱量 \(Q_1\)」は「した仕事 \(W’\)」と「放出した熱量 \(Q_2\)」の和に等しくなります。このエネルギー保存則を理解していれば、放出する熱量を簡単に計算できます。

この設問における重要なポイント

• 熱効率 \(e\): 熱機関が高温熱源から吸収した熱量 \(Q_1\) のうち、外部への仕事 \(W’\) に変換された割合。単位はなく、0から1の間の値をとります。
• 熱機関のエネルギー保存則: \(Q_1 = W’ + Q_2\)。ここで \(Q_2\) は低温熱源へ放出した熱量です。
• 問題文の「毎秒」という表現は、1秒あたりのエネルギー量を表していますが、熱効率はエネルギーの比なので、時間の単位は計算結果に影響しません。放出する熱量は「毎秒」あたりの値を求めます。

具体的な解説と立式
求める物理量は、熱効率 \(e\) と、毎秒外部に放出する熱量 \(Q_2\) です。
問題文から、以下の値が与えられています。

• 高温熱源から毎秒吸収する熱量: \(Q_1 = 5.0 \times 10^5 \, \text{J}\)
• 毎秒する仕事: \(W’ = 1.5 \times 10^5 \, \text{J}\)

熱効率 \(e\) は、吸収した熱量 \(Q_1\) に対する仕事 \(W’\) の割合で定義されます。
$$ e = \displaystyle\frac{W’}{Q_1} \quad \cdots ① $$
また、エネルギー保存則より、吸収した熱量 \(Q_1\) は、仕事 \(W’\) と放出した熱量 \(Q_2\) の和に等しくなります。
$$ Q_1 = W’ + Q_2 $$
この式を \(Q_2\) について解くと、
$$ Q_2 = Q_1 – W’ \quad \cdots ② $$
となります。

まず、熱効率 \(e\) を計算します。
式①に \(W’ = 1.5 \times 10^5 \, \text{J}\) と \(Q_1 = 5.0 \times 10^5 \, \text{J}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
e &= \displaystyle\frac{1.5 \times 10^5}{5.0 \times 10^5} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{1.5}{5.0} \\[2.0ex]&= 0.30
\end{aligned}
$$
次に、毎秒放出する熱量 \(Q_2\) を計算します。
式②に \(Q_1 = 5.0 \times 10^5 \, \text{J}\) と \(W’ = 1.5 \times 10^5 \, \text{J}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= Q_1 – W’ \\[2.0ex]&= (5.0 \times 10^5) – (1.5 \times 10^5) \\[2.0ex]&= (5.0 – 1.5) \times 10^5 \\[2.0ex]&= 3.5 \times 10^5 \, \text{[J]}
\end{aligned}
$$
したがって、熱効率は \(0.30\)、毎秒放出する熱量は \(3.5 \times 10^5 \, \text{J}\) となります。

熱機関の働きを、お金を稼ぐ機械に例えてみましょう。

1. 効率は？
   • 機械を動かすための元手（投入した熱エネルギー）が、毎秒 \(5.0 \times 10^5\) 円です。
   • この機械が稼いでくれたお金（仕事）が、毎秒 \(1.5 \times 10^5\) 円です。
   • 効率は「稼いだお金 ÷ 元手」で計算できます。
   • \(1.5 \times 10^5 \div 5.0 \times 10^5 = 0.3\)。これは、元手の30%を利益（仕事）にできた、ということです。
2. 外部に放出する熱量は？
   • 投入したエネルギーのうち、仕事にならなかった残りは、排熱として捨てられてしまいます。これは、機械を動かすための経費のようなものです。
   • 捨てた熱量（経費） = 投入したエネルギー（元手） – 仕事になったエネルギー（利益）
   • \(5.0 \times 10^5 – 1.5 \times 10^5 = 3.5 \times 10^5\)\(\text{J}\)。
   • 毎秒 \(5.0 \times 10^5\) 円の元手のうち、\(1.5 \times 10^5\) 円が利益になり、残りの \(3.5 \times 10^5\) 円は経費として消えていった、と考えることができます。

例題

例題42 気体の変化

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「p-Vグラフで表される理想気体の状態変化と熱力学第1法則」です。グラフから各状態での物理量を読み取り、熱力学の法則を適用して未知の量を計算する、典型的な問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
状態Aの温度 \(T_A\) と、p-Vグラフから読み取れる各状態の圧力・体積を用いて、状態Bの温度 \(T_B\) と状態Cの体積 \(V_C\) を求めます。A→Bが定積変化（体積一定）、B→Cが等温変化（温度一定）であることが鍵となります。これらの条件をボイル・シャルルの法則に適用します。
この設問における重要なポイント

• ボイル・シャルルの法則: \(\displaystyle\frac{p_A V_A}{T_A} = \displaystyle\frac{p_B V_B}{T_B} = \displaystyle\frac{p_C V_C}{T_C}\) が常に成り立つ。
• A→Bは定積変化であるため、\(V_A = V_B\)。
• B→Cは等温変化であるため、\(T_B = T_C\)。

具体的な解説と立式
グラフから、各状態の圧力と体積を読み取ります。
状態A: \(p_A = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(V_A = 0.030 \text{ m}^3\), \(T_A = 300 \text{ K}\)
状態B: \(p_B = 3.0 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(V_B = V_A = 0.030 \text{ m}^3\)
状態C: \(p_C = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(T_C = T_B\)

A→Bの過程について、ボイル・シャルルの法則を適用します。\(V_A = V_B\) なので、シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{p_A}{T_A} = \displaystyle\frac{p_B}{T_B}\) が成り立ちます。
$$ \frac{p_A}{T_A} = \frac{p_B}{T_B} \quad \cdots ① $$
B→Cの過程について、ボイル・シャルルの法則を適用します。\(T_B = T_C\) なので、ボイルの法則 \(p_B V_B = p_C V_C\) が成り立ちます。
$$ p_B V_B = p_C V_C \quad \cdots ② $$

式①を変形して \(T_B\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T_B &= \frac{p_B}{p_A} T_A \\[2.0ex]&= \frac{3.0 \times 10^5}{1.0 \times 10^5} \times 300 \\[2.0ex]&= 3.0 \times 300 \\[2.0ex]&= 900 \text{ [K]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(9.0 \times 10^2 \text{ K}\) とします。

次に、式②を変形して \(V_C\) を求めます。\(V_B = V_A = 0.030 \text{ m}^3\) を用います。
$$
\begin{aligned}
V_C &= \frac{p_B V_B}{p_C} \\[2.0ex]&= \frac{(3.0 \times 10^5) \times 0.030}{1.0 \times 10^5} \\[2.0ex]&= 3.0 \times 0.030 \\[2.0ex]&= 0.090 \text{ [m}^3]\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(9.0 \times 10^{-2} \text{ m}^3\) とします。

まずB点の温度を求めます。A点からB点へは体積が変わらないので、圧力と（絶対）温度は比例します。圧力が \(1.0 \times 10^5\) Pa から \(3.0 \times 10^5\) Pa へと3倍になっているので、温度もA点の \(300 \text{ K}\) の3倍、つまり \(900 \text{ K}\) になります。
次にC点の体積を求めます。B点からC点へは温度が変わらないので、圧力と体積の掛け算の値が一定です。B点での値 \((3.0 \times 10^5) \times 0.030\) と、C点での値 \((1.0 \times 10^5) \times V_C\) が等しくなるように \(V_C\) を計算すると、\(0.090 \text{ m}^3\) と求まります。

Bでの絶対温度は \(9.0 \times 10^2 \text{ K}\)、Cでの体積は \(9.0 \times 10^{-2} \text{ m}^3\) です。A→Bで加熱されて温度が上昇し、B→Cで断熱膨張して圧力が下がるというグラフの示す変化と、計算結果は整合しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
A→Bの過程は、グラフの縦軸に沿った変化であり、体積が一定の「定積変化」です。定積変化における仕事と、熱力学第1法則を用いて内部エネルギーの変化を求めます。
この設問における重要なポイント

• 定積変化では、体積の変化 \(\Delta V\) がゼロなので、気体が外部にする仕事 \(W\) もゼロになる。
• 熱力学第1法則 \(\Delta U = Q – W\) を用いて、内部エネルギーの変化を計算する。

具体的な解説と立式
A→Bの過程は定積変化なので、体積の変化 \(\Delta V = V_B – V_A = 0\) です。気体が外部にする仕事 \(W_{AB}\) は \(p\Delta V\) で計算されますが、\(\Delta V = 0\) なので、
$$ W_{AB} = 0 $$
熱力学第1法則は \(\Delta U = Q – W\) です。A→Bの過程に適用すると、
$$ \Delta U_{AB} = Q_{AB} – W_{AB} $$
となります。問題文より、吸収した熱量 \(Q_{AB} = 9.0 \times 10^3 \text{ J}\) が与えられています。

仕事 \(W_{AB}\) は、定積変化なので \(0 \text{ J}\) です。

内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{AB}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{AB} &= Q_{AB} – W_{AB} \\[2.0ex]&= (9.0 \times 10^3) – 0 \\[2.0ex]&= 9.0 \times 10^3 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$

AからBへの変化では、気体の体積が変わっていません。これは、ピストンが全く動いていないのと同じ状況です。したがって、気体は外部に対して全く仕事をしていないので、仕事 \(W_{AB}\) は \(0 \text{ J}\) です。熱力学のルールによれば、内部エネルギーの変化は「もらった熱量」から「した仕事」を引いたものです。仕事が0なので、もらった熱量 \(9.0 \times 10^3 \text{ J}\) が、そのまま内部エネルギーの増加分になります。

気体が外部にした仕事 \(W_{AB}\) は \(0 \text{ J}\)、内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{AB}\) は \(9.0 \times 10^3 \text{ J}\) です。定積加熱では、加えられた熱がすべて内部エネルギーの増加に使われるという物理的状況と一致しており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
B→Cの過程は、問題文で「等温変化」であると指定されています。等温変化の性質と熱力学第1法則を用いて、内部エネルギーの変化と吸収した熱量を求めます。
この設問における重要なポイント

• 理想気体の等温変化では、温度の変化 \(\Delta T\) がゼロなので、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) もゼロになる。
• 熱力学第1法則 \(\Delta U = Q – W\) を用いて、熱量を計算する。

具体的な解説と立式
B→Cの過程は等温変化なので、温度は一定です。理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存するため、温度変化がなければ内部エネルギーも変化しません。したがって、
$$ \Delta U_{BC} = 0 $$
熱力学第1法則 \(\Delta U = Q – W\) をB→Cの過程に適用すると、
$$ \Delta U_{BC} = Q_{BC} – W_{BC} $$
となります。問題文より、気体が外部にした仕事 \(W_{BC} = 9.9 \times 10^3 \text{ J}\) が与えられています。

内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\) は、等温変化なので \(0 \text{ J}\) です。

吸収した熱量 \(Q_{BC}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
0 &= Q_{BC} – W_{BC} \\[2.0ex]Q_{BC} &= W_{BC} \\[2.0ex]&= 9.9 \times 10^3 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$

BからCへの変化では、温度が一定です。理想気体の内部エネルギーは温度によって決まるので、温度が変わらなければ内部エネルギーも変化しません。したがって、内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\) は \(0 \text{ J}\) です。熱力学のルールから、気体が外部にした仕事 \(9.9 \times 10^3 \text{ J}\) は、すべて外部から吸収した熱によってまかなわれたことになります。よって、吸収した熱量 \(Q_{BC}\) は仕事と等しく \(9.9 \times 10^3 \text{ J}\) です。

内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{BC}\) は \(0 \text{ J}\)、吸収した熱量 \(Q_{BC}\) は \(9.9 \times 10^3 \text{ J}\) です。等温膨張では、気体は外部から熱を吸収し、それをすべて外部への仕事に変換するという物理的状況と一致しており、妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
C→Aの過程は、グラフの横軸に平行な変化であり、圧力が一定の「定圧変化」です。まず仕事 \(W_{CA}\) を \(p\Delta V\) で計算します。次に、内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{CA}\) を求めます。これには、A→B→C→Aというサイクルで元の状態に戻るため、全体の内部エネルギー変化がゼロになることを利用します。最後に、熱力学第1法則から熱量 \(Q_{CA}\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 定圧変化の仕事は \(W = p(V_{\text{終}} – V_{\text{始}})\) で計算できる。
• 状態がA→B→C→Aと一周して元に戻る（サイクル）場合、全体の内部エネルギー変化はゼロである。(\(\Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0\))
• 理想気体の内部エネルギーの変化は温度変化に比例する。C→Aの温度変化はA→Bの温度変化と大きさが逆で等しい (\(\Delta T_{CA} = -\Delta T_{AB}\)) ため、\(\Delta U_{CA} = -\Delta U_{AB}\) となる。

具体的な解説と立式
C→Aの過程は圧力 \(p_A = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa}\) で一定の定圧変化です。仕事 \(W_{CA}\) は、
$$ W_{CA} = p_A (V_A – V_C) $$
で計算できます。

次に内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{CA}\) を求めます。
A→B→C→Aのサイクル全体で、気体は元の状態Aに戻るため、温度も元に戻ります。したがって、サイクル全体の内部エネルギーの変化はゼロです。
$$ \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0 $$
この関係から \(\Delta U_{CA}\) を求めることができます。

最後に、熱力学第1法則をC→Aの過程に適用して、気体が吸収した熱量 \(Q_{CA}\) を求めます。
$$ Q_{CA} = \Delta U_{CA} + W_{CA} $$
問題では「放出した熱量」を問われているので、\(Q_{CA}\) が負の値で得られた場合、その絶対値が答えとなります。

仕事 \(W_{CA}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_{CA} &= p_A (V_A – V_C) \\[2.0ex]&= (1.0 \times 10^5) \times (0.030 – 0.090) \\[2.0ex]&= (1.0 \times 10^5) \times (-0.060) \\[2.0ex]&= -6.0 \times 10^3 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$
仕事が負の値なのは、気体が外部から仕事をされた（圧縮された）ことを意味します。

次に内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{CA}\) を計算します。
\(\Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} + \Delta U_{CA} = 0\) の関係に、(2), (3)で求めた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
(9.0 \times 10^3) + 0 + \Delta U_{CA} &= 0 \\[2.0ex]\Delta U_{CA} &= -9.0 \times 10^3 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$

最後に、気体が吸収した熱量 \(Q_{CA}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q_{CA} &= \Delta U_{CA} + W_{CA} \\[2.0ex]&= (-9.0 \times 10^3) + (-6.0 \times 10^3) \\[2.0ex]&= -15.0 \times 10^3 \\[2.0ex]&= -1.5 \times 10^4 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$
\(Q_{CA}\) が負であることは、気体が熱を放出したことを意味します。したがって、放出した熱量は \(1.5 \times 10^4 \text{ J}\) です。

まず、CからAへの仕事は、圧力が一定なので「圧力 × 体積の変化」で計算できます。体積が \(0.090 \text{ m}^3\) から \(0.030 \text{ m}^3\) へと減少しているので、仕事はマイナスの値（\(-6.0 \times 10^3 \text{ J}\)）になります。
次に内部エネルギーの変化です。A→B→C→Aと一周してAに戻ると、温度も元に戻るので、トータルの内部エネルギー変化はゼロです。A→Bで \(9.0 \times 10^3 \text{ J}\) 増え、B→Cでは変化しなかったので、C→Aでは \(9.0 \times 10^3 \text{ J}\) 減るはずです。よって \(\Delta U_{CA} = -9.0 \times 10^3 \text{ J}\) です。
最後に、放出した熱量を求めます。熱力学のルールから、熱量は「内部エネルギーの変化」と「した仕事」を足したものです。計算すると \(-1.5 \times 10^4 \text{ J}\) となり、マイナスは熱を放出したことを意味します。よって、放出した熱量は \(1.5 \times 10^4 \text{ J}\) です。

C→Aの過程で気体が外部にした仕事は \(-6.0 \times 10^3 \text{ J}\)、内部エネルギーの変化は \(-9.0 \times 10^3 \text{ J}\)、放出した熱量は \(1.5 \times 10^4 \text{ J}\) です。定圧冷却で気体が圧縮され、温度が下がり、外部に熱を放出するという物理的状況とすべての計算結果の符号が一致しており、妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第1法則 (\(\Delta U = Q – W\)):
  • 核心: 気体の状態変化におけるエネルギーの出入りを支配する最も基本的な法則です。内部エネルギーの変化(\(\Delta U\))、気体が吸収する熱量(\(Q\))、気体が外部にする仕事(\(W\))の3つの量の関係を理解することが全ての出発点です。
  • 理解のポイント:
    • \(Q\) の符号: 気体が熱を吸収すれば正、放出すれば負。
    • \(W\) の符号: 気体が膨張して外部に仕事をすれば正、圧縮されて仕事をされれば負。
    • \(\Delta U\) の符号: 内部エネルギーが増加（温度上昇）すれば正、減少（温度低下）すれば負。
• 理想気体の状態方程式と各変化の性質:
  • 核心: p-Vグラフから状態変化の種類（定積、定圧、等温）を読み取り、それぞれの性質を正しく適用できる能力。
  • 理解のポイント:
    • 定積変化: \(V\)が一定。\(W=0\)。したがって \(\Delta U = Q\)。加えられた熱は全て内部エネルギーの増加になる。
    • 定圧変化: \(p\)が一定。\(W=p\Delta V\)。\(\Delta U = Q – p\Delta V\)。
    • 等温変化: \(T\)が一定。理想気体では \(\Delta U=0\)。したがって \(Q = W\)。吸収した熱は全て外部への仕事になる。
    • 断熱変化: \(Q=0\)。したがって \(\Delta U = -W\)。内部エネルギーを消費して仕事をする（または仕事をされて内部エネルギーが増える）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • サイクル全体の仕事と熱効率: 1サイクルで気体が外部にする正味の仕事 \(W_{\text{net}}\) は、p-Vグラフが囲む面積に等しくなります。また、熱効率 \(e\) は、\(e = \displaystyle\frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}}\)（\(Q_{\text{in}}\)は吸収した熱量の合計）で計算する問題。
  • 断熱変化を含むサイクル: ポアソンの法則 (\(pV^\gamma = \text{一定}\)) を用いるカルノーサイクルなどの問題。
  • 単原子分子か二原子分子かの指定: 気体の種類が指定されている場合、内部エネルギーの公式 (\(U = \frac{3}{2}nRT\) や \(U = \frac{5}{2}nRT\)) や定圧・定積モル比熱 (\(C_p, C_v\)) を用いて、熱量や内部エネルギーを直接計算する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認: 縦軸が圧力\(p\)、横軸が体積\(V\)であることを確認する。
  2. 変化の過程を特定: グラフの各辺がどの状態変化（定積、定圧、等温、断熱）に対応するかを最初に特定する。垂直な線は定積、水平な線は定圧、反比例のような曲線は等温または断熱。
  3. サイクルの利用: A→B→C→Aのように一周して元に戻る場合、\(\Delta U_{\text{サイクル}} = 0\) という強力な条件が使えることを見抜く。これにより、どこか一つの過程の \(\Delta U\) が分からなくても、他の過程から計算できる。
  4. 仕事の幾何学的意味: p-Vグラフで囲まれた面積が、1サイクルでの正味の仕事を表すことを知っていると、検算や見通しを立てるのに役立つ。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事(W)の符号ミス:
  • 誤解: C→Aの過程で体積が減少しているのに、仕事 \(W_{CA}\) を正の値で計算してしまう。
  • 対策: 「膨張すれば気体は仕事をする（W>0）、圧縮されれば仕事をされる（W<0）」という原則を徹底する。p-Vグラフでは、Vが増加する方向（右向き）に進めば \(W>0\)、Vが減少する方向（左向き）に進めば \(W<0\) と視覚的に覚える。
• 熱量(Q)と内部エネルギー(\(\Delta U\))の混同:
  • 誤解: 熱力学第1法則 \(\Delta U = Q – W\) を \(Q = \Delta U – W\) のように間違えて覚えてしまい、符号を間違える。
  • 対策: 「（内部エネルギーの）変化分は、入ってきたもの（熱Q）から、出ていったもの（仕事W）を引いた残り」というエネルギー保存のイメージで法則を理解する。
• サイクルの内部エネルギー変化:
  • 誤解: サイクル全体の内部エネルギー変化がゼロになることを忘れ、(4)で \(\Delta U_{CA}\) をどう求めていいか分からなくなる。
  • 対策: 「状態量は、状態が決まれば一意に決まる」という基本を思い出す。サイクルは出発点に戻るため、温度や圧力などの状態量はすべて元の値に戻る。したがって、内部エネルギーの変化も必ずゼロになる、と論理的に理解する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ボイル・シャルルの法則 (\(\displaystyle\frac{pV}{T} = \text{一定}\)):
  • 選定理由: (1)で、異なる状態（A, B, C）の \(p, V, T\) の関係をつなぐために使用。これは理想気体の普遍的な関係式である。
  • 適用根拠: 問題文に「理想気体」と明記されているため、この法則が適用できる。各状態変化（定積、等温）の条件を代入することで、より単純なシャルルの法則やボイルの法則として利用できる。
• 熱力学第1法則 (\(\Delta U = Q – W\)):
  • 選定理由: (2), (3), (4)のすべての設問で、熱、仕事、内部エネルギー変化の関係を明らかにするために使用。熱力学の問題を解く上での根幹となる法則。
  • 適用根拠: これはエネルギー保存則の熱現象における表現であり、あらゆる状態変化に適用できる普遍的な法則である。各過程の特性（\(W=0\) や \(\Delta U=0\) など）を代入することで、未知の量を求めることができる。
• サイクルの性質 (\(\Delta U_{\text{サイクル}} = 0\)):
  • 選定理由: (4)で \(\Delta U_{CA}\) を求めるために使用。直接 \(\Delta U_{CA}\) を計算する情報（温度変化など）がなくても、他の過程の情報から間接的に求めるための強力なツール。
  • 適用根拠: 内部エネルギーは状態量であり、その値は気体の状態（\(p, V, T\)の組）だけで決まる。サイクルでは最終状態が初期状態と全く同じであるため、内部エネルギーの変化は論理的にゼロとなる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位と指数（\(10^n\)）の扱い: 圧力の \(10^5\) や熱量の \(10^3\) など、大きな数を扱う計算が多い。指数計算は後回しにせず、式の早い段階で整理する。例えば、\((3.0 \times 10^5) \times 0.030\) は、\(3.0 \times 0.030 \times 10^5 = 0.090 \times 10^5 = 9.0 \times 10^3\) のように、数値部分と指数部分を分けて計算するとミスが減る。
• 符号の確認: 仕事 \(W\) や熱量 \(Q\)、内部エネルギー変化 \(\Delta U\) の計算結果が出たら、その符号が物理的な状況（膨張/圧縮、吸熱/放熱、温度上昇/下降）と合っているかを必ず確認する癖をつける。
• 有効数字: 問題文や与えられた数値の有効数字（この問題では2桁）を確認し、最終的な答えもそれに合わせる。計算の途中では1桁多く保持しておき、最後に四捨五入すると精度が保たれる。\(900 \text{ K}\) を \(9.0 \times 10^2 \text{ K}\) と表記するなど、最後まで気を抜かない。
• 立式の確認: 熱力学第1法則を適用する際、求めるものが \(Q\) なのか \(\Delta U\) なのかを明確にし、正しく移項する。\(Q = \Delta U + W\) の形にしてから代入するなど、自分の間違いにくい手順を確立する。

例題43 熱力学第1法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「単原子分子理想気体の定圧変化と熱力学第1法則」です。ピストンが自由に動けるシリンダー内の気体を加熱する、という典型的な設定における仕事、熱量、内部エネルギー変化を計算します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
気体がピストンにした仕事 \(W\) を求めます。問題の設定から、この変化がどのような過程（定積、定圧、等温、断熱）であるかを特定することが第一歩です。「なめらかに動く軽いピストン」が「ゆっくりと動く」という記述から、気体の圧力は常に外部の大気圧とつり合っている、すなわち「定圧変化」であると判断します。仕事は \(W = p\Delta V\) で計算できますが、ここでは理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を利用して、与えられた文字 \(n, R, \Delta T\) で表すことを目指します。
この設問における重要なポイント

• 「なめらかに動く軽いピストン」が「ゆっくり」動く場合、内外の圧力がつり合っているため、気体の圧力は一定（定圧変化）とみなせる。
• 仕事の定義式 \(W = p\Delta V\) と理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) を組み合わせる。

具体的な解説と立式
ピストンはなめらかかつ軽く、ゆっくり動くため、シリンダー内の気体の圧力 \(p\) は常に一定（大気圧に等しい）です。したがって、この過程は定圧変化です。
気体がした仕事 \(W\) は、圧力 \(p\) と体積変化 \(\Delta V\) を用いて次のように表せます。
$$ W = p\Delta V \quad \cdots ① $$
ここで、\(\Delta V\) は温度が \(\Delta T\) 上昇したときの体積変化です。
理想気体の状態方程式 \(pV = nRT\) を考えます。温度が \(T\) から \(T+\Delta T\) に変化し、体積が \(V\) から \(V+\Delta V\) に変化したとすると、
変化前: \(pV = nRT\)
変化後: \(p(V+\Delta V) = nR(T+\Delta T)\)
変化後の式から変化前の式を引くと、
$$ p\Delta V = nR\Delta T \quad \cdots ② $$
この関係式を①に代入することで、仕事 \(W\) を求めます。

式②を式①に代入するだけで、計算が完了します。
$$
\begin{aligned}
W &= p\Delta V \\[2.0ex]&= nR\Delta T
\end{aligned}
$$

ピストンが自由に動けるので、中の気体の圧力は常に一定です。この状態で気体が膨張して仕事をする場合、その仕事は「圧力 × 増えた体積」で計算できます。一方、理想気体のルール（状態方程式）から、「圧力 × 増えた体積」は「\(n \times R \times\) 増えた温度」と等しくなることがわかっています。したがって、仕事は \(nR\Delta T\) となります。

気体がピストンにした仕事 \(W\) は \(nR\Delta T\) [J] です。定圧変化において、仕事が温度上昇に比例するという関係式が得られました。これは物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
気体に加えた熱量 \(Q\) を求めます。この過程は定圧変化であるため、定圧モル比熱 \(C_p\) を用いて熱量を計算するのが最も直接的です。単原子分子理想気体の場合、\(C_p = \displaystyle\frac{5}{2}R\) という関係を知っているかどうかが鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 定圧変化で気体に加える熱量は \(Q = nC_p\Delta T\) で計算できる。
• 単原子分子理想気体の定圧モル比熱は \(C_p = \displaystyle\frac{5}{2}R\) である。

具体的な解説と立式
定圧変化において、物質量 \(n\) の気体の温度を \(\Delta T\) だけ上昇させるのに必要な熱量 \(Q\) は、定圧モル比熱 \(C_p\) を用いて次のように表されます。
$$ Q = nC_p\Delta T $$
問題文より、気体は「単原子分子の理想気体」です。単原子分子理想気体の定圧モル比熱は \(C_p = \displaystyle\frac{5}{2}R\) であることが知られています。これを上の式に代入します。
$$ Q = n \left( \frac{5}{2}R \right) \Delta T $$

立式したものを整理するだけです。
$$
\begin{aligned}
Q &= n \left( \frac{5}{2}R \right) \Delta T \\[2.0ex]&= \frac{5}{2}nR\Delta T
\end{aligned}
$$

圧力が一定のまま気体を温めるとき、加える熱量は「\(n \times C_p \times\) 温度変化」で計算できます。\(C_p\) は「定圧モル比熱」という定数です。気体が「単原子分子」の場合、この \(C_p\) は気体定数 \(R\) を使って \(\displaystyle\frac{5}{2}R\) と表されることが決まっています。これを公式に当てはめると、熱量は \(\displaystyle\frac{5}{2}nR\Delta T\) となります。

気体に加えた熱量 \(Q\) は \(\displaystyle\frac{5}{2}nR\Delta T\) [J] です。これは単原子分子理想気体の定圧変化における熱量の公式そのものであり、正しい結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を求めます。理想気体の内部エネルギーは、変化の種類（定積、定圧など）によらず、温度変化 \(\Delta T\) のみに依存します。単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式 \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\) を用いて、その変化量 \(\Delta U\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存する。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式は \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\)。
• 内部エネルギーの変化は \(\Delta U = \displaystyle\frac{3}{2}nR\Delta T\)。これは定積モル比熱 \(C_v = \displaystyle\frac{3}{2}R\) を用いて \(\Delta U = nC_v\Delta T\) とも書ける。

具体的な解説と立式
単原子分子理想気体の内部エネルギー \(U\) は、絶対温度 \(T\) を用いて次のように表されます。
$$ U = \frac{3}{2}nRT $$
温度が \(\Delta T\) だけ変化したときの内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、
$$ \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T $$
となります。この式は、定圧変化であっても定積変化であっても、温度変化が \(\Delta T\) であれば常に成り立ちます。

この設問は、公式を適用するだけであり、特別な計算過程はありません。
$$ \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T $$

単原子分子の気体の内部エネルギーは、その温度だけで決まり、「\(\displaystyle\frac{3}{2}nRT\)」という式で表されます。温度が \(\Delta T\) だけ変化したなら、内部エネルギーも「\(\displaystyle\frac{3}{2}nR\Delta T\)」だけ変化します。これは、気体がどのように変化したか（圧力が一定だったか、体積が一定だったか）には関係ありません。

気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は \(\displaystyle\frac{3}{2}nR\Delta T\) [J] です。これは単原子分子理想気体の内部エネルギー変化の定義そのものであり、正しい結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
(1)から(3)で求めた仕事 \(W\)、熱量 \(Q\)、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) の間に成り立つ関係式を導き、その法則名を答えます。それぞれの結果を比較し、どのような足し算や引き算で関係が成り立つかを見つけ出します。
この設問における重要なポイント

• (1) \(W = nR\Delta T\)
• (2) \(Q = \displaystyle\frac{5}{2}nR\Delta T\)
• (3) \(\Delta U = \displaystyle\frac{3}{2}nR\Delta T\)
• これらの関係から、熱力学第1法則を導き出す。

具体的な解説と立式
(1), (2), (3) の結果を再掲します。
$$ W = nR\Delta T $$
$$ Q = \frac{5}{2}nR\Delta T $$
$$ \Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T $$
これらの式を比較すると、\(nR\Delta T\) の係数がそれぞれ \(1\), \(\displaystyle\frac{5}{2}\), \(\displaystyle\frac{3}{2}\) となっています。
係数の間に \(\displaystyle\frac{5}{2} = \frac{3}{2} + 1\) という関係があることがわかります。
この関係を \(Q, \Delta U, W\) を用いて表すと、
$$ Q = \Delta U + W $$
となります。この関係式は、気体が吸収した熱量 \(Q\) が、内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) と外部への仕事 \(W\) の和に等しいことを示しています。これはエネルギー保存則の一つの表現です。

代数的な計算は不要で、各量の関係性を式で表現します。
\(\Delta U + W\) を計算してみると、
$$
\begin{aligned}
\Delta U + W &= \left( \frac{3}{2}nR\Delta T \right) + (nR\Delta T) \\[2.0ex]&= \left( \frac{3}{2} + 1 \right) nR\Delta T \\[2.0ex]&= \frac{5}{2}nR\Delta T
\end{aligned}
$$
これは(2)で求めた \(Q\) と等しい。したがって、\(Q = \Delta U + W\) が成り立ちます。
この法則は「熱力学第1法則」と呼ばれます。

(1)~(3)の結果を見ると、仕事は \(1 \times (nR\Delta T)\)、内部エネルギーの変化は \(1.5 \times (nR\Delta T)\)、加えた熱量は \(2.5 \times (nR\Delta T)\) となっています。
ここで、\(1.5 + 1 = 2.5\) という関係が成り立っていることがわかります。
つまり、「内部エネルギーの変化」+「仕事」=「加えた熱量」という式が成り立っています。この関係式を「熱力学第1法則」と呼びます。

\(W, Q, \Delta U\) の間には \(Q = \Delta U + W\) という関係が成り立ち、この法則は熱力学第1法則です。これは、与えられた熱エネルギーが、気体の内部エネルギーを増やすためと、気体が外部に仕事をするために使われるという、エネルギー保存則を表しており、物理的に正しい結論です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第1法則と定圧変化の組み合わせ:
  • 核心: この問題は、熱力学の基本法則を、具体的な物理現象である「定圧変化」に適用する能力を問うています。単に公式を暗記するだけでなく、「なめらかに動く軽いピストン」という設定から「定圧変化」を読み取り、各物理量（仕事、熱、内部エネルギー）を正しく計算し、それらを熱力学第1法則で結びつける一連の思考プロセスが重要です。
  • 理解のポイント:
    • 仕事 \(W\): 定圧変化では \(W=p\Delta V\)。状態方程式 \(pV=nRT\) を使うと \(p\Delta V = nR\Delta T\) と変形できる。
    • 内部エネルギー変化 \(\Delta U\): 理想気体の場合、変化の種類によらず常に \(\Delta U = nC_v\Delta T\)。単原子分子なら \(C_v = \frac{3}{2}R\)。
    • 熱量 \(Q\): 定圧変化では \(Q = nC_p\Delta T\)。単原子分子なら \(C_p = \frac{5}{2}R\)。
    • 法則: これら3つは、常に \(Q = \Delta U + W\) (熱力学第1法則) の関係を満たす。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 定積変化: ピストンが固定されている場合。このとき \(\Delta V=0\) なので仕事 \(W=0\)。したがって熱力学第1法則は \(\Delta U = Q\) となる。加えた熱はすべて内部エネルギーの増加に使われる。
  • 断熱変化: シリンダーが断熱材でできていて、急激にピストンを動かす場合。このとき \(Q=0\)。熱力学第1法則は \(\Delta U = -W\) となる。内部エネルギーを犠牲にして仕事をする（断熱膨張）、または仕事をされて内部エネルギーが増える（断熱圧縮）。
  • 二原子分子の場合: 問題文が「二原子分子」に変わった場合。内部エネルギーとモル比熱の公式が \(U=\frac{5}{2}nRT\), \(C_v=\frac{5}{2}R\), \(C_p=\frac{7}{2}R\) に変わるだけで、解法の流れは全く同じ。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 気体の種類を確認: 「単原子分子」「二原子分子」の記述は最重要。これにより \(U, C_v, C_p\) の具体的な形が決まる。
  2. 変化の種類を特定: 問題文の記述（「ピストンを固定」「なめらかに動く軽いピストン」「断熱材で囲み」など）から、定積・定圧・等温・断熱のどれに当たるかを見抜く。これが最初の分岐点。
  3. 与えられている文字を確認: この問題では \(\Delta T\) が与えられている。したがって、すべての答えを \(\Delta T\) を使って表現することを目指す。もし \(\Delta V\) が与えられていれば、\(\Delta V\) を使って表現する。状態方程式を使えば、これらの変数は相互に変換可能。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 内部エネルギー変化と熱量の混同:
  • 誤解: 定圧変化なのに、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を求めるところで、熱量 \(Q = nC_p\Delta T\) の公式を誤って使ってしまう。
  • 対策: 「内部エネルギーは温度だけで決まる」と強く意識する。\(\Delta U\) を計算するときは、変化の種類（定圧か定積かなど）は無視して、常に \(\Delta U = nC_v\Delta T\) を使う、と機械的に覚える。\(C_v\) は内部エネルギー変化のための係数と位置づける。
• 仕事の計算での状態方程式の誤用:
  • 誤解: 仕事 \(W=p\Delta V\) を計算する際に、状態方程式を \(pV=nRT\) の形でそのまま使おうとして混乱する。
  • 対策: 状態方程式は「変化の前後」で2つの式を立て、その差分をとることで \(p\Delta V = nR\Delta T\) という「変化量に関する式」を導出できる、というプロセスを一度は自分でやってみて理解する。
• 熱力学第1法則の符号:
  • 誤解: \(Q = \Delta U + W\) を \(\Delta U = Q + W\) のように符号を間違えて覚えてしまう。
  • 対策: 「外部から加えた熱エネルギー(\(Q\))が、内部エネルギーの増加(\(\Delta U\))と外部への仕事(\(W\))に分配される」というエネルギーの流れをイメージで理解する。\(Q\) が入力で、\(\Delta U\) と \(W\) が出力（分配先）と捉えれば、\(Q = \Delta U + W\) の形が自然に導ける。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 仕事 \(W=p\Delta V=nR\Delta T\):
  • 選定理由: (1)で仕事 \(W\) を求めるため。まず仕事の基本定義 \(W=p\Delta V\) (定圧変化) を選択。しかし、\(\Delta V\) が未知なので、与えられている \(\Delta T\) で表現するために、状態方程式 \(pV=nRT\) を利用して変形する、という論理的な流れ。
  • 適用根拠: 「定圧変化」という条件から \(W=p\Delta V\) が、「理想気体」という条件から \(pV=nRT\) が適用できる。
• 熱量 \(Q=nC_p\Delta T\):
  • 選定理由: (2)で熱量 \(Q\) を求めるため。これは「定圧変化」で温度を \(\Delta T\) 上昇させるのに必要な熱量の定義式そのものである。
  • 適用根拠: 「定圧変化」という条件が、数ある熱量の公式の中から \(Q=nC_p\Delta T\) を選択する根拠となる。「単原子分子」という条件が、\(C_p\) を \(\frac{5}{2}R\) と具体化する根拠となる。
• 内部エネルギー変化 \(\Delta U=nC_v\Delta T\):
  • 選定理由: (3)で内部エネルギー変化 \(\Delta U\) を求めるため。これは「理想気体」の温度が \(\Delta T\) 変化したときの内部エネルギー変化の定義式である。
  • 適用根拠: 「理想気体」の内部エネルギーは温度にしか依存しない、という大原則が根拠。たとえ定圧変化の途中であっても、内部エネルギーの変化量を計算する際は、あたかも定積変化であったかのように \(C_v\) を使って計算できる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理: この問題は数値計算ではなく文字式での計算。分数の扱いがポイントになる。特に(4)で \(Q = \Delta U + W\) を確認する際、\(\frac{3}{2}nR\Delta T + nR\Delta T\) のような計算では、\(nR\Delta T\) を一つの塊として見て、\(\left(\frac{3}{2} + 1\right) nR\Delta T = \frac{5}{2}nR\Delta T\) のように係数部分だけを計算するとスムーズでミスが少ない。
• 物理量の関係性の暗記: \(C_p = C_v + R\) (マイヤーの関係) や、比熱比 \(\gamma = \frac{C_p}{C_v}\) といった関係式を覚えておくと、検算に役立つ。例えば、単原子分子なら \(C_v=\frac{3}{2}R\), \(C_p=\frac{5}{2}R\) であり、確かに差が \(R\) になっていることを確認できる。
• 問題文のキーワードをマーク: 「単原子分子」「なめらかに」「軽い」「ゆっくり」「\(\Delta T\)だけ上昇」といったキーワードに印をつけ、それぞれがどの物理法則や条件（\(C_v, C_p\) の決定、定圧変化、状態方程式の適用）に対応するのかを明確にしながら解き進める癖をつける。

例題44 気体の混合

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「断熱容器内での気体の混合」です。異なる状態にある2つの気体を混合した後の、最終的な圧力と温度を求める問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題では、混合後の圧力 \(p\) と温度 \(T\) という2つの未知数を求める必要があります。したがって、これらを決定するために2つの独立した物理法則に基づく関係式を立てる必要があります。
1つ目の式は「エネルギー」に着目します。系全体は断熱容器で囲まれており、外部との熱のやりとりがありません (\(Q=0\))。また、コックを開くだけで容器の体積は変化しないため、気体は外部に仕事をしません (\(W=0\))。熱力学第1法則 \(\Delta U = Q – W\) から、系全体の内部エネルギーは変化しない、つまり保存されること (\(\Delta U = 0\)) がわかります。
2つ目の式は「物質」に着目します。コックを開いて2つの気体を混ぜるだけなので、気体分子が外部に漏れたり、化学反応で消滅・生成したりすることはありません。したがって、系全体の分子の総数、すなわち総物質量は保存されます。
これら2つの保存則を、理想気体の状態方程式や内部エネルギーの公式を用いて、\(p, V, T\) を含む具体的な数式に落とし込み、連立させて解きます。
この設問における重要なポイント

• 断熱容器内での混合なので、系全体で \(Q=0\)。
• 容器の体積は変化しないので、系全体として外部への仕事は \(W=0\)。
• 熱力学第1法則より、内部エネルギーは保存される: \(U_{\text{前}} = U_{\text{後}}\)。
• 物質量は保存される: \(n_{\text{前}} = n_{\text{後}}\)。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギーは \(U = \displaystyle\frac{3}{2}pV\) の形で表せる。

具体的な解説と立式
1. 圧力 \(p\) を求めるための立式（エネルギー保存則）
系全体は断熱されており(\(Q=0\))、外部への仕事もない(\(W=0\))ため、熱力学第1法則 \(\Delta U = Q – W\) より、系全体の内部エネルギーの変化は \(\Delta U = 0\) です。
したがって、混合前の内部エネルギーの総和と、混合後の内部エネルギーは等しくなります。
$$ U_A + U_B = U_{\text{混合後}} $$
単原子分子理想気体の内部エネルギーは \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\) ですが、状態方程式 \(pV=nRT\) を使うと \(U = \displaystyle\frac{3}{2}pV\) とも表せます。この形を使うと、温度が未知でも圧力を先に計算できます。
混合後の圧力と体積をそれぞれ \(p\), \(V_A+V_B\) とすると、エネルギー保存の式は次のようになります。
$$ \frac{3}{2}p_A V_A + \frac{3}{2}p_B V_B = \frac{3}{2}p(V_A + V_B) \quad \cdots ① $$

2. 温度 \(T\) を求めるための立式（物質量保存則）
混合の前後で、気体の総物質量は保存されます。
$$ n_A + n_B = n_{\text{混合後}} $$
理想気体の状態方程式 \(pV=nRT\) より、物質量は \(n = \displaystyle\frac{pV}{RT}\) と表せます。混合後の温度を \(T\) とすると、物質量保存の式は次のようになります。
$$ \frac{p_A V_A}{R T_A} + \frac{p_B V_B}{R T_B} = \frac{p(V_A + V_B)}{R T} \quad \cdots ② $$

圧力 \(p\) の計算
式①の両辺を \(\displaystyle\frac{3}{2}\) で割ると、\(p_A V_A + p_B V_B = p(V_A + V_B)\) となります。この式に問題文の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
(1.5 \times 10^5) \times (6.0 \times 10^{-3}) + (4.5 \times 10^5) \times (3.0 \times 10^{-3}) &= p \times (6.0 \times 10^{-3} + 3.0 \times 10^{-3}) \\[2.0ex](1.5 \times 6.0) \times 10^2 + (4.5 \times 3.0) \times 10^2 &= p \times (9.0 \times 10^{-3}) \\[2.0ex]9.0 \times 10^2 + 13.5 \times 10^2 &= p \times (9.0 \times 10^{-3}) \\[2.0ex]22.5 \times 10^2 &= p \times (9.0 \times 10^{-3}) \\[2.0ex]p &= \frac{22.5 \times 10^2}{9.0 \times 10^{-3}} \\[2.0ex]&= 2.5 \times 10^5 \text{ [Pa]}
\end{aligned}
$$

温度 \(T\) の計算
式②の両辺から気体定数 \(R\) を消去すると、\(\displaystyle\frac{p_A V_A}{T_A} + \displaystyle\frac{p_B V_B}{T_B} = \displaystyle\frac{p(V_A + V_B)}{T}\) となります。この式に、上で求めた圧力 \(p\) と問題文の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{(1.5 \times 10^5) \times (6.0 \times 10^{-3})}{300} + \frac{(4.5 \times 10^5) \times (3.0 \times 10^{-3})}{270} &= \frac{(2.5 \times 10^5) \times (9.0 \times 10^{-3})}{T} \\[2.0ex]\frac{9.0 \times 10^2}{300} + \frac{13.5 \times 10^2}{270} &= \frac{22.5 \times 10^2}{T} \\[2.0ex]3.0 + 5.0 &= \frac{2250}{T} \\[2.0ex]8.0 &= \frac{2250}{T} \\[2.0ex]T &= \frac{2250}{8.0} \\[2.0ex]&= 281.25 \text{ [K]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、\(T \approx 2.8 \times 10^2 \text{ K}\) となります。

未知数が圧力と温度の2つなので、2つのルール（保存則）を使います。
ルール1「エネルギー保存」：全体が断熱材で覆われているので、エネルギーはどこにも逃げません。だから、混ぜる前のAとBの内部エネルギーの合計と、混ぜた後の全体の内部エネルギーは同じです。内部エネルギーは「圧力×体積」に比例するので、この関係からまず混合後の圧力を計算します。
ルール2「分子の数（物質量）の保存」：コックを開いただけなので、気体の分子の総数は変わりません。混ぜる前のAとBの分子数の合計と、混ぜた後の全体の分子数は同じです。分子数は「圧力×体積÷温度」に比例するので、この関係と先ほど求めた圧力を使って、混合後の温度を計算します。

混合後の圧力は \(2.5 \times 10^5 \text{ Pa}\)、絶対温度は \(2.8 \times 10^2 \text{ K}\) です。
計算された温度 \(T \approx 281 \text{ K}\) は、初期温度である \(270 \text{ K}\) と \(300 \text{ K}\) の間の値となっており、物理的に妥当な結果です。圧力も、初期圧力 \(1.5 \times 10^5 \text{ Pa}\) と \(4.5 \times 10^5 \text{ Pa}\) の間の値であり、妥当と考えられます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 2つの保存則の適用:
  • 核心: この問題は、一見複雑な気体の混合現象が、2つの単純な保存則、「エネルギー保存則」と「物質量保存則」によって支配されていることを理解することが核心です。未知数が混合後の圧力 \(p\) と温度 \(T\) の2つであるため、2つの独立した方程式を立てる必要がある、という問題解決の基本戦略が試されます。
  • 理解のポイント:
    • エネルギー保存: 「断熱容器」かつ「外部への仕事なし」(\(W=0\))という条件から、熱力学第1法則 \(\Delta U = Q – W\) は \(\Delta U = 0\) となり、内部エネルギーが保存されることを意味する。\(U_{\text{前}} = U_{\text{後}}\)
    • 物質量保存: コックを開いて混合するだけなので、気体分子の総数は変わらない。\(n_{\text{前}} = n_{\text{後}}\)
• 内部エネルギーの表現方法の選択:
  • 核心: 単原子分子理想気体の内部エネルギーを、\(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\) だけでなく、状態方程式 \(pV=nRT\) を用いて \(U = \displaystyle\frac{3}{2}pV\) とも表現できることを知っているか、また、どちらの形を使えば計算が楽になるかを選択できるかが重要です。
  • 理解のポイント:
    • \(U = \displaystyle\frac{3}{2}pV\) を使うと、エネルギー保存の式に未知の温度 \(T\) が現れないため、圧力 \(p\) を単独で先に求めることができる。これにより、計算が大幅に簡略化される。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ピストンで仕切られた2つの気体: 断熱シリンダーが可動ピストンで仕切られている問題。ピストンが動く場合、外部への仕事はなくても、一方の気体がもう一方の気体に仕事をするため、系全体で \(W \neq 0\) となる場合がある。しかし、系全体で見れば内部エネルギーは保存されることが多い。
  • 異なる種類の気体の混合: 例えば単原子分子と二原子分子を混合する場合。内部エネルギーの公式が異なるため、\(U_A = \frac{3}{2}p_A V_A\), \(U_B = \frac{5}{2}p_B V_B\) のように、それぞれの気体に合わせて式を立てる必要がある。
  • 熱の流入がある場合: 断熱容器ではなく、外部から熱 \(Q\) が加えられる場合。熱力学第1法則は \(\Delta U = Q\) となり、内部エネルギーは保存されなくなる。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 系の境界を意識する: 「断熱容器」という言葉から、AとBを合わせた全体を一つの「系」と見なす。この系と「外部」との間でエネルギーのやりとりがあるか（\(Q \neq 0\) or \(W \neq 0\)）を最初に確認する。
  2. 未知数と方程式の数を数える: 求めるべき物理量（この問題では \(p\) と \(T\)）の数を把握し、それと同数の独立した方程式を立てる方針を立てる。
  3. どの保存則が使えるか検討する: 系の設定から、エネルギー、運動量、角運動量、質量、物質量など、どの保存則が適用可能かをリストアップする。この問題では「エネルギー」と「物質量」が使える。
  4. 式の形を選択する: 内部エネルギーや状態方程式を、どの変数（\(p, V, T, n\)）で表現するのが最も計算しやすいかを見極める。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 温度を単純に平均してしまう:
  • 誤解: 混合後の温度を、単純に初期温度の平均（\((300+270)/2 = 285 \text{ K}\)）や、体積で重みづけした平均で計算してしまう。
  • 対策: 温度はエネルギーそのものではないため、単純な平均はできないと理解する。エネルギー（内部エネルギー）や物質量といった「保存量」に基づいて計算しなければならない、という原則を徹底する。
• エネルギー保存の式で \(U = \frac{3}{2}nRT\) を使ってしまう:
  • • 誤解: エネルギー保存の式を立てる際に、最初から \(U = \frac{3}{2}nRT\) の形を使うと、\(\frac{3}{2}n_A R T_A + \frac{3}{2}n_B R T_B = \frac{3}{2}(n_A+n_B) R T\) となり、未知数 \(T\) が入ってしまう。これと物質量保存の式を連立させても解けるが、計算が複雑になる。

  – 対策: 「まず \(p\) を求め、次に \(T\) を求める」という二段階の戦略を意識する。そのためには、エネルギー保存の式に \(T\) が入らない \(U = \frac{3}{2}pV\) の形が最適である、と戦略的に公式を選択する訓練をする。

• 計算ミス:
  • 誤解: \(10^5\) や \(10^{-3}\) といった指数の計算、分数の計算でミスをする。
  • 対策: 指数部分はまとめて最後に計算する、数値部分は小数ではなく分数で計算を進める（例: \(1.5 = 3/2\)）、など計算を簡略化する工夫をする。また、計算結果が出たら、物理的に妥当な範囲の値（温度なら初期温度の間など）になっているか検算する癖をつける。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• エネルギー保存則 (\(U_A + U_B = U_{\text{混合後}}\)):
  • 選定理由: 未知数 \(p, T\) を求めるための方程式の一つとして選択。
  • 適用根拠: 問題設定が「断熱容器」(\(Q=0\))であり、体積変化がなく「外部への仕事がない」(\(W=0\))ため、熱力学第1法則 \(\Delta U = Q – W\) から、系の総内部エネルギーが保存される(\(\Delta U=0\))ことが論理的に導かれる。
• 物質量保存則 (\(n_A + n_B = n_{\text{混合後}}\)):
  • 選定理由: 未知数 \(p, T\) を求めるための、エネルギー保存則とは独立したもう一つの方程式として選択。
  • 適用根拠: コックを開くだけの物理変化であり、気体分子が生成・消滅したり、系外に漏れたりしないため、分子の総数（物質量）は保存される。これは物理学における基本的な保存則の一つである。
• 内部エネルギーの \(pV\) 表現 (\(U = \frac{3}{2}pV\)):
  • 選定理由: エネルギー保存則を立式する際に、未知の温度 \(T\) を式から排除し、圧力 \(p\) だけの式にするため。
  • 適用根拠: \(U = \frac{3}{2}nRT\) と \(pV=nRT\) は、どちらも「理想気体」に対して成り立つ正しい関係式。したがって、\(nRT\) を \(pV\) で置き換えることは数学的に正当である。この置き換えにより、問題をより簡単なステップに分割できる。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の処理: \( (1.5 \times 10^5) \times (6.0 \times 10^{-3}) \) のような計算では、\( (1.5 \times 6.0) \times (10^5 \times 10^{-3}) = 9.0 \times 10^2 \) のように、数値部分と指数部分を分けて計算する。
• 式の整理: 式② \(\displaystyle\frac{p_A V_A}{R T_A} + \displaystyle\frac{p_B V_B}{R T_B} = \displaystyle\frac{p(V_A + V_B)}{R T}\) のように、両辺に共通する \(R\) は、値を代入する前に消去してしまう。これにより、計算の手間とミスを減らせる。
• 単位の確認: 最終的に求めた圧力 \(p\) と温度 \(T\) の単位が、それぞれ Pa と K になっているかを確認する。計算途中で単位が混在しないように注意する。
• 概算による検算: 温度の計算で \(T = 2250 / 8.0\) が出てきたら、\(2400/8 = 300\) より少し小さい値になるな、と大まかな見当をつける。もし計算結果が \(28.1\) や \(2810\) のように桁違いになっていたら、どこかで \(10\) のべき乗の計算を間違えた可能性が高いと気づくことができる。

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