181 比熱の測定
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、熱量計を用いて金属球の比熱を測定する、典型的な熱量計算の問題です。熱量保存則という、熱力学における基本的な法則を正しく適用できるかが問われます。
この問題の核心は、高温の物体が失った熱量と、低温の物体が得た熱量が等しくなるという「熱量保存則」を理解し、立式することです。また、熱量を受け取る物体が「水」と「熱量計」の2つある点に注意が必要です。
- 熱量計の熱容量: \(C_{\text{計}} = 50.0 \text{ J/K}\)
- 水の質量: \(m_{\text{水}} = 200 \text{ g}\)
- 水の比熱: \(c_{\text{水}} = 4.2 \text{ J/(g·K)}\)
- 金属球の質量: \(m_{\text{金属}} = 50 \text{ g}\)
- 実験1（問1, 2）:
- 投入前の水と熱量計の温度: \(T_{\text{初1}} = 18.9 \text{ ℃}\)
- 投入前の金属球の温度: \(T_{\text{金属1}} = 100.0 \text{ ℃}\)
- かくはん後の全体の温度（平衡温度）: \(T_{\text{平1}} = 20.9 \text{ ℃}\)
- 実験2（問3）:
- 投入前の水と熱量計の温度: \(T_{\text{初2}} = 18.9 \text{ ℃}\)
- かくはん後の全体の温度（平衡温度）: \(T_{\text{平2}} = 20.7 \text{ ℃}\)
- その他: 熱量計と外部との熱の出入りは無視できる。
- (1) 実験1で、金属球から水と熱量計に移動した熱量 \(Q_{\text{得}}\)。
- (2) 金属球の比熱 \(c_{\text{金属}}\)。
- (3) 実験2で、熱量計に入れる直前の金属球の温度 \(t\)。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「熱量保存則を用いた比熱の測定」です。異なる温度の物体を接触させたときの熱の移動を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 熱量の計算式: 物体が得る、または失う熱量を計算する公式です。質量 \(m\)、比熱 \(c\)、温度変化 \(\Delta T\) を用いる \(Q = mc\Delta T\) と、熱容量 \(C\)、温度変化 \(\Delta T\) を用いる \(Q = C\Delta T\) の2つを使い分けます。
- 熱量保存則: 断熱された系の中では、熱の移動は内部だけで起こります。この法則は2通りの表現ができます。
- (A) 熱の移動量に着目: 高温物体が失った熱量の総和と、低温物体が得た熱量の総和は等しい。(\(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\))
- (B) エネルギーの総和に着目: 系全体のエネルギーは保存されるため、ある基準温度における熱量の総和は、変化の前後で等しい。
- 温度変化 \(\Delta T\) の扱い: 熱量の計算で用いる温度変化 \(\Delta T\) は、セルシウス温度（℃）の差で計算しても、絶対温度（K）の差で計算しても同じ値になります。問題文の単位に合わせてセルシウス温度で計算するのが簡便です。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず(1)で、低温側である水と熱量計が、温度上昇によって得た熱量をそれぞれの公式を用いて計算し、合計します。
- 次に(2)で、熱量保存則（高温の金属球が失った熱量 = (1)で求めた熱量）を立式し、未知数である金属球の比熱 \(c_{\text{金属}}\) を求めます。
- 最後に(3)で、2回目の実験について同様に熱量保存則を考えます。(2)で求めた比熱 \(c_{\text{金属}}\) を用いて、未知数である金属球の初期温度 \(t\) を計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
金属球から水と熱量計に移動した熱量を求める問題です。これは、低温側である「水」と「熱量計」が得た熱量の合計に等しくなります。それぞれの物体が得た熱量を、適切な公式を使って計算し、最後にそれらを足し合わせます。
この設問における重要なポイント
- 熱量を受け取った物体: 熱を受け取ったのは「水」と「熱量計」の2つです。両方を考慮する必要があります。
- 水が得た熱量の計算: 水は質量 \(m_{\text{水}}\) と比熱 \(c_{\text{水}}\) が与えられているので、公式 \(Q = mc\Delta T\) を用います。
- 熱量計が得た熱量の計算: 熱量計は熱容量 \(C_{\text{計}}\) が与えられているので、公式 \(Q = C\Delta T\) を用います。
- 共通の温度変化: 水と熱量計は一体となって温度が上昇するため、温度変化 \(\Delta T\) は両者で共通です。 \(\Delta T = (\text{後の温度}) – (\text{前の温度}) = 20.9 – 18.9 = 2.0 \text{ ℃}\) となります。
具体的な解説と立式
低温側である水と熱量計が得た熱量をそれぞれ \(Q_{\text{水}}\)、\(Q_{\text{計}}\) とします。
水が得た熱量 \(Q_{\text{水}}\) は、質量 \(m_{\text{水}}\)、比熱 \(c_{\text{水}}\)、温度変化 \(\Delta T_1 = T_{\text{平1}} – T_{\text{初1}}\) を用いて、
$$ Q_{\text{水}} = m_{\text{水}} c_{\text{水}} (T_{\text{平1}} – T_{\text{初1}}) \quad \cdots ① $$
熱量計が得た熱量 \(Q_{\text{計}}\) は、熱容量 \(C_{\text{計}}\)、同じ温度変化 \(\Delta T_1\) を用いて、
$$ Q_{\text{計}} = C_{\text{計}} (T_{\text{平1}} – T_{\text{初1}}) \quad \cdots ② $$
金属球から移動した熱量、すなわち水と熱量計が得た熱量の合計 \(Q_{\text{得1}}\) は、これらの和となります。
$$ Q_{\text{得1}} = Q_{\text{水}} + Q_{\text{計}} \quad \cdots ③ $$
使用した物理公式
- 物体の得た熱量: \(Q = mc\Delta T\)
- 熱量計の得た熱量: \(Q = C\Delta T\)
①、②、③の式に与えられた値を代入して \(Q_{\text{得1}}\) を計算します。
温度変化は \(\Delta T_1 = 20.9 – 18.9 = 2.0 \text{ ℃}\) です。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{得1}} &= m_{\text{水}} c_{\text{水}} \Delta T_1 + C_{\text{計}} \Delta T_1 \\[2.0ex]
&= (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}}) \Delta T_1 \\[2.0ex]
&= (200 \times 4.2 + 50.0) \times 2.0 \\[2.0ex]
&= (840 + 50.0) \times 2.0 \\[2.0ex]
&= 890 \times 2.0 \\[2.0ex]
&= 1780 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$
問題文中の数値の有効数字は2桁または3桁です。計算結果の1780を有効数字2桁で表すと \(1.8 \times 10^3 \text{ J}\) となります。
熱い金属球を入れたことで、冷たかった水と容器（熱量計）が温められました。このとき、水と容器がどれだけの熱エネルギーを受け取ったかを計算します。「水が受け取った熱」と「容器が受け取った熱」を別々に計算し、最後にそれらを合計することで、金属球から移動してきた全体の熱量が分かります。
水と熱量計が得た熱量は \(1780 \text{ J}\) であり、有効数字2桁で丸めると \(1.8 \times 10^3 \text{ J}\) となります。これは選択肢③と一致します。計算過程で、水が得た熱量（\(840 \times 2.0 = 1680 \text{ J}\)）と熱量計が得た熱量（\(50.0 \times 2.0 = 100 \text{ J}\)）を比べると、水のほうがはるかに多くの熱を得ていることがわかります。これは水の質量と比熱が大きいことに起因しており、物理的に妥当な結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
金属球の比熱 \(c_{\text{金属}}\) を求める問題です。外部との熱の出入りがないため、「熱量保存則」が成り立ちます。すなわち、「高温物体（金属球）が失った熱量」と「低温物体（水＋熱量計）が得た熱量」が等しくなります。この関係を数式で表し、未知数である \(c_{\text{金属}}\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 熱量保存則の適用: この問題の根幹をなす法則です。\(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\) という関係を立てます。
- 失った熱量の計算: 金属球が失った熱量 \(Q_{\text{失}}\) は、\(Q = mc\Delta T\) の公式を使って計算します。このときの温度変化 \(\Delta T\) は、\((\text{高温時の温度}) – (\text{低温時の温度})\) なので、\(100.0 – 20.9\) となります。
- 得た熱量の利用: 低温側が得た熱量 \(Q_{\text{得}}\) は、問(1)で計算した \(1780 \text{ J}\) をそのまま利用できます。
具体的な解説と立式
熱量保存則より、金属球が失った熱量 \(Q_{\text{失1}}\) は、水と熱量計が得た熱量 \(Q_{\text{得1}}\) に等しくなります。
$$ Q_{\text{失1}} = Q_{\text{得1}} \quad \cdots ① $$
金属球が失った熱量 \(Q_{\text{失1}}\) は、その質量 \(m_{\text{金属}}\)、比熱 \(c_{\text{金属}}\)、温度変化 \(T_{\text{金属1}} – T_{\text{平1}}\) を用いて次のように表せます。
$$ Q_{\text{失1}} = m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{金属1}} – T_{\text{平1}}) \quad \cdots ② $$
したがって、①と②より、以下の関係式が成り立ちます。
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{金属1}} – T_{\text{平1}}) = Q_{\text{得1}} $$
使用した物理公式
- 熱量保存則: \(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\)
- 物体の失った熱量: \(Q = mc\Delta T\)
上記で立てた式を \(c_{\text{金属}}\) について解き、与えられた値と(1)の結果を代入します。
$$
\begin{aligned}
c_{\text{金属}} &= \frac{Q_{\text{得1}}}{m_{\text{金属}} (T_{\text{金属1}} – T_{\text{平1}})} \\[2.0ex]
&= \frac{1780}{50 \times (100.0 – 20.9)} \\[2.0ex]
&= \frac{1780}{50 \times 79.1} \\[2.0ex]
&= \frac{1780}{3955} \\[2.0ex]
&\approx 0.45006… \text{ [J/(g·K)]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(0.45 \text{ J/(g·K)}\) となります。
「金属球が放出した熱」と「水と容器が受け取った熱」が等しい、というエネルギーの保存ルールを使います。(1)で計算した「受け取った熱」の量が分かっているので、それと同じだけの熱を放出するために、この金属の「温まりにくさ（比熱）」がどれくらいかを逆算します。
思考の道筋とポイント
熱の移動を、系全体のエネルギー状態の変化として捉える方法です。外部との熱のやり取りがないため、金属球、水、熱量計からなる系全体の熱エネルギーの総和は、金属球を入れる前後で変化しません。この考え方で立式します。ただし、熱エネルギーの絶対量は定義できないため、ある基準温度（例えば \(0 \text{ ℃}\)）を定め、そこからの熱量として計算します。
この設問における重要なポイント
- 基準温度の設定: 全ての物体の熱量を比較するための基準となる温度、例えば \(T_0 = 0 \text{ ℃}\) を設定します。
- 初めの状態の熱量: 金属球を入れる前の、各物体の基準温度からの熱量を計算し、合計します。
- 終わりの状態の熱量: 全ての物体の温度が平衡温度 \(T_{\text{平1}}\) になったときの、各物体の基準温度からの熱量を計算し、合計します。
- エネルギー保存則の立式: 「初めの熱量の総和」=「終わりの熱量の総和」という式を立てます。
具体的な解説と立式
基準温度を \(T_0 = 0 \text{ ℃}\) とします。
金属球を入れる前の系の熱量の総和 \(U_{\text{前}}\) は、
$$ U_{\text{前}} = m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{金属1}} – T_0) + m_{\text{水}} c_{\text{水}} (T_{\text{初1}} – T_0) + C_{\text{計}} (T_{\text{初1}} – T_0) \quad \cdots ① $$
かくはん後の系の熱量の総和 \(U_{\text{後}}\) は、
$$ U_{\text{後}} = m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{平1}} – T_0) + m_{\text{水}} c_{\text{水}} (T_{\text{平1}} – T_0) + C_{\text{計}} (T_{\text{平1}} – T_0) \quad \cdots ② $$
熱量保存則より \(U_{\text{前}} = U_{\text{後}}\) なので、
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{金属1}} – T_0) + (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{初1}} – T_0) = (m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} + m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{平1}} – T_0) $$
この式を \(c_{\text{金属}}\) を含む項と含まない項で整理すると、
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{金属1}} – T_0) – m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{平1}} – T_0) = (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{平1}} – T_0) – (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{初1}} – T_0) $$
左辺と右辺をそれぞれまとめると、
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{金属1}} – T_{\text{平1}}) = (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{平1}} – T_{\text{初1}}) $$
この式は、\(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\) の式と全く同じ形になります。
使用した物理公式
- 熱量保存則（エネルギー総和の観点）: \(U_{\text{前}} = U_{\text{後}}\)
- 基準温度からの熱量: \(Q = mc(T – T_0)\), \(Q = C(T – T_0)\)
導かれた式はメインの解法と同一であるため、計算過程も同じになります。
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (T_{\text{金属1}} – T_{\text{平1}}) = Q_{\text{得1}} $$
ここに \(Q_{\text{得1}} = 1780 \text{ J}\) を代入し、
$$
\begin{aligned}
c_{\text{金属}} &= \frac{1780}{50 \times (100.0 – 20.9)} \\[2.0ex]
&\approx 0.45 \text{ [J/(g·K)]}
\end{aligned}
$$
となり、同じ結果が得られます。
「金属球、水、容器が持っていた熱エネルギーの合計は、かき混ぜる前と後で変わらない」という考え方です。基準となる温度（例えば0℃）を決めて、混ぜる前の各部品のエネルギーを足し合わせたものと、混ざった後の各部品のエネルギーを足し合わせたものが等しくなるように式を立てます。この方法でも、最終的には「失った熱量＝得た熱量」と同じ式になり、同じ答えが求まります。
金属球の比熱は \(0.45 \text{ J/(g·K)}\) です。これは選択肢⑤と一致します。「失った熱量＝得た熱量」という考え方も、「エネルギーの総和は不変」という考え方も、本質的には同じ熱量保存則を異なる側面から表現したものです。どちらの視点でも立式できるようになっておくと、問題への理解が深まります。
問(3)
思考の道筋とポイント
2回目の実験について、熱量計に入れる直前の金属球の温度 \(t\) を求める問題です。金属球が少し冷めてしまった、という状況設定です。この実験でも同様に熱量保存則が成り立ちます。(2)で求めた金属球の比熱 \(c_{\text{金属}}\) を既知の値として用い、熱量保存の式を立てて未知数 \(t\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 既知の値の利用: (2)で求めた金属球の比熱 \(c_{\text{金属}} \approx 0.45 \text{ J/(g·K)}\) を使って計算を進めます。
- 熱量保存則の再適用: 2回目の実験条件（平衡温度 \(T_{\text{平2}} = 20.7 \text{ ℃}\)）で、改めて熱量保存則の式を立てます。
- 低温側が得た熱量の再計算: 平衡温度が変わったため、水と熱量計が得た熱量 \(Q_{\text{得2}}\) を再計算する必要があります。温度変化は \(\Delta T_2 = 20.7 – 18.9 = 1.8 \text{ ℃}\) です。
- 高温側が失った熱量の表現: 金属球が失った熱量 \(Q_{\text{失2}}\) は、未知の初期温度 \(t\) を用いて \(m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (t – T_{\text{平2}})\) と表されます。
具体的な解説と立式
2回目の実験における熱量保存則は、
$$ Q_{\text{失2}} = Q_{\text{得2}} $$
と書けます。
ここで、高温の金属球が失った熱量 \(Q_{\text{失2}}\) は、求める初期温度を \(t\) として、
$$ Q_{\text{失2}} = m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (t – T_{\text{平2}}) \quad \cdots ① $$
低温の水と熱量計が得た熱量 \(Q_{\text{得2}}\) は、
$$ Q_{\text{得2}} = m_{\text{水}} c_{\text{水}} (T_{\text{平2}} – T_{\text{初2}}) + C_{\text{計}} (T_{\text{平2}} – T_{\text{初2}}) \quad \cdots ② $$
となります。したがって、熱量保存則の式は以下のようになります。
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (t – T_{\text{平2}}) = (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}}) (T_{\text{平2}} – T_{\text{初2}}) $$
使用した物理公式
- 熱量保存則: \(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\)
- 熱量の計算式: \(Q = mc\Delta T\), \(Q = C\Delta T\)
まず、右辺（水と熱量計が得た熱量）を計算します。温度変化は \(\Delta T_2 = 20.7 – 18.9 = 1.8 \text{ ℃}\) です。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{得2}} &= (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}}) \Delta T_2 \\[2.0ex]
&= (200 \times 4.2 + 50.0) \times 1.8 \\[2.0ex]
&= (840 + 50.0) \times 1.8 \\[2.0ex]
&= 890 \times 1.8 \\[2.0ex]
&= 1602 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$
次に、この結果を熱量保存則の式に代入し、\(t\) について解きます。(2)で求めた \(c_{\text{金属}} = 0.45 \text{ J/(g·K)}\) を用います。
$$ 50 \times 0.45 \times (t – 20.7) = 1602 $$
この式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
22.5 \times (t – 20.7) &= 1602 \\[2.0ex]
t – 20.7 &= \frac{1602}{22.5} \\[2.0ex]
t – 20.7 &= 71.2 \\[2.0ex]
t &= 71.2 + 20.7 \\[2.0ex]
t &= 91.9 \text{ [℃]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(92 \text{ ℃}\) となります。
2回目の実験でも、1回目と同じように「金属球が放出した熱」と「水と容器が受け取った熱」が等しいというルールを使います。今回は、最終的に混ざった後の温度（20.7℃）が分かっているので、そこから逆算して、金属球を入れる直前の温度が何度だったのかを突き止めます。
思考の道筋とポイント
問(2)の別解と同様に、系全体のエネルギー総和が保存されるという視点で立式します。2回目の実験条件で、金属球を入れる前の系の熱量総和と、かくはん後の熱量総和が等しいという式を立て、未知数である金属球の初期温度 \(t\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 基準温度の設定: 問(2)と同様に、基準温度 \(T_0 = 0 \text{ ℃}\) を設定します。
- 未知数を含む初期状態: 2回目の実験では、金属球の初期温度が未知数 \(t\) となります。
- 既知の値の利用: (2)で求めた金属球の比熱 \(c_{\text{金属}}\) は既知として扱います。
具体的な解説と立式
基準温度を \(T_0 = 0 \text{ ℃}\) とします。
2回目の実験について、金属球を入れる前の系の熱量の総和 \(U_{\text{前2}}\) は、
$$ U_{\text{前2}} = m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (t – T_0) + (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{初2}} – T_0) $$
かくはん後の系の熱量の総和 \(U_{\text{後2}}\) は、
$$ U_{\text{後2}} = (m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} + m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{平2}} – T_0) $$
熱量保存則 \(U_{\text{前2}} = U_{\text{後2}}\) より、
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (t – T_0) + (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{初2}} – T_0) = (m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} + m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{平2}} – T_0) $$
この式を \(t\) を含む項とそれ以外で整理すると、
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (t – T_0) = (m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} + m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{平2}} – T_0) – (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{初2}} – T_0) $$
右辺を \(T_{\text{平2}}\) と \(T_{\text{初2}}\) でまとめると、
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (t – T_0) = m_{\text{金属}} c_{\text{金属}}(T_{\text{平2}} – T_0) + (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{平2}} – T_{\text{初2}}) $$
\(t\) を含む項を左辺にまとめると、
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (t – T_{\text{平2}}) = (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{計}})(T_{\text{平2}} – T_{\text{初2}}) $$
この式は、\(Q_{\text{失2}} = Q_{\text{得2}}\) の式と全く同じ形になります。
使用した物理公式
- 熱量保存則（エネルギー総和の観点）: \(U_{\text{前}} = U_{\text{後}}\)
- 基準温度からの熱量: \(Q = mc(T – T_0)\), \(Q = C(T – T_0)\)
導かれた式はメインの解法と同一であるため、計算過程も同じになります。
右辺は低温側が得た熱量 \(Q_{\text{得2}} = 1602 \text{ J}\) です。
$$ m_{\text{金属}} c_{\text{金属}} (t – T_{\text{平2}}) = 1602 $$
$$ 50 \times 0.45 \times (t – 20.7) = 1602 $$
これを解くと、
$$ t = 91.9 \text{ [℃]} $$
となり、有効数字2桁で \(92 \text{ ℃}\) となります。
問(2)の別解と同じく、「混ぜる前と後で、全体のエネルギーの合計は変わらない」というルールを使います。今回は、混ぜる前の金属球の温度が分からないので、それを文字 \(t\) で表して式を立てます。最終的に、この \(t\) が約92℃であれば、計算が合うことが分かります。
熱量計に入れる直前の金属球の温度は \(92 \text{ ℃}\) です。これは選択肢④と一致します。この結果は、実験1の \(100.0 \text{ ℃}\) よりも低く、「金属球が少し冷えてしまい」という問題文の記述と整合性が取れています。また、平衡温度が実験1の \(20.9 \text{ ℃}\) よりも低い \(20.7 \text{ ℃}\) になったことからも、投入された金属球の温度が \(100.0 \text{ ℃}\) より低かったことが裏付けられ、結果は妥当であると言えます。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 熱量保存則:
- 核心: 外部と熱のやり取りがない断熱された系において、内部での熱移動が起こる際、系全体のエネルギーは保存されるという法則です。この法則が、この問題の(2)と(3)を解くための最も重要な原理です。
- 理解のポイント: この法則は、2つの同等な視点から立式できます。
- 熱の移動量に着目する視点（\(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\)）: 高温の物体が失った熱量と、低温の物体が得た熱量は等しい、という考え方です。熱の「やり取り」に注目した、直感的で計算しやすい方法です。\(m_{\text{高温}}c_{\text{高温}}(T_{\text{高温}} – T_{\text{平衡}}) = m_{\text{低温}}c_{\text{低温}}(T_{\text{平衡}} – T_{\text{低温}})\)
- エネルギー総和に着目する視点（\(U_{\text{前}} = U_{\text{後}}\)）: ある基準温度に対する系全体の熱エネルギーの総和は、状態が変化する前後で変わらない、という考え方です。より普遍的なエネルギー保存則の考え方に近く、複雑な系でも適用しやすいです。\(U_{\text{前}} = \sum m_i c_i (T_{i, \text{前}} – T_0)\)\(U_{\text{後}} = \sum m_i c_i (T_{i, \text{後}} – T_0)\)\(U_{\text{前}} = U_{\text{後}}\)
どちらの視点も本質的には同じ物理現象を記述しており、最終的には同じ方程式に至ります。両方を理解しておくことが重要です。
- 熱量の計算式（\(Q=mc\Delta T\) と \(Q=C\Delta T\)）:
- 核心: 物体の温度を変化させるのに必要な熱量を計算するための基本公式です。比熱 \(c\) が与えられている場合は \(mc\Delta T\)、熱容量 \(C\) が与えられている場合は \(C\Delta T\) を使います。この問題では、水（比熱）と熱量計（熱容量）で適切に使い分ける必要がありました。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 氷の融解を伴う熱量計算: 0℃の氷を水の中に入れる問題。この場合、低温側が得る熱量は「氷が0℃の水になるための融解熱（\(Q=mL\))」と「0℃の水が温度上昇する熱（\(Q=mc\Delta T\)）」の2段階で考える必要があります。
- 複数の液体を混合する問題: 例えば、20℃の水と80℃の油を混ぜるなど。各液体の質量、比熱、初期温度を正確に把握し、熱量保存則を適用します。
- 抵抗での発熱（ジュール熱）と水の温度上昇: 電熱線で水を温める問題。この場合、「電熱線が発生した熱量（\(P \times t = IVt\)）」が「水と容器が得た熱量」に等しい、という形でエネルギー保存則を立てます。
- 初見の問題での着眼点:
- 登場人物をリストアップする: 問題に出てくる物体（水、金属球、熱量計、氷など）をすべて書き出し、それぞれの質量、比熱（または熱容量）、初期温度を整理します。
- 熱の移動方向を把握する: どの物体が高温で、どの物体が低温かを確認し、熱がどちらからどちらへ移動するのかを矢印で図示すると分かりやすいです。
- 状態変化の有無を確認する: 氷が水になる、水が水蒸気になるといった「状態変化」が伴うかを確認します。状態変化がある場合は、融解熱や蒸発熱を考慮に入れる必要があります。この問題には状態変化はありませんでした。
- 「断熱」のキーワードを確認: 「外部との熱の出入りはない」「断熱された容器」といった記述があれば、熱量保存則が使えるサインです。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 熱量計の熱容量の無視:
- 誤解: 水が得た熱量だけを計算してしまい、熱量計（容器）が得た熱量を計算に入れない。
- 対策: 問題文に「熱量計の熱容量」が与えられている場合、それは必ず計算に使うべき重要な情報です。水だけでなく、それを入れている容器も一緒に温度が変化することを常に意識しましょう。
- 温度変化 \(\Delta T\) の計算ミス:
- 誤解: \(Q_{\text{失}} = mc\Delta T\) と \(Q_{\text{得}} = mc\Delta T\) の両方で、\(\Delta T\) を単純に（後の温度）-（前の温度）で計算してしまい、片方が負の値になってしまう。
- 対策: \(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\) の式を立てる際は、\(\Delta T\) は常に正の値になるように「大きい温度 – 小さい温度」で計算するのが安全です。
- 失った熱量: \(mc(\text{高温} – \text{平衡温度})\)
- 得た熱量: \(mc(\text{平衡温度} – \text{低温})\)
- 単位の混同:
- 誤解: 比熱の単位が J/(g·K) なのに、質量を kg で代入してしまう。あるいはその逆。
- 対策: 計算を始める前に、すべての物理量の単位が整合しているか（gで統一、kgで統一など）を確認する習慣をつけましょう。この問題では、質量は g、比熱は J/(g·K) で与えられているため、そのまま計算できます。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 温度の数直線: 横軸に温度をとった数直線をイメージします。左側に低温の物体（水＋熱量計）の初期温度 \(T_{\text{初}}\)、右側に高温の物体（金属球）の初期温度 \(T_{\text{金属}}\) をプロットします。熱平衡に達すると、両者はその間のどこかの温度 \(T_{\text{平}}\) に落ち着きます。この図により、「金属球が失った温度幅（\(T_{\text{金属}} – T_{\text{平}}\)）」と「水が得た温度幅（\(T_{\text{平}} – T_{\text{初}}\)）」が視覚的に理解できます。
- 熱エネルギーのシーソー: シーソーの片方に高温の物体、もう片方に低温の物体が乗っているイメージ。熱移動が起こると、高温側が下がり（エネルギーを失う）、低温側が上がる（エネルギーを得る）。最終的に両者が釣り合った状態（\(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\)）が熱平衡状態です。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 状態変化を図示する: 氷の融解など状態変化が伴う場合は、温度一定のまま状態が変わる区間（融解熱の吸収）と、温度が上昇する区間を明確に区別したグラフ（縦軸：温度、横軸：加えた熱量）を描くと、計算すべき熱量の要素を整理しやすくなります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 熱量保存則 (\(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\)):
- 選定理由: (2)と(3)で、断熱された系内での熱のやり取りを記述するため。異なる温度の物体を接触させ、最終的に一つの温度に落ち着く、という問題設定そのものが、この法則の適用を強く示唆しています。
- 適用根拠: エネルギー保存則という物理学の根本原理に基づいています。外部からエネルギーが供給されたり、外部に逃げたりしない限り、系内部のエネルギーの形態が変わる（この場合は熱移動）だけで、総量は不変であるという考え方です。
- 熱量の式 (\(Q=mc\Delta T\), \(Q=C\Delta T\)):
- 選定理由: (1)で、温度変化から具体的な熱量を計算するため。また、(2)(3)で熱量保存則を立式する際の各項を表現するために必要です。
- 適用根拠: 熱量、質量、比熱、熱容量、温度変化という物理量の間の関係を定義する、実験的に確立された関係式です。どの物体にどの公式を適用するかは、問題文で「比熱」が与えられているか、「熱容量」が与えられているかによって決まります。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1) 低温側が得た熱量の計算:
- 戦略: 低温の物体（水、熱量計）が、温度上昇によって得た熱量を計算する。
- フロー: ①水が得た熱量 \(Q_{\text{水}}\) を \(m_{\text{水}}c_{\text{水}}\Delta T_1\) で計算 → ②熱量計が得た熱量 \(Q_{\text{計}}\) を \(C_{\text{計}}\Delta T_1\) で計算 → ③両者を合計して \(Q_{\text{得1}} = Q_{\text{水}} + Q_{\text{計}}\) を求める。
- (2) 比熱の計算:
- 戦略: 熱量保存則 \(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\) を利用して、未知の比熱 \(c_{\text{金属}}\) を求める。
- フロー: ①高温の金属球が失った熱量 \(Q_{\text{失1}}\) を \(m_{\text{金属}}c_{\text{金属}}\Delta T’_{\text{1}}\) と表現 → ②熱量保存則の式 \(m_{\text{金属}}c_{\text{金属}}\Delta T’_{\text{1}} = Q_{\text{得1}}\) を立てる → ③(1)で求めた \(Q_{\text{得1}}\) の値を代入し、\(c_{\text{金属}}\) について解く。
- (3) 初期温度の計算:
- 戦略: 2回目の実験について、再度、熱量保存則を適用し、未知の初期温度 \(t\) を求める。
- フロー: ①2回目の実験で低温側が得た熱量 \(Q_{\text{得2}}\) を再計算 → ②高温の金属球が失った熱量 \(Q_{\text{失2}}\) を、未知温度 \(t\) を用いて表現 → ③熱量保存則の式 \(Q_{\text{失2}} = Q_{\text{得2}}\) を立てる → ④(2)で求めた \(c_{\text{金属}}\) の値を使い、式を \(t\) について解く。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 式を整理してから代入する: (1)の計算では、\(Q_{\text{得1}} = m_{\text{水}}c_{\text{水}}\Delta T_1 + C_{\text{計}}\Delta T_1\) を、先に \((m_{\text{水}}c_{\text{水}} + C_{\text{計}})\Delta T_1\) と変形してから数値を代入すると、\(\Delta T_1\) の掛け算が一度で済み、計算が少し楽になりミスも減ります。この \((m_{\text{水}}c_{\text{水}} + C_{\text{計}})\) は「水と熱量計を合わせた系の熱容量」と見なすことができます。
- 途中計算の値をメモしておく: (1)で計算した \(Q_{\text{得1}} = 1780 \text{ J}\) や、(2)で計算した \(c_{\text{金属}} \approx 0.45 \text{ J/(g·K)}\) は、後の設問で使います。計算用紙に明確にメモしておきましょう。特に、(3)の計算では、丸める前の値 \(c_{\text{金属}} \approx 0.45006…\) や分数の形 \(\displaystyle\frac{1780}{3955}\) を使って計算を進めると、より正確な結果が得られます（ただし、高校物理では有効数字の桁数程度の精度で計算すれば十分な場合が多いです）。
- 有効数字の扱い: 最終的な答えを出す段階で、問題文で与えられた数値の有効数字の桁数（この問題では主に2桁）に合わせます。計算途中では、1桁多く保持しておくと丸め誤差を減らせます。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (2) 比熱: \(c_{\text{金属}} \approx 0.45 \text{ J/(g·K)}\) という値は、水の比熱 \(4.2 \text{ J/(g·K)}\) に比べて十分に小さいです。一般に、金属は水よりも温まりやすく冷めやすい（比熱が小さい）という経験的事実と一致しており、妥当な値です。
- (3) 温度: \(t \approx 92 \text{ ℃}\) という結果は、1回目の実験の初期温度 \(100.0 \text{ ℃}\) よりも低いです。これは「金属球が少し冷えてしまい」という問題文の状況設定と一致します。また、その結果として平衡温度が \(20.9 \text{ ℃}\) から \(20.7 \text{ ℃}\) へとわずかに下がったこととも整合性が取れており、結果は信頼できると判断できます。
- 別解との比較:
- (2)と(3)は、「失った熱量＝得た熱量」という視点と、「エネルギーの総和は不変」という視点の両方で解くことができました。どちらの方法でも全く同じ方程式が導かれ、同じ答えが得られたことは、計算の正しさと物理法則の理解の確かさを強力に裏付けます。
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