「重要問題集」徹底解説（101〜105問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題101 (信州大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、[A]でガウスの法則を用いて1枚の帯電金属平板が作る電場を求め、[B]でその結果を利用して平行平板コンデンサーの性質（電場、電位差、電気容量、極板間の力）を考察する構成になっています。
この問題の核心は、ガウスの法則、電場の重ね合わせの原理、そしてコンデンサーの基本公式を段階的に適用していくことです。特に、極板間の引力を計算する際に「電荷は自身が作る電場からは力を受けない」という原理を正しく理解することが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ガウスの法則と平行平板コンデンサー」です。一見複雑に見えますが、基本的な法則を一つずつ積み上げていくことで解くことができます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. ガウスの法則: 電荷の量と、そこから出る電気力線の総数を結びつける法則です。対称性の良い電荷分布の周りの電場を求めるのに非常に強力です。
2. 電場と電気力線の関係: 電場の強さは、単位面積を垂直に貫く電気力線の本数として定義されます。この定義から、電気力線の総数がわかれば電場の強さを計算できます。
3. 電場の重ね合わせの原理: 複数の電荷があるとき、ある点での電場は、それぞれの電荷が単独で作る電場をベクトル的に足し合わせることで得られます。コンデンサー内部の電場は、この原理を用いて求めます。
4. コンデンサーの基本公式: 電位差(\(V=Ed\))、電気容量(\(Q=CV\))、極板間の力(\(F=qE\))といった公式を、それぞれの物理的意味を理解しながら適用することが求められます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、[A]でガウスの法則を使い、孤立した1枚の帯電平板が作る電場の性質を明らかにします。
2. 次に、[B]では[A]の結果を部品として利用し、2枚の平板が作る電場を「重ね合わせの原理」で合成します。
3. 合成した電場\(E_1\)から、公式を用いて電位差\(V\)、電気容量\(C\)を順に導出します。
4. 最後に、極板間の力を求める際には、「相手の極板が作る電場」のみを考えるという重要な原則を適用します。

[A](1)

思考の道筋とポイント
電荷\(Q\)から出る電気力線の総数\(N\)を求めます。これはガウスの法則の基本公式そのものです。クーロンの法則の比例定数を\(k_0\)、真空の誘電率を\(\varepsilon_0\)とすると、\(k_0 = \displaystyle\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\)という関係式を用いて、公式を\(\varepsilon_0\)で表現します。

この設問における重要なポイント

• ガウスの法則の公式 \(N = 4\pi k_0 Q\) を知っていること。
• 比例定数\(k_0\)と誘電率\(\varepsilon_0\)の関係を理解していること。

具体的な解説と立式
クーロンの法則の比例定数を\(k_0\)とすると、ガウスの法則によれば、電荷\(Q\)から出る電気力線の総数\(N\)は次式で与えられます。
$$ N = 4\pi k_0 Q \quad \cdots ① $$
また、\(k_0\)と真空の誘電率\(\varepsilon_0\)の間には次の関係があります。
$$ k_0 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \quad \cdots ② $$

式②を式①に代入して、\(N\)を\(\varepsilon_0\)と\(Q\)で表します。
$$
\begin{aligned}
N &= 4\pi \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \right) Q \\[2.0ex]
&= \frac{Q}{\varepsilon_0}
\end{aligned}
$$

物理学の基本的なルールである「ガウスの法則」によると、電荷\(Q\)が存在すると、その周りには\(Q/\varepsilon_0\)本という決まった数の電気力線が湧き出すことになっています。この公式をそのまま適用するだけで答えが求まります。

電荷\(Q\)から出る電気力線の総数\(N\)は\(\displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0}\)です。これは電磁気学における最も基本的な関係式の一つです。

[A](2)

思考の道筋とポイント
電場の強さ\(E\)は、定義により「単位面積を垂直に貫く電気力線の本数」です。十分に薄い金属平板の場合、(1)で求めた総数\(N\)の電気力線は、平板の表と裏から上下両方向に半分ずつ出ていくと考えられます。この考え方に基づいて、片側の電場の強さを計算します。

この設問における重要なポイント

• 電場の強さの定義を理解していること。
• 孤立した一枚の平板からは、電気力線が上下両面に均等に（\(N/2\)本ずつ）放出されると考えること。

具体的な解説と立式
電場の強さ\(E\)は、単位面積あたりの電気力線の本数で定義されます。総数\(N\)の電気力線は、金属平板の上面と下面から、それぞれ外向きに\(N/2\)本ずつ出ていきます。平板の片面の面積は\(S\)なので、片側の空間における電場の強さ\(E\)は、\(N/2\)本を面積\(S\)で割ることで求められます。
$$ E = \frac{N/2}{S} = \frac{N}{2S} \quad \cdots ③ $$

式③に、(1)で求めた\(N = \displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0}\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
E &= \frac{1}{2S} \left( \frac{Q}{\varepsilon_0} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{Q}{2\varepsilon_0 S}
\end{aligned}
$$

(1)で計算したすべての電気力線(\(N\))が、平板の上面と下面に半分ずつ分かれて出ていくとイメージします。片側に出ていく本数は\(N/2\)本です。この本数を平板の面積\(S\)で割ることで、「1平方メートルあたり何本の電気力線があるか」が計算でき、それが電場の強さ\(E\)になります。

金属平板のまわりの電場の強さは\(E = \displaystyle\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}\)です。これは無限に広い一様な面電荷が作る電場の公式として知られており、平板からの距離によらず一定となる点が重要です。

[B](1)

思考の道筋とポイント
平行平板コンデンサーの内部の電場\(E_1\)は、平板A（電荷\(+Q\)）が作る電場と、平板B（電荷\(-Q\)）が作る電場の「重ね合わせ」によって生じます。それぞれの平板が単独で作る電場の大きさは、[A](2)で求めた\(E\)と同じです。平板の間では、両者が作る電場が同じ向きになるため、単純に足し合わせることで合成電場\(E_1\)が求まります。

この設問における重要なポイント

• 電場の重ね合わせの原理を正しく適用すること。
• 正電荷からは電場が湧き出し、負電荷には電場が吸い込まれるという電場の向きを正確に把握すること。

具体的な解説と立式
平板A（電荷\(+Q\)）が単独で周囲に作る電場の大きさは、[A](2)の結果から\(E = \displaystyle\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}\)です。この電場の向きは、Aから遠ざかる向き（図では下向き）です。
一方、平板B（電荷\(-Q\)）が単独で作る電場の大きさも、電荷の絶対値が同じなので\(E = \displaystyle\frac{|-Q|}{2\varepsilon_0 S} = \frac{Q}{2\varepsilon_0 S}\)です。この電場の向きは、Bに吸い込まれる向き（図では下向き）です。
平板AとBの間では、これら2つの電場がともに下向きで同じ方向を向いているため、重ね合わされた合成電場の強さ\(E_1\)は、2つの電場の大きさの和となります。
$$ E_1 = E + E = 2E \quad \cdots ④ $$

式④に、[A](2)で求めた\(E = \displaystyle\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
E_1 &= 2 \left( \frac{Q}{2\varepsilon_0 S} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{Q}{\varepsilon_0 S}
\end{aligned}
$$

コンデンサーの内部では、プラスの板Aが作る「下向きの電場」と、マイナスの板Bが作る「下向きの電場」が合体します。その結果、電場は強め合い、1枚の板が作る電場の2倍の強さになります。

金属平板間の電場の強さは\(E_1 = \displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\)です。これは平行平板コンデンサーの内部電場の基本公式です。ちなみに、平板の外側では、Aが作る電場とBが作る電場が逆向きになるため、互いに打ち消し合って電場は0になります。

[B](2)

思考の道筋とポイント
平行平板コンデンサーの内部の電場\(E_1\)は一様です。一様な電場中における2点間の電位差は、公式\(V = Ed\)（電位差 = 電場の強さ × 距離）を用いて簡単に計算できます。ここでは、平板Bを基準（電位0）としたときのAの電位を求めます。

この設問における重要なポイント

• 一様な電場における電位差の公式\(V=Ed\)を適用できること。
• (1)で求めた電場の強さ\(E_1\)と、与えられた間隔\(d\)を用いること。

具体的な解説と立式
金属平板Bを電位の基準（0V）とします。平板間の電場\(E_1\)は一様なので、BからAまでの電位差、すなわちAの電位\(V\)は、電場の強さ\(E_1\)と極板間の距離\(d\)の積で与えられます。
$$ V = E_1 d \quad \cdots ⑤ $$

式⑤に、(1)で求めた\(E_1 = \displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
V &= \left( \frac{Q}{\varepsilon_0 S} \right) d \\[2.0ex]
&= \frac{Qd}{\varepsilon_0 S}
\end{aligned}
$$

電場の中を電場に沿って進むと、電位は下がっていきます（電場と逆行すると電位は上がる）。その変化量は「電場の強さ × 距離」で計算できます。Bを基準に、電場と逆向きにAまで距離\(d\)だけ移動するので、Aの電位は\(E_1 d\)だけ高くなります。

Aの電位\(V\)は\(\displaystyle\frac{Qd}{\varepsilon_0 S}\)です。この式は、コンデンサーの電位差が、蓄えられた電荷\(Q\)と間隔\(d\)に比例し、極板の面積\(S\)に反比例することを示しています。

[B](3)

思考の道筋とポイント
コンデンサーの電気容量\(C\)は、その定義式\(Q=CV\)から求めます。(2)で導出した、電荷\(Q\)と電位差\(V\)の関係式を\(Q = (\text{係数}) \times V\)の形に変形し、この係数部分を電気容量\(C\)とみなします。

この設問における重要なポイント

• コンデンサーの電気容量の定義式\(Q=CV\)を理解していること。
• (2)で求めた関係式を式変形して\(C\)を導出すること。

具体的な解説と立式
(2)で求めた電位差の式は \(V = \displaystyle\frac{Qd}{\varepsilon_0 S}\) です。この式を、電荷\(Q\)について解きます。
$$ Q = \left( \frac{\varepsilon_0 S}{d} \right) V \quad \cdots ⑥ $$
この式を、コンデンサーの電気容量の定義式\(Q=CV\)と比較します。

式⑥と\(Q=CV\)の形を見比べると、電気容量\(C\)に相当する部分は\(\displaystyle\frac{\varepsilon_0 S}{d}\)であることが直ちにわかります。
$$ C = \frac{\varepsilon_0 S}{d} $$

電気容量\(C\)とは、コンデンサーの「電荷のためやすさ」を表す性能値です。定義として\(C=Q/V\)という関係があります。(2)で求めた\(Q\)と\(V\)の関係式をこの定義に当てはめることで、このコンデンサーの性能値\(C\)が具体的にどのような式で表されるかを計算します。

コンデンサーの電気容量\(C\)は\(\displaystyle\frac{\varepsilon_0 S}{d}\)です。これは平行平板コンデンサーの電気容量の公式そのものです。この結果は、極板の面積\(S\)が広いほど、また極板間の距離\(d\)が狭いほど、より多くの電荷を蓄えられる（容量が大きい）という物理的な直感と一致します。

[B](4)

思考の道筋とポイント
平板A（電荷\(+Q\)）が受ける引力は、平板B（電荷\(-Q\)）が作る電場から受ける静電気力です。ここで最も重要な原理は「電荷は、自分自身が作る電場からは力を受けない」ということです。したがって、力の計算に用いる電場は、コンデンサー内部の合成電場\(E_1\)ではなく、平板Bだけが単独でAの位置に作る電場\(E\)でなければなりません。

この設問における重要なポイント

• 力の計算に用いる電場は「相手（平板B）だけが作る電場」であることを理解する。
• 平板1枚が作る電場\(E\)は、合成電場\(E_1\)の半分（\(E = E_1/2\)）であること。

具体的な解説と立式
電荷\(q\)が外部の電場\(E_{\text{外部}}\)から受ける力の公式は\(F = qE_{\text{外部}}\)です。
今、平板A（電荷\(Q\)）が受ける力を考えます。この力は、A以外の電荷、すなわち平板Bが作る電場から生じます。平板B（電荷\(-Q\)）がAの位置に作る電場の大きさは、[A](2)で求めた通り\(E = \displaystyle\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}\)です。
したがって、平板Aが受ける引力の大きさ\(F\)は、
$$ F = QE \quad \cdots ⑦ $$
ここで、[B](1)の結果 \(E_1 = \displaystyle\frac{Q}{\varepsilon_0 S}\) との関係を見ると、平板1枚が作る電場\(E\)は、合成電場\(E_1\)のちょうど半分、すなわち\(E = \displaystyle\frac{E_1}{2}\)であることがわかります。問題では\(Q\)と\(E_1\)を用いて表すことが求められているため、この関係を使います。

平板Aが受ける力は、平板Bが作る電場\(E\)から受ける力なので、
$$
\begin{aligned}
F &= QE \\[2.0ex]
\end{aligned}
$$
ここに\(E = \displaystyle\frac{E_1}{2}\)の関係を代入すると、
$$
\begin{aligned}
F &= Q \left( \frac{E_1}{2} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} Q E_1
\end{aligned}
$$

プラスの電荷を持つ平板Aは、マイナスの電荷を持つ平板Bから引力を受けます。この力の大きさは「Aの電荷 × Bが作る電場の強さ」で計算されます。「自分自身が作る電場」は力の計算には含めません。Bが作る電場の強さは、コンデンサー内部全体の電場の強さ\(E_1\)の半分なので、力の大きさは\(F = Q \times (E_1/2)\)となります。

平板Aが受ける引力の大きさ\(F\)は\(\displaystyle\frac{1}{2}QE_1\)です。\(F=QE_1\)と間違えやすいですが、係数\(1/2\)がつくのが正しい結果です。この結果は、コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー\(U = \displaystyle\frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}Q(E_1 d)\)を、極板間隔\(d\)で微分したもの（\(F = \displaystyle\frac{dU}{dd}\)）と一致しており、熱力学的な関係からも妥当性が確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ガウスの法則:
  • 核心: 電荷\(Q\)の周りには、その量に比例した本数 \(N = Q/\varepsilon_0\) の電気力線が湧き出す、という電磁気学の根幹をなす法則です。
  • 理解のポイント: この法則は、特に電荷分布に対称性がある場合（点電荷、無限に長い直線電荷、無限に広い平面電荷など）に、周囲の電場を簡単に計算するための強力なツールとなります。この問題では、無限に広いとみなせる金属平板の電場を求める出発点として機能します。
• 電場の重ね合わせの原理:
  • 核心: 複数の電荷が存在する空間のある点での電場は、それぞれの電荷が単独でその点に作る電場を、ベクトルとして足し合わせることで求められます。
  • 理解のポイント: この問題の[B]では、平板Aが作る電場と平板Bが作る電場をベクトル的に合成することで、コンデンサー内部の電場\(E_1\)を求めています。平板間では向きが同じで強め合い、外側では逆向きで打ち消し合うという現象は、この原理によって明快に説明されます。
• 電荷は自身が作る電場から力を受けない:
  • 核心: 物体が受ける力は、必ず「外部」から作用するものです。電荷の場合、自身が帯びている電荷と、自身が作り出す電場との間に相互作用は生じません。
  • 理解のポイント: [B](4)で極板Aが受ける力を計算する際、Aの位置にある合成電場\(E_1\)をそのまま使って\(F=QE_1\)としてしまうのは典型的な誤りです。\(E_1\)は「Aが作る電場」と「Bが作る電場」の和です。Aが受ける力は、あくまで「Bが作る電場」からのみ作用するため、\(E_1\)の半分である\(E_1/2\)を用いなければなりません。この区別が本問最大の難所であり、最も重要なポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 同心球殻コンデンサー: 内側の球殻と外側の球殻に電荷を与えたもの。ガウスの法則を使って各領域の電場を求め、電位差、電気容量を計算する流れは本問と全く同じです。
  • 同軸円筒コンデンサー: 中心の導体棒と外側の円筒導体に電荷を与えたもの。これも同様にガウスの法則から電場を求め、積分によって電位差を計算します。
  • 誘電体を挿入したコンデンサー: 極板間に誘電体を入れると、電場が弱められます（\(E \rightarrow E/\varepsilon_r\)）。この変化を考慮すれば、本問の考え方をそのまま応用して電気容量の変化などを計算できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電荷分布の対称性の確認: まず、問題の電荷分布が点、線、面のいずれの対称性を持つかを見極めます。対称性が高ければ、ガウスの法則が有効な候補となります。
  2. 電場の源を特定する: 複数の電荷がある場合、どの電荷がどの空間にどのような電場を作っているかを個別に考えます。図を描いて、各電荷が作る電場のベクトルを矢印で書き込むと理解が深まります。
  3. 求める量に応じた法則の選択:
     • 「電場」を求めたい \(\rightarrow\) ガウスの法則、クーロンの法則
     • 「電位差」を求めたい \(\rightarrow\) 電場が分かっていれば \(V=Ed\) や積分 \(V = \int E dr\)
     • 「電気容量」を求めたい \(\rightarrow\) \(Q=CV\) の定義に立ち返り、\(Q\)と\(V\)の関係式を導出する。
     • 「力」や「エネルギー」を求めたい \(\rightarrow\) \(F=qE\), \(U=qV\)。特に力を求める際は「相手が作る電場」を使う原則を思い出す。
  4. 「無限に広い」という近似: 問題文に「十分に薄い」「十分に広い」といった記述があれば、それは端の部分の影響（端効果）を無視し、理想的な一様な電場として扱ってよいというサインです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 極板間の力の計算ミス:
  • 誤解: 極板Aが受ける力を、極板間の合成電場\(E_1\)を使って\(F=QE_1\)と計算してしまう。
  • 対策: 「力は常に外部から受ける」という物理の基本原則に立ち返りましょう。「平板Aの電荷\(Q\)が、どの電場から力を受けるのか？」と自問します。答えは「平板Bが作る電場」です。合成電場\(E_1\)は「Aが作る電場 + Bが作る電場」なので、このうち「Aが作る電場」は力の計算から除外しなければならない、と論理的に考えます。
• ガウスの法則の適用範囲の誤解:
  • 誤解: どんな形の電荷分布にでもガウスの法則で簡単に電場が求まると思ってしまう。
  • 対策: ガウスの法則 \(N=Q/\varepsilon_0\) は常に成り立ちますが、そこから電場\(E\)を簡単に計算できるのは、ガウス面に垂直な電場が面上で一定であるなど、高い対称性がある場合に限られます。対称性がない場合は、クーロンの法則を積分するなど、より複雑な計算が必要になります。
• 電場と電位の関係の混同:
  • 誤解: 電場が0なら電位も0、電位が一定なら電場も一定、などと混同する。
  • 対策: \(E = -\displaystyle\frac{dV}{dx}\)（電場は電位の空間的な傾き）という関係を常に意識しましょう。電位が一定（傾き0）の場所では電場は0ですが、電場が0の場所でも電位が0とは限りません（例：コンデンサー外部）。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電気力線の図示: [B](1)の状況を理解するために、平板Aから湧き出す電気力線（下向き）と、平板Bに吸い込まれる電気力線（これも下向き）を、それぞれ別の色で描いてみましょう。平板間では2色が重なって線が密になり（電場が強い）、平板の外側では2色が逆向きになって打ち消し合う（電場が0）様子が視覚的に理解できます。
  • 力の作用点の明確化: [B](4)では、平板A全体に分布する電荷\(+Q\)が、平板Bの作る一様な電場\(E\)から力を受けている図を描きます。このとき、力の原因となる電場\(E\)はBだけが作っていることを強調してメモしておくと、\(E_1\)ではなく\(E\)を使う理由が明確になります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • ベクトルの向きと大きさ: 電場はベクトル量なので、向きを矢印で、大きさを矢印の長さや密度で表現することが重要です。
  • 重ね合わせの原理の図解: 複数の電場を合成する場合は、合成前の各電場ベクトルと、それらをベクトル的に足し合わせた後の合成ベクトルを、区別して描くと混乱を防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ガウスの法則 \(N=Q/\varepsilon_0\):
  • 選定理由: 問題が「電気力線の総数」を直接問うているため。また、対称性の高い「無限に広い平板」の電場を求める最も基本的な出発点だからです。
  • 適用根拠: 真空中に電荷が存在するという物理的状況。
• 電場の定義 \(E = (\text{本数})/(\text{面積})\):
  • 選定理由: ガウスの法則で求めた電気力線の総数\(N\)と、求めたい「電場の強さ\(E\)」とを結びつけるため。
  • 適用根拠: 電場の強さが、電気力線の密度で定義されるという物理的な定義そのもの。
• 電位差の公式 \(V=Ed\):
  • 選定理由: 「電位」を求めるため。特に、電場が「一様」であると分かっている場合に、最も簡単に電位差を計算できる公式だからです。
  • 適用根拠: 平行平板コンデンサー内部では、端効果を無視すれば電場は一様であるという物理的状況。
• 静電気力の公式 \(F=qE\):
  • 選定理由: 問題が「引力の大きさ」という力を問うているため。
  • 適用根拠: 電荷が電場の中に置かれているという物理的状況。このとき、\(E\)には「外部の電場」のみを用いるという原理原則を厳密に適用する必要があります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. [A](1) 電気力線の総数:
   • 戦略: ガウスの法則の公式を適用。
   • フロー: \(N = 4\pi k_0 Q\) と \(k_0 = 1/(4\pi\varepsilon_0)\) \(\rightarrow\) \(N = Q/\varepsilon_0\)。
2. [A](2) 1枚の平板が作る電場:
   • 戦略: 電気力線が上下に半分ずつ出ると考え、電場の定義を適用。
   • フロー: 片側に出る本数は \(N/2\) \(\rightarrow\) \(E = (N/2)/S\) \(\rightarrow\) (1)の結果を代入し\(E\)を求める。
3. [B](1) コンデンサー内部の電場:
   • 戦略: 電場の重ね合わせの原理を適用。
   • フロー: Aが作る電場\(E\)とBが作る電場\(E\)が同じ向き \(\rightarrow\) \(E_1 = E + E = 2E\) \(\rightarrow\) [A](2)の結果を代入し\(E_1\)を求める。
4. [B](2) 電位差:
   • 戦略: 一様な電場における電位差の公式を適用。
   • フロー: \(V = E_1 d\) \(\rightarrow\) (1)の結果を代入し\(V\)を求める。
5. [B](3) 電気容量:
   • 戦略: \(Q=CV\)の定義式と比較。
   • フロー: (2)で得た\(V\)と\(Q\)の関係式を \(Q = (\dots)V\) の形に変形 \(\rightarrow\) \((\dots)\) の部分が\(C\)になる。
6. [B](4) 極板間の引力:
   • 戦略: 「相手が作る電場」から受ける力を計算。
   • フロー: Aが受ける力はBが作る電場\(E\)から \(\rightarrow\) \(F = QE\) \(\rightarrow\) \(E\)は合成電場\(E_1\)の半分なので \(E=E_1/2\) \(\rightarrow\) \(F = Q(E_1/2)\)。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 係数1/2の意識: この問題セットで最も注意すべきは係数です。特に、1枚の平板が作る電場(\(E\))と2枚の平板が作る合成電場(\(E_1\))の関係 \(E_1 = 2E\) は頻出します。力の計算で\(F = \frac{1}{2}QE_1\)となぜ\(1/2\)がつくのか、その物理的理由を常に意識することで、単純な暗記ミスを防げます。
• 文字の区別: \(E\)と\(E_1\)など、似ているが物理的意味が異なる記号を明確に区別してノートに書きましょう。自分で問題設定を整理する際に、記号の定義を最初に書き出しておくのが有効です。
• 単位による検算: 例えば、電気容量\(C\)の単位は[F]（ファラド）ですが、\(\varepsilon_0 S / d\)の単位を組み立ててみると、\([F/m] \cdot [m^2] / [m] = [F]\)となり、次元的に正しいことが確認できます。計算結果の次元が合っているかを確認する習慣は、根本的な間違いを発見するのに役立ちます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • [B](3) 電気容量 \(C = \varepsilon_0 S / d\): この式は、極板面積\(S\)を大きくしたり、極板間隔\(d\)を小さくしたりすると、容量\(C\)が大きくなることを示しています。これは「より広く、より近く」すると電荷をためやすくなるという直感的なイメージと一致しており、妥当です。
  • [B](4) 引力 \(F = \frac{1}{2}QE_1\): この力を、コンデンサーの静電エネルギー \(U = \frac{1}{2}QV = \frac{1}{2}Q(E_1 d)\) と関連付けてみましょう。もし極板を微小距離 \(\Delta d\) だけ引き離すのに必要な外力の仕事を考えると、\(W = F \Delta d\) です。これは静電エネルギーの増加分 \(\Delta U = \frac{1}{2}QE_1 \Delta d\) に等しいはずです。よって \(F \Delta d = \frac{1}{2}QE_1 \Delta d\) となり、\(F = \frac{1}{2}QE_1\) という結果がエネルギーの観点からも支持されることがわかります。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし平板Bを取り去ったら（\(Q_B=0\)）、平板Aが作る電場は[A](2)の\(E\)に戻ります。このとき、重ね合わせの原理を考えれば、\(E_1 = E + 0 = E\)となり、辻褄が合います。
  • もし電荷\(Q\)を0にしたら、すべての電場、電位差、力、容量（に蓄えられた電荷）は0になるはずです。導出した全ての式（\(E_1, V, F\)）は\(Q\)に比例しているので、この条件を満たしており、妥当性が確認できます。

問題102 (静岡大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、一様な電場と重力が共存する空間での荷電粒子の運動を扱っています。前半(1)～(3)は、静電気力がする仕事について、保存力としての性質を問うています。後半(4)は、具体的な運動の様子（時間、距離、エネルギー）を力学的に解析する問題です。
この問題の核心は、静電気力や重力といった「保存力」の性質を深く理解し、運動方程式やエネルギー保存則といった基本法則を的確に使い分ける能力を試すことにあります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「電場・重力場中の荷電粒子の運動とエネルギー」です。複数の力が働く状況を、適切に分解・統合して考えることが求められます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 電位と電場の関係: 一様な電場中では、電位は電場に沿って線形に減少します (\(V=Ed\))。電場に垂直な方向への移動では電位は変化しません。
2. 保存力の仕事: 静電気力や重力は「保存力」であり、これらの力がする仕事は移動経路によらず、始点と終点の位置（ポテンシャルエネルギーの差）だけで決まります。\(W = -\Delta U\)。
3. 運動の分解: 互いに直交する方向に働く力（この問題ではx方向の静電気力とz方向の重力）がある場合、各方向の運動を独立した等加速度直線運動として扱うことができます。
4. 仕事とエネルギーの定理（エネルギー保存則）: 物体の運動エネルギーの変化は、その物体にされた仕事の総和に等しい (\(\Delta K = W_{\text{合計}}\))。これは、運動の途中経過を問わず、始点と終点の状態を結びつける強力なツールです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. 問(1)～(3)では、静電気力が保存力であることを利用し、仕事を経路に依存しない「電位差」から計算します。
2. 問(4)では、粒子の運動をx方向とz方向に分解します。
3. (a)ではz方向の運動（自由落下）に、(b)ではx方向の運動に、それぞれ等加速度運動の公式を適用します。
4. (c)では、(a)(b)の結果から速度を計算する方法と、よりエレガントなエネルギー保存則を用いる方法の2通りで考えます。

問(1)

思考の道筋とポイント
原点Oを基準(0V)として、点Pと点Qの電位を求めます。一様な電場\(E\)がx軸の正の向きにかかっているため、電位はx軸の正の方向へ進むにつれて低くなります。電場に垂直なy軸方向には電位は変化しません。

この設問における重要なポイント

• 電場の向きは、電位が減少する向きである。
• 一様な電場中での電位差の公式 \(V=Ed\) を使う。
• 電場に垂直な線上では、どの点も電位が等しい（等電位線）。

具体的な解説と立式

• 点Pの電位 \(V_P\)
  電場\(E\)はx軸の正の向きを向いているので、電位はx座標が大きくなるほど低くなります。点Pは原点Oからx軸の正の向きに距離\(d\)だけ離れているため、その電位\(V_P\)はOよりも\(Ed\)だけ低くなります。
  $$ V_P = -Ed $$
• 点Qの電位 \(V_Q\)
  点Qはy軸上にあり、原点Oからの移動方向は電場の向き（x軸方向）と垂直です。電場に垂直な方向への移動では電位は変化しないため、点Qの電位は原点Oと同じです。
  $$ V_Q = 0 $$

立式そのものが結論となります。

電場を坂道に例えると、x軸は坂を下る方向、y軸やz軸は等高線にあたります。P点は坂を\(d\)だけ下った場所なので、高さ（電位）はマイナスになります。Q点は同じ高さ（等高線上）を移動しただけなので、高さ（電位）は変わりません。

点Pの電位は \(-Ed\)、点Qの電位は \(0V\) です。電場の向きと電位の高低の関係を正しく理解していれば、直感的に導ける結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
静電気力がした仕事\(W\)を求めます。静電気力は保存力なので、その仕事は移動経路（OからRまで直線）によらず、始点Oと終点Rの電位差だけで決まります。公式 \(W = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) を用いるのが最も簡単です。

この設問における重要なポイント

• 静電気力は保存力であり、仕事は経路によらない。
• 仕事は \(W = -\Delta U = -(U_{\text{終}} – U_{\text{始}}) = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) で計算できる。
• 点Rの電位を正しく求める必要がある。

具体的な解説と立式
まず、終点Rの電位\(V_R\)を求めます。点Rのx座標は \(d\cos\theta\) です。電位はx座標にのみ依存するため、点Rの電位はx座標が \(d\cos\theta\) である点の電位と同じです。
$$ V_R = -E \times (d\cos\theta) = -Ed\cos\theta $$
静電気力がした仕事\(W\)は、始点Oの電位\(V_O=0\)と終点Rの電位\(V_R\)を用いて、次のように計算できます。
$$ W = q(V_O – V_R) $$

$$
\begin{aligned}
W &= q(V_O – V_R) \\[2.0ex]
&= q(0 – (-Ed\cos\theta)) \\[2.0ex]
&= qEd\cos\theta
\end{aligned}
$$

静電気力の仕事は、結局「どれだけ電位が下がったか」で決まります。点Rは原点Oより電位が \(Ed\cos\theta\) だけ低いので、正電荷qがそこへ移動すると、静電気力は \(q \times (Ed\cos\theta)\) の仕事をします。

静電気力がした仕事は \(qEd\cos\theta\) です。\(\theta=0\)のとき（P点への移動）仕事は最大 \(qEd\) となり、\(\theta=\pi/2\)のとき（Q点への移動）仕事は0となります。これは物理的に妥当な結果です。

別解: 仕事の定義から計算
思考の道筋とポイント
仕事の定義式 \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\) を直接適用して計算します。静電気力ベクトルと変位ベクトルを正しく設定し、その内積（\(Fs\cos\theta\)）を計算します。

この設問における重要なポイント

• 仕事の定義（内積）を理解していること。
• 力ベクトルと変位ベクトルを正しく設定できること。

具体的な解説と立式
仕事の定義 \(W = \vec{F} \cdot \vec{s}\) を用います。

• 静電気力 \(\vec{F}\) は、大きさ\(qE\)でx軸正の向きです。
• 変位 \(\vec{s} = \vec{OR}\) は、大きさ\(d\)でx軸と角\(\theta\)をなす向きです。

よって、仕事\(W\)は2つのベクトルの内積で与えられます。
$$ W = |\vec{F}| |\vec{s}| \cos\theta $$

$$
\begin{aligned}
W &= (qE)(d)\cos\theta \\[2.0ex]
&= qEd\cos\theta
\end{aligned}
$$

仕事とは「力の向きにどれだけ進んだか」を掛け合わせたものです。静電気力は横向き（x軸方向）にしか働かないので、横方向にどれだけ移動したかだけが仕事の量に関係します。OからRへの移動では、横方向の移動距離は \(d\cos\theta\) です。したがって、仕事は「力\(qE\) × 横方向の距離\(d\cos\theta\)」となります。

仕事は \(qEd\cos\theta\) となり、メインの解法（電位差）で得られた結果と一致します。どちらの方法でも解けることを確認しておきましょう。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Rから点Pまで円周にそって移動したときの静電気力の仕事を求めます。問(2)と同様に、静電気力は保存力なので、仕事は円周という複雑な経路にはよらず、始点Rと終点Pの電位差だけで決まります。

この設問における重要なポイント

• ここでも「仕事は経路によらない」という保存力の性質を使う。
• 始点Rと終点Pの電位を正しく使う。

具体的な解説と立式
始点はR、終点はPです。それぞれの電位は、

• 始点の電位: \(V_R = -Ed\cos\theta\) （問(2)で計算済み）
• 終点の電位: \(V_P = -Ed\) （問(1)で計算済み）

静電気力がした仕事\(W\)は、これらの電位差から計算します。
$$ W = q(V_R – V_P) $$

$$
\begin{aligned}
W &= q(V_R – V_P) \\[2.0ex]
&= q((-Ed\cos\theta) – (-Ed)) \\[2.0ex]
&= q(-Ed\cos\theta + Ed) \\[2.0ex]
&= qEd(1-\cos\theta)
\end{aligned}
$$

RからPへ移動する際も、静電気力は横向きにしか働かないので、横方向にどれだけ進んだかが重要です。Rのx座標は\(d\cos\theta\)、Pのx座標は\(d\)なので、横方向の移動距離は \(d – d\cos\theta\) です。したがって、仕事は「力\(qE\) × 横方向の距離\(d(1-\cos\theta)\)」となります。

静電気力がした仕事は \(qEd(1-\cos\theta)\) です。この結果は、OからPまでの全仕事 \(qEd\) から、OからRまでの仕事 \(qEd\cos\theta\) を引いたものと一致しており、仕事の加法性とも整合性がとれています。

問(4a)

思考の道筋とポイント
粒子は、x方向に静電気力、z方向に重力を受けて運動します。この2つの力は互いに直交し、かつ一定なので、x方向とz方向の運動はそれぞれ独立した等加速度直線運動として扱えます。AからBに達するまでの時間は、z方向の運動だけを考えれば求まります。

この設問における重要なポイント

• 運動をx方向とz方向に分解して考える。
• z方向の運動は、初速度0の自由落下と同じである。

具体的な解説と立式
z方向の運動に着目します。

• 初速度: \(v_{0z} = 0\) （静かにはなす）
• 加速度: \(a_z = -g\) （鉛直下向き）
• 変位: \(\Delta z = -h\) （高さhからx軸(z=0)まで落下）

等加速度直線運動の変位の公式 \(\Delta z = v_{0z}t + \displaystyle\frac{1}{2}a_z t^2\) を用います。
$$ -h = 0 \cdot t + \frac{1}{2}(-g)t^2 $$

上記の方程式を時間\(t\)について解きます。
$$ -h = -\frac{1}{2}gt^2 $$
$$ t^2 = \frac{2h}{g} $$
\(t>0\)なので、
$$ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} $$

物体が高さhから落ちるのにかかる時間は、横方向にどんな運動をしていようとも、単に真下に自由落下する場合と全く同じです。自由落下の公式から時間を計算します。

AからBに達するまでの時間は \(\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\) です。これは自由落下の公式そのものであり、物理的に妥当です。

問(4b)

思考の道筋とポイント
OB間の距離は、x方向の移動距離です。(a)で求めた落下時間 \(t\) の間に、粒子がx方向にどれだけ進むかを計算します。x方向も初速度0の等加速度直線運動です。

この設問における重要なポイント

• x方向の運動方程式を立て、加速度を求める。
• (a)で求めた時間を使って、x方向の変位を計算する。

具体的な解説と立式
x方向の運動に着目します。

• 初速度: \(v_{0x} = 0\)
• 働く力: \(F_x = qE\)
• 運動方程式: \(ma_x = qE\)、よって加速度は \(a_x = \displaystyle\frac{qE}{m}\)。

落下時間 \(t = \sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\) の間のx方向の変位 \(x_B\) を、等加速度直線運動の公式で求めます。
$$ x_B = v_{0x}t + \frac{1}{2}a_x t^2 $$

$$
\begin{aligned}
x_B &= 0 \cdot t + \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) t^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \frac{qE}{m} \left( \sqrt{\frac{2h}{g}} \right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \frac{qE}{m} \frac{2h}{g} \\[2.0ex]
&= \frac{qEh}{mg}
\end{aligned}
$$
別解: 力の方向と運動の方向の一致を利用
思考の道筋とポイント
粒子は静止状態から一定の合力を受けて運動するため、その軌跡は合力の向きと一致する直線となります。この幾何学的な関係を利用して距離を求めます。

この設問における重要なポイント

• 初速ゼロの物体が一定力を受ける場合、運動方向が力の方向と一致すること。
• 力のベクトルと変位ベクトルの方向が相似の関係にあること。

具体的な解説と立式
粒子に働く合力の向きと、変位の向きは等しくなります。

• 合力のx成分: \(F_x = qE\)
• 合力のz成分: \(F_z = mg\) （大きさ）

合力の向きがz軸の負の向きとなす角を\(\alpha\)とすると、その正接は力の成分の比で表せます。
$$ \tan\alpha = \frac{F_x}{F_z} = \frac{qE}{mg} $$
一方、運動の軌跡も同じ角\(\alpha\)をなすので、変位の成分の比も同じ値になります。
$$ \tan\alpha = \frac{\text{横の移動距離}}{\text{縦の移動距離}} = \frac{x_B}{h} $$
これら2つの式を等しいとおきます。
$$ \frac{x_B}{h} = \frac{qE}{mg} $$

$$
\begin{aligned}
x_B &= h \cdot \tan\alpha \\[2.0ex]
&= h \cdot \frac{qE}{mg} \\[2.0ex]
&= \frac{qEh}{mg}
\end{aligned}
$$

粒子が進む道の傾きは、粒子に働く力の合力の傾きと同じになります。力の傾き（横向きの力÷縦向きの力）と、移動距離の傾き（横に進んだ距離÷縦に進んだ距離）が等しいという式を立てることで、簡単に距離が求まります。

OB間の距離は \(\displaystyle\frac{qEh}{mg}\) です。電場\(E\)が強いほど、また落下高さ\(h\)が大きい（=落下時間が長い）ほど、横に流される距離が大きくなるという直感に合う結果です。メインの解法の結果とも一致します。

問(4c)

思考の道筋とポイント
点Bを通過したときの運動エネルギーを求めます。(a)で求めた時間\(t\)を使って点Bでの速度のx成分とz成分を求め、\(K = \displaystyle\frac{1}{2}m(v_x^2 + v_z^2)\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 速度もベクトルであり、x成分とz成分に分解できること。
• 合成速度の2乗は三平方の定理 \(v^2 = v_x^2 + v_z^2\) で計算できること。

具体的な解説と立式
点Bでの速度成分 \(v_x, v_z\) を、等加速度運動の速度の公式 \(v=v_0+at\) を用いて求めます。

• \(v_x = v_{0x} + a_x t = 0 + \left(\displaystyle\frac{qE}{m}\right) \sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\)
• \(v_z = v_{0z} + a_z t = 0 + (-g) \sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}} = -\sqrt{2gh}\)

運動エネルギー \(K_B\) は、これらの成分を用いて計算します。
$$ K_B = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_z^2) $$

$$
\begin{aligned}
K_B &= \frac{1}{2}m \left( \left(\frac{qE}{m} \sqrt{\frac{2h}{g}}\right)^2 + (-\sqrt{2gh})^2 \right) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}m \left( \frac{q^2E^2}{m^2} \frac{2h}{g} + 2gh \right) \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}m \left( \frac{2q^2E^2h}{m^2g} + 2gh \right) \\[2.0ex]
&= \frac{q^2E^2h}{mg} + mgh \\[2.0ex]
&= mgh \left( \frac{q^2E^2}{m^2g^2} + 1 \right) \\[2.0ex]
&= mgh \left( 1 + \left(\frac{qE}{mg}\right)^2 \right)
\end{aligned}
$$
別解: 仕事とエネルギーの定理を用いる
思考の道筋とポイント
始点Aと終点Bの間で、物体の運動エネルギーの変化は、重力と静電気力がした仕事の合計に等しい（仕事とエネルギーの定理）ことを利用します。この方法では、途中の速度を計算する必要がなく、より直接的にエネルギーを求められます。

この設問における重要なポイント

• 仕事とエネルギーの定理を正しく適用できること。
• 重力と静電気力がした仕事をそれぞれ正しく計算できること。

具体的な解説と立式
AからBまでの運動エネルギーの変化は、重力と静電気力がした仕事の和に等しい。
$$ K_B – K_A = W_{\text{重力}} + W_{\text{静電気力}} $$

• 初めの運動エネルギー: \(K_A = 0\) （静かにはなす）
• 重力がした仕事: \(W_{\text{重力}} = mgh\) （高さhだけ落下）
• 静電気力がした仕事: \(W_{\text{静電気力}} = F_x \cdot x_B = qE \cdot x_B\)。ここで(4b)の結果 \(x_B = \displaystyle\frac{qEh}{mg}\) を使います。

よって、運動エネルギー\(K_B\)は次式で求められます。
$$ K_B = mgh + qE \cdot x_B $$

$$
\begin{aligned}
K_B &= mgh + qE \left( \frac{qEh}{mg} \right) \\[2.0ex]
&= mgh + \frac{q^2E^2h}{mg} \\[2.0ex]
&= mgh \left( 1 + \frac{q^2E^2}{m^2g^2} \right) \\[2.0ex]
&= mgh \left( 1 + \left(\frac{qE}{mg}\right)^2 \right)
\end{aligned}
$$

粒子がAからBへ移動するとき、2つの「得」をします。一つは、高さhを落ちることによる「位置エネルギーの得（\(mgh\)）」。もう一つは、電場に沿って横に流されることによる「静電気力のエネルギーの得（\(qEx_B\)）」。これらの得したエネルギーの合計が、最終的な運動エネルギーになります。

点Bでの運動エネルギーは \(mgh \left( 1 + \left(\displaystyle\frac{qE}{mg}\right)^2 \right)\) です。もし電場がなければ(\(E=0\))、\(K_B=mgh\)となり、自由落下のエネルギー保存則と一致します。メインの解法の結果とも一致し、妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 保存力の仕事とポテンシャルエネルギー:
  • 核心: 静電気力と重力はどちらも「保存力」です。保存力がする仕事は、移動の具体的な経路には一切よらず、始点と終点の位置だけで決まります。この性質は、ポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）という概念 \(U\) で表され、仕事は \(W = -\Delta U = U_{\text{始}} – U_{\text{終}}\) と計算できます。
  • 理解のポイント: (2)や(3)で、移動経路が直線であろうと円周であろうと、仕事の計算方法が全く同じになるのはこのためです。電位は静電気力による位置エネルギーを電荷あたりで表した量 (\(V=U/q\)) であり、\(W_{\text{静電気力}} = q(V_{\text{始}} – V_{\text{終}})\) という関係は、この法則の電場バージョンと言えます。
• 運動の独立性（重ね合わせの原理）:
  • 核心: 互いに直交する方向に働く複数の力がある場合、各方向の運動は互いに影響を与えず、独立したものとして扱うことができます。
  • 理解のポイント: (4)では、粒子はx方向に静電気力、z方向に重力を受けます。この2つの力は直交しているため、x方向の運動（初速0、加速度\(qE/m\)の等加速度運動）と、z方向の運動（初速0、加速度\(-g\)の等加速度運動、つまり自由落下）を完全に別々の問題として解くことができます。落下にかかる時間はz方向だけで決まり、その間に横に流される距離はx方向だけで決まります。
• 仕事とエネルギーの定理:
  • 核心: 物体の運動エネルギーの変化量 (\(\Delta K\)) は、その物体にはたらく全ての力（保存力・非保存力を問わず）がした仕事の総和 (\(W_{\text{合計}}\)) に等しい。
  • 理解のポイント: (4c)で運動エネルギーを求める際に、この定理は絶大な威力を発揮します。速度の成分を個別に計算して合成するよりも、始点Aと終点Bの間で「重力がした仕事」と「静電気力がした仕事」を足し合わせるだけで、最終的な運動エネルギーが直接求まります。複雑な運動の「結果」だけを知りたい場合に非常に有効なアプローチです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射と一様な横風: 地上からボールを斜めに投げ上げ、同時に一定の横風が吹いている状況。重力（鉛直方向）と風の力（水平方向）が直交するため、本問(4)と全く同じ考え方で運動を分解して解析できます。
  • 磁場中の荷電粒子の運動（ローレンツ力）: 電場と磁場が共存する空間では、荷電粒子は電場から力\(q\vec{E}\)を、磁場から力\(q(\vec{v} \times \vec{B})\)を受けます。力の向きが複雑に変化するため、運動の分解やエネルギー保存則の適用がより重要になります。
  • ポテンシャル（等高線）が描かれた問題: 地図の等高線のように、電位や重力ポテンシャルの等高線（等ポテンシャル線）が与えられた問題。ある点から別の点へ移動する際の仕事は、等高線を何本横切ったか（ポテンシャルエネルギーの変化）だけで決まる、という本問(1)～(3)の考え方が直接応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の分析: まず、物体に働く力を全てリストアップします。それぞれの力は「保存力」か「非保存力」か？「一定の力」か「変化する力」か？を分類します。
  2. 座標軸の適切な設定: 力が働く向きに合わせて座標軸を設定すると、運動の分解が容易になります。この問題では、力がx軸とz軸に沿って働くため、デカルト座標系が有効です。
  3. 解法の選択:
     • 運動の途中経過（時間、位置、速度）を知りたい場合 \(\rightarrow\) 運動方程式を立てて解く（運動の分解が有効）。
     • 始点と終点の状態（速さ、エネルギー）だけを知りたい場合 \(\rightarrow\) エネルギー保存則や仕事とエネルギーの定理を使う。
  4. 「仕事」を問われたら: まず「何の力がした仕事か？」を確認します。それが保存力であれば、経路によらずポテンシャルエネルギーの差から計算できることを思い出しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の計算における符号のミス:
  • 誤解: 仕事の公式 \(W=q(V_{\text{始}}-V_{\text{終}})\) と \(W=q(V_{\text{終}}-V_{\text{始}})\) を混同する。
  • 対策: 物理的なイメージで確認しましょう。正電荷は電位が「下がる」向き（電場の向き）に力を受けるので、電位が下がると静電気力は「正」の仕事をします。\(V_{\text{始}} > V_{\text{終}}\) のとき \(W>0\) となるのは \(W=q(V_{\text{始}}-V_{\text{終}})\) です。また、仕事と位置エネルギーの関係 \(W = -\Delta U\) から、\(W = -(U_{\text{終}}-U_{\text{始}}) = U_{\text{始}}-U_{\text{終}}\) と覚えておくと、様々な保存力で応用が効きます。
• 運動の分解の誤用:
  • 誤解: 力が斜めを向いている場合に、運動をうまく分解できない。
  • 対策: 力が座標軸と斜めを向いている場合でも、力を座標軸に沿って成分分解すれば、各軸方向の運動は独立に扱えます。本問(4)の別解のように、運動の軌跡そのものが合力の向きと一致する（初速が0の場合）という性質を知っておくと、見通しが良くなることもあります。
• エネルギー保存則の適用条件の誤解:
  • 誤解: どんな状況でも力学的エネルギー保存則（運動エネルギー＋位置エネルギー＝一定）が成り立つと思ってしまう。
  • 対策: 力学的エネルギーが保存されるのは、「保存力以外の力が仕事をしない」場合に限られます。この問題では、重力と静電気力（どちらも保存力）しか働かないため、(運動エネルギー)＋(重力の位置エネルギー)＋(静電気力の位置エネルギー)＝一定、という形のエネルギー保存則が成り立ちます。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 電位の等高線図: 図1の空間に、y-z平面に平行な「等電位面」を想像してみましょう。x軸に沿って進むことは、この等高線を垂直に横切って坂を下ることに相当します。点Qやy軸上の点は同じ等高線上にあり、点Rは点Pと点Qの間の高さの等高線上にある、とイメージすると電位の関係が直感的に理解できます。
  • 力のベクトル図と運動の軌跡: 図2の状況で、点Aにある粒子に働く静電気力（右向きベクトル）と重力（下向きベクトル）を描き、その合力ベクトル（右斜め下向き）を描きます。粒子は静止状態からこの合力ベクトルの向きにまっすぐ進んでいく、という軌跡をイメージすることが重要です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の分解と合成: 複数の力がある場合は、それらをベクトルとして図示し、必要に応じて成分分解したり、合成したりするプロセスを図に書き込むと、思考が整理されます。
  • 幾何学的関係の利用: (2)で点Rのx座標を求める際に \(d\cos\theta\) を使うなど、図形的な関係から物理量を導出する場面は多いです。角度や辺の長さを図に正確に書き込みましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 電位差の公式 \(V=-Ex\):
  • 選定理由: (1)で「電位」を求めるため。電場がx軸方向に一様であるという最も単純な状況なので、この公式が直接使えます。
  • 適用根拠: 一様な電場\(E\)と、それに沿った距離\(x\)の関係。
• 保存力の仕事 \(W = q(V_{\text{始}}-V_{\text{終}})\):
  • 選定理由: (2), (3)で「静電気力の仕事」を求めるため。経路が与えられていますが、保存力の性質を使えば、より簡単な電位差の計算に置き換えられるからです。
  • 適用根拠: 静電気力が保存力であるという物理的性質。
• 運動の分解 ＋ 等加速度運動の公式:
  • 選定理由: (4a), (4b)で運動の途中経過である「時間」と「距離」を求めるため。エネルギー保存則ではこれらの量は直接求まらないため、運動を力学的に追跡する必要があります。
  • 適用根拠: 働く力が互いに直交し、かつ一定であるため、各方向の運動が独立した等加速度運動になるという物理的状況。
• 仕事とエネルギーの定理:
  • 選定理由: (4c)で最終的な「運動エネルギー」を求めるため。運動の途中経過を全て計算するよりも、始点と終点のエネルギー変化だけに着目する方が計算が圧倒的に楽だからです。
  • 適用根拠: エネルギー原理は、ニュートンの運動法則と等価であり、常に成り立つ普遍的な法則です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 電位:
   • 戦略: 電場の向きと電位の関係、等電位線の概念を用いる。
   • フロー: P点: x方向に\(d\)移動 \(\rightarrow\) \(V_P = -Ed\)。Q点: 電場と垂直に移動 \(\rightarrow\) \(V_Q = V_O = 0\)。
2. (2) 仕事 (O\(\rightarrow\)R):
   • 戦略: 保存力の仕事は電位差で計算。
   • フロー: Rの電位 \(V_R = -E(d\cos\theta)\) を求める \(\rightarrow\) \(W = q(V_O – V_R)\) を計算。
3. (3) 仕事 (R\(\rightarrow\)P):
   • 戦略: (2)と同様に電位差で計算。
   • フロー: \(W = q(V_R – V_P)\) に既知の電位を代入して計算。
4. (4a) 時間:
   • 戦略: z方向の運動（自由落下）に着目。
   • フロー: \(-h = \frac{1}{2}(-g)t^2\) を \(t\) について解く。
5. (4b) 距離:
   • 戦略: x方向の運動（等加速度運動）に着目。
   • フロー: x方向の加速度 \(a_x = qE/m\) を求める \(\rightarrow\) \(x_B = \frac{1}{2}a_x t^2\) に(4a)の\(t\)を代入。
6. (4c) 運動エネルギー:
   • 戦略: 仕事とエネルギーの定理を用いるのが最も効率的。
   • フロー: \(K_B = W_{\text{重力}} + W_{\text{静電気力}}\) \(\rightarrow\) \(K_B = mgh + qE \cdot x_B\) に(4b)の\(x_B\)を代入。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の適用: (2)や(3)でx座標を求める際に、\(\cos\theta\) を正しく使えるかどうかが鍵です。単位円や直角三角形を書いて、どの辺が\(\cos\)に対応し、どの辺が\(\sin\)に対応するのかを視覚的に確認する癖をつけましょう。
• 成分の2乗和: (4c)を運動学的に解く場合、\(K = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_z^2)\) の計算が必要です。各成分を2乗して足し合わせる際に、根号が外れたり、文字式が複雑になったりするので、展開や整理を丁寧に行いましょう。
• 別解による検算: この問題のように、同じ量を複数の方法で求められる場合、一方で得た答えをもう一方の方法でも確認する（セルフチェック）ことで、計算ミスを劇的に減らすことができます。(4b)や(4c)は、その良い練習になります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) \(W = qEd\cos\theta\): \(\theta\)が0から\(\pi/2\)に増えると\(\cos\theta\)は減少し、仕事も減ります。これは、x方向への移動距離が減るため、力がする仕事が減るという直感と一致します。
  • (4b) \(x_B = qEh/mg\): この式は、\(qE/mg\) という無次元の量に長さ\(h\)を掛けた形になっています。\(qE\)は電気的な力、\(mg\)は重力なので、この比は「重力に対する静電気力の相対的な強さ」を表しています。この比が大きいほど横に流されやすい、という結果は物理的に非常に妥当です。
  • (4c) \(K_B = mgh(1+(qE/mg)^2)\): もし電場がなければ(\(E=0\))、この式は \(K_B=mgh\) となり、自由落下のエネルギー保存則に帰着します。もし重力がなければ(\(g \rightarrow 0\))、式は発散してしまいますが、これは落下時間が無限大になることに対応しており、物理的におかしくはありません。このように、極端な場合を考えることで式の妥当性を吟味できます。

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問題103 (筑波大 前期)