「良問の風」攻略ガイド（21〜25問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題21 (センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、円弧状の滑らかなすべり台上の小球の運動と、その後の放物運動を扱う力学の問題です。力学的エネルギー保存則と仕事の概念、そして放物運動の解析がポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「力学的エネルギー保存則」と「仕事」、そして「放物運動」です。滑らかな面上での運動と、その後の空中での運動について、それぞれの局面で適切な物理法則を適用することが鍵となります。

問(1)

思考の道筋とポイント
A点からB点、およびA点からC点への運動では、すべり台が滑らかなため摩擦力ははたらかず、垂直抗力は常に運動方向と直角であるため仕事をしません。したがって、重力のみが仕事をするので、力学的エネルギー保存則を適用して各点での速さを求めます。位置エネルギーの基準点は最下点のB点とします。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を適用できる条件（保存力以外の力が仕事をしない）を正しく見抜くこと。
• 位置エネルギーの基準点を明確にし、各点での位置エネルギー \(U=mgh\) と運動エネルギー \(K=\frac{1}{2}mv^2\) を正確に式で表すこと。

具体的な解説と立式
位置エネルギーの基準点をB点(\(h=0\))とします。

• A点: 高さ \(h_A = r\)、初速度 \(v_A = 0\)。
  力学的エネルギーは \(E_A = \frac{1}{2}m(0)^2 + mgr = mgr\)。
• B点: 高さ \(h_B = 0\)、速さ \(v_B\)。
  力学的エネルギーは \(E_B = \frac{1}{2}mv_B^2 + mg(0) = \frac{1}{2}mv_B^2\)。
• C点: 高さ \(h_C = r – r\cos 60^\circ = r – \frac{1}{2}r = \frac{1}{2}r\)、速さ \(v_C\)。
  力学的エネルギーは \(E_C = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\frac{r}{2}\)。

力学的エネルギー保存則より、A点とB点、A点とC点についてそれぞれ立式します。
A点とB点の間では、
$$ E_A = E_B \quad \cdots ① $$
A点とC点の間では、
$$ E_A = E_C \quad \cdots ② $$

1. \(v_B\) の計算
式①に具体的なエネルギーの式を代入します。
$$ mgr = \frac{1}{2}mv_B^2 $$
両辺の \(m\) を消去し、\(v_B^2\) について解くと、
$$ v_B^2 = 2gr $$
\(v_B > 0\) より、
$$ v_B = \sqrt{2gr} $$

2. \(v_C\) の計算
式②に具体的なエネルギーの式を代入します。
$$ mgr = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\frac{r}{2} $$
両辺の \(m\) を消去し、\(\frac{1}{2}v_C^2\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}v_C^2 &= gr – g\frac{r}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}gr
\end{aligned}
$$
両辺を2倍して、
$$ v_C^2 = gr $$
\(v_C > 0\) より、
$$ v_C = \sqrt{gr} $$

小球がA点にあるとき、持っているエネルギーは高さ \(r\) による「位置エネルギー」だけです。

• B点まで滑り落ちると、高さが0になるので位置エネルギーは0になります。その代わり、A点での位置エネルギーがすべて「運動エネルギー」に変わります。この関係からB点での速さを計算します。
• C点まで滑り落ちると、高さは \(\frac{r}{2}\) になります。このとき、A点での位置エネルギーの一部はC点での位置エネルギーとして残り、残りがC点での運動エネルギーに変わります。このエネルギーの分け合いの関係からC点での速さを計算します。

B点での速さは \(v_B = \sqrt{2gr}\)、C点での速さは \(v_C = \sqrt{gr}\) となります。
B点はC点よりも低い位置にあるため、より多くの位置エネルギーが運動エネルギーに変換され、速さが大きくなっている (\(v_B > v_C\)) ことは物理的に妥当です。また、\(v_B\) は高さ \(r\) から自由落下した物体の速さと同じであり、典型的な結果と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
仕事の定義に基づいて計算します。

• 重力のした仕事 \(W_g\): 重力は保存力なので、仕事は経路によらず始点と終点の高さの差だけで決まります。重力の大きさと鉛直方向の移動距離の積から計算できます。
• 垂直抗力のした仕事 \(W_N\): 小球がすべり台上を運動している間、垂直抗力は常に運動の方向（円弧の接線方向）と垂直です。したがって、垂直抗力のする仕事は0になります。

この設問における重要なポイント

• 仕事の定義 \(W = Fx\cos\theta\) を正しく理解し、適用すること。
• 保存力である重力の仕事は、位置エネルギーの変化 \(-\Delta U\) と関連付けられることを理解する。
• 力が運動方向と垂直な場合、その力のする仕事は0になることを理解する。

具体的な解説と立式
1. 重力のした仕事 \(W_g\)
A点からC点への鉛直方向の移動距離は \(\Delta h = h_A – h_C = r – \frac{r}{2} = \frac{r}{2}\) です。重力 \(mg\) は鉛直下向きにはたらき、移動も下向きなので、重力は正の仕事をします。
$$ W_g = mg \times \Delta h $$
あるいは、位置エネルギーの変化から計算することもできます。
$$ W_g = – (U_C – U_A) = U_A – U_C $$

2. 垂直抗力のした仕事 \(W_N\)
垂直抗力 \(\vec{N}\) の向きは常に円の中心を向いており、小球の運動方向（円の接線方向）とは常に直角です。したがって、仕事の定義における角度 \(\theta\) は \(90^\circ\) となり、\(\cos 90^\circ = 0\) です。
$$ W_N = 0 $$

1. 重力のした仕事 \(W_g\)
$$ W_g = mg \times \frac{r}{2} = \frac{1}{2}mgr $$
または、
$$
\begin{aligned}
W_g &= U_A – U_C \\[2.0ex]
&= mgr – mg\frac{r}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}mgr
\end{aligned}
$$

2. 垂直抗力のした仕事 \(W_N\)
$$ W_N = 0 $$

• 重力の仕事: 仕事とは、ある力が物体の運動をどれだけ助けたか（あるいは邪魔したか）を表す量です。重力は常に真下に物体を引っ張っています。A点からC点へ移動する間に、小球は高さ \(\frac{r}{2}\) だけ下に移動したので、重力はその分だけ運動を助ける「正の仕事」をしたことになります。
• 垂直抗力の仕事: 垂直抗力は、小球がすべり台にめり込まないように押し返す力です。この力は常に小球が滑っていく方向と垂直な向きにはたらきます。進行方向を助けも邪魔もしないので、垂直抗力がした仕事は0になります。

AC間での重力のした仕事は \(W_g = \frac{1}{2}mgr\)、垂直抗力のした仕事は \(W_N = 0\) です。
重力の仕事が正の値であることは、物体が鉛直下向きに移動し、位置エネルギーが減少した（運動エネルギーが増加した）ことと対応しており、物理的に妥当です。垂直抗力が仕事をしないことは、滑らかな面上を滑る運動では典型的な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
C点から飛び出した小球は放物運動をします。D点はその軌道の最高点です。

• 速度の成分分解: まず、C点での速度 \(v_C\) を水平成分と鉛直成分に分解します。図より、C点での接線は水平線と \(60^\circ\) の角をなすため、これが射出角となります。
• 最高点Dでの速度 \(v_D\): 放物運動では、水平方向の速度成分は一定に保たれます。最高点では、速度の鉛直成分が一時的に0になるため、D点での速さ \(v_D\) は、C点での速度の水平成分に等しくなります。
• 最高点Dの高さ \(h\): C点からD点までの運動で力学的エネルギー保存則を適用します。放物運動中も、空気抵抗を無視すれば重力のみが仕事をするため、力学的エネルギーは保存されます。

この設問における重要なポイント

• 放物運動では、運動を水平方向（等速直線運動）と鉛直方向（等加速度直線運動）に分けて考えること。
• 最高点では鉛直方向の速度成分が0になるという重要な性質を理解していること。
• 放物運動中も力学的エネルギーが保存されることを利用できること。
• 図から射出角を正しく読み取ること。

具体的な解説と立式
C点での速さは \(v_C = \sqrt{gr}\)、射出角は水平上向き \(60^\circ\) です。
1. D点での速さ \(v_D\)
D点での速さは、C点での速度の水平成分に等しいので、
$$ v_D = v_C \cos 60^\circ $$

2. D点の高さ \(h\) (主たる解法: C→Dエネルギー保存)
C点とD点の間での力学的エネルギー保存則を考えます。基準点はB点(\(h=0\))のままです。

• C点での力学的エネルギー: \(E_C = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\frac{r}{2}\)
• D点での力学的エネルギー: \(E_D = \frac{1}{2}mv_D^2 + mgh\)

力学的エネルギー保存則より、
$$ E_C = E_D $$

1. \(v_D\) の計算
$$
\begin{aligned}
v_D &= \sqrt{gr} \times \cos 60^\circ \\[2.0ex]
&= \sqrt{gr} \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}\sqrt{gr}
\end{aligned}
$$

2. \(h\) の計算
エネルギー保存則の式に、求めた値を代入します。
$$ \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\frac{r}{2} = \frac{1}{2}mv_D^2 + mgh $$
両辺の \(m\) を消去します。
$$ \frac{1}{2}(gr) + g\frac{r}{2} = \frac{1}{2}\left( \left(\frac{1}{2}\sqrt{gr}\right)^2 \right) + gh $$
$$ \frac{1}{2}gr + \frac{1}{2}gr = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}gr\right) + gh $$
$$ gr = \frac{1}{8}gr + gh $$
\(gh\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
gh &= gr – \frac{1}{8}gr \\[2.0ex]
&= \frac{7}{8}gr
\end{aligned}
$$
両辺を \(g\) で割ると、
$$ h = \frac{7}{8}r $$

• D点での速さ: 小球が斜め上に飛び出すと、その運動は「横に進む動き」と「縦に進む動き」に分けられます。空気抵抗がなければ、横に進む速さはゴールまでずっと同じです。一番高いD点では、縦の動きが一瞬止まるので、そのときの速さは横に進む速さだけになります。
• D点の高さ: C点から一番高いD点まで上がる間も、全体のエネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの合計）は一定です。C点でのエネルギーとD点でのエネルギーが等しい、という式を立てることで、D点の高さを計算できます。

D点での速さは \(v_D = \frac{1}{2}\sqrt{gr}\)、D点の高さは \(h = \frac{7}{8}r\) となります。
\(v_D\) は \(v_C = \sqrt{gr}\) よりも小さく、物理的に妥当です。また、高さ \(h = \frac{7}{8}r\) は、射出点Cの高さ \(\frac{r}{2} = \frac{4}{8}r\) よりも高く、運動の開始点Aの高さ \(r = \frac{8}{8}r\) よりもわずかに低い値となっており、これも物理的に自然な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
小球がE点で床（B点と同じ高さ）に衝突するときの速さ \(v_E\) を求めます。
この運動全体（A→B→C→D→E）を通して、非保存力は仕事をしていないため、力学的エネルギーは保存されます。したがって、運動の始点であるA点と、最終到達点であるE点の間で力学的エネルギー保存則を適用するのが最も計算が簡潔です。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則は、始点と終点の状態のみに着目して適用できる強力な法則であること。
• 最も計算が簡単になる区間を選んで法則を適用する効率的な思考。

具体的な解説と立式
A点とE点の間で力学的エネルギー保存則を適用します。位置エネルギーの基準点はB点（E点と同じ高さ）です。

• A点での力学的エネルギー: \(E_A = K_A + U_A = 0 + mgr = mgr\)。
• E点での力学的エネルギー: \(E_E = K_E + U_E = \frac{1}{2}mv_E^2 + mg(0) = \frac{1}{2}mv_E^2\)。

力学的エネルギー保存則より、
$$ E_A = E_E $$

$$ mgr = \frac{1}{2}mv_E^2 $$
両辺の \(m\) を消去し、\(v_E^2\) について解くと、
$$ v_E^2 = 2gr $$
\(v_E > 0\) より、
$$ v_E = \sqrt{2gr} $$

一番最初のA点では、高さ \(r\) による位置エネルギーだけを持っています。最終的に床のE点に衝突するとき、E点の高さは0なので位置エネルギーも0です。途中でどんな複雑な動きをしても、摩擦や空気抵抗がなければ、A点での位置エネルギーがすべてE点での運動エネルギーに変わったと考えることができます。この関係からE点での速さを求めます。

E点で床に衝突するときの速さは \(v_E = \sqrt{2gr}\) です。
この結果は、(1)で求めたB点での速さ \(v_B\) と全く同じです。B点とE点は同じ高さ（基準の高さ0）であり、運動の始点（A点）のエネルギーも共通なので、力学的エネルギー保存則から同じ速さになるのは物理的に正しい結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: この問題の大部分は、この法則によって支配されています。物体にはたらく非保存力（この問題では摩擦力や空気抵抗）が仕事をしない場合、運動エネルギーと位置エネルギーの和（力学的エネルギー）が一定に保たれるという、極めて強力な法則です。
  • 理解のポイント:
    1. 適用条件の確認: まず「すべり台は滑らか」「空気抵抗は無視」という記述から、非保存力が仕事をしないことを確認します。これにより、力学的エネルギー保存則が使えると判断できます。
    2. 基準点の設定: 位置エネルギーを計算するために、高さの基準（\(h=0\)）を決めます。通常、最下点（B点）を基準にすると計算が簡単になります。
    3. 始点と終点の選択: この法則の強みは、途中の経路を問わない点にあります。問(4)のように、始点Aと終点Eを直接結びつけることで、複雑な途中の運動をすべて無視して速さを求めることができます。
• 放物運動の解析:
  • 核心: C点から飛び出した後の運動は、重力だけを受ける物体の運動（放物運動）です。この運動は、互いに影響しない2つの単純な運動の組み合わせとして捉えることが重要です。
  • 理解のポイント:
    1. 水平・鉛直への分解: 速度や変位を、水平成分と鉛直成分に分けて考えます。
    2. 各方向の運動法則: 水平方向は力がはたらかないので「等速直線運動」、鉛直方向は重力がはたらくので「等加速度直線運動（加速度 \(-g\)）」となります。
    3. 最高点の条件: 最高点（D点）では、鉛直方向の速度成分が一瞬0になる、という性質が問題を解く鍵となります。水平方向の速度は残っている点に注意が必要です。
• 仕事とエネルギーの関係:
  • 核心: 力が物体にした「仕事」は、その物体の「エネルギー」を変化させます。この問題では、特に垂直抗力がなぜ仕事をしないのかを理解することが、力学的エネルギー保存則の適用条件を理解する上で不可欠です。
  • 理解のポイント:
    1. 仕事が0になる条件: 力の向きと運動の向きが常に垂直な場合、その力がする仕事は0になります。すべり台上の垂直抗力は、この典型例です。
    2. 重力の仕事: 重力がした仕事は、位置エネルギーの変化で表すことができます (\(W_g = -\Delta U\))。物体が下に移動すれば重力は正の仕事をし、上に移動すれば負の仕事をします。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ジェットコースター型問題: 曲面を滑り下り、ループを回り、飛び出すといった一連の運動。各区間で力学的エネルギー保存則や円運動の運動方程式を適用します。
  • 振り子問題: 糸で吊るされたおもりの運動。特に振れ角が大きい場合は、力学的エネルギー保存則と円運動の運動方程式を連立して解きます。
  • ばねと組み合わせた運動: 斜面や水平面で、ばねに接続された物体の運動。この場合は、運動エネルギー、重力による位置エネルギーに加えて、「弾性エネルギー」も力学的エネルギーに含めて考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギー保存則は使えるか？: 問題文に「滑らか」「摩擦は無視」などのキーワードがあるかを確認します。もし摩擦がある場合は、「仕事とエネルギーの関係（力学的エネルギーの変化量＝非保存力がした仕事）」を使います。
  2. どの区間で立式するか？: 力学的エネルギー保存則が使える場合、どの2点間を結ぶと最も計算が楽になるかを見極めます。問(4)のように、始点と終点を直接結ぶのが最も効率的なことが多いです。
  3. 運動の分解: 放物運動や斜面上の運動など、運動が複雑に見える場合は、適切な座標軸（水平・鉛直、斜面に平行・垂直など）を設定し、運動を成分に分解して考えられないか検討します。
  4. 特別な点の性質は？: 円運動の最高点・最下点、放物運動の最高点など、物理的に特徴のある点（速度や力の条件が単純になる点）に着目すると、立式のヒントが得られます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 位置エネルギーの基準点の混同:
  • 誤解: 計算の途中で、無意識に位置エネルギーの基準点を変えてしまう。
  • 対策: 問題を解き始める前に、まず「この問題では、B点を高さ0とする」と紙に明記し、すべての位置エネルギーをその基準から測るように徹底する。
• 放物運動の最高点での速度:
  • 誤解: 最高点では速度が0になると勘違いしてしまう。
  • 対策: 最高点は「鉛直方向の速度成分が0」になるだけであり、水平方向の速度成分は残っていることを強く意識する。ボールを斜めに投げ上げたときの軌跡をイメージし、頂点でも横には進み続けていることを確認する。
• 角度の取り扱いミス:
  • 誤解: C点での射出角を、図から読み間違える（例: \(30^\circ\) と勘違いする）。速度の成分分解で \(\sin\) と \(\cos\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 図を丁寧に描き、速度ベクトルと水平線、鉛直線との関係を明確にする。直角三角形を描いて、どの辺が \(\sin\theta\) に対応し、どの辺が \(\cos\theta\) に対応するのかを毎回確認する習慣をつける。
• 力学的エネルギー保存則の誤用:
  • 誤解: 摩擦や空気抵抗があるのに、力学的エネルギー保存則を使ってしまう。
  • 対策: 法則を適用する前に、必ず「非保存力が仕事をしていないか？」と自問自答する癖をつける。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則 \(K_{\text{初}} + U_{\text{初}} = K_{\text{後}} + U_{\text{後}}\):
  • 選定理由: 問題の状況が「滑らかな面」「空気抵抗無視」であり、非保存力の仕事が0であるため。速さと高さの関係を問う問題で最も強力なツールです。
  • 適用根拠: 問(1), (3), (4)のように、異なる2点間の速さや高さを関係づけたい場合に適用します。
• 仕事の定義 \(W = Fx\cos\theta\):
  • 選定理由: 問(2)で「仕事」そのものを問われているため、必須の公式です。
  • 適用根拠: 特定の力（重力、垂直抗力）がした仕事を計算する必要がある場合に適用します。特に、垂直抗力の仕事が0になる理由を説明する際に論理的な根拠となります。
• 放物運動の速度分解 \(v_x = v_0 \cos\theta\), \(v_y = v_0 \sin\theta\):
  • 選定理由: 問(3)で、C点から飛び出した後の運動を解析する必要があるため。
  • 適用根拠: 運動が2次元にわたる場合、各軸の成分に分解して考えるのが基本戦略です。特に、最高点での速度を求めるには水平成分を、上昇高さを求めるには鉛直成分を考える必要があります。
• 鉛直投げ上げの公式 \(v^2 – v_0^2 = 2as\):
  • 選定理由: 問(3)の別解として、放物運動の鉛直成分だけを取り出して解析するため。
  • 適用根拠: 等加速度直線運動であることが分かっており、時間 \(t\) を介さずに初速度、終速度、変位、加速度の関係を知りたい場合に非常に便利です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 特に注意すべき点:
  • 平方根の計算: \(v^2 = gr\) から \(v = \sqrt{gr}\) のように、2乗を外す計算が頻出します。計算過程で2乗を忘れたり、ルートを付け忘れたりしないように注意が必要です。
  • 分数の計算: C点の高さ \(\frac{r}{2}\) や \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) など、分数が多く登場します。特に、\(h\) の計算 \(gr = \frac{1}{8}gr + gh\) のような式変形では、移項や通分のミスが起こりやすいです。
  • 文字の整理: \(m, g, r\) といった文字が多く、式が長くなりがちです。両辺で共通の文字（特に \(m\) や \(g\)）を早い段階で消去すると、式がすっきりしてミスが減ります。
• 日頃の練習:
  • 途中式を省略しない: 特にエネルギー保存則の立式では、\(\frac{1}{2}m(\sqrt{gr})^2\) のような項を、暗算せずに \(\frac{1}{2}mgr\) と丁寧に書き下す。
  • 単位で検算する: 例えば速さを求めたのに、計算結果の単位が \([\text{m/s}]\) にならない場合（例: \(\sqrt{g/r}\) など）、どこかで立式を間違えている可能性が高いです。
  • 別解で確認する: 問(3)の高さ \(h\) のように、複数のアプローチで解ける問題は、両方で計算してみて答えが一致するかを確認する。これは非常に効果的な検算方法です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) \(v_B, v_C\): \(v_B = \sqrt{2gr}\), \(v_C = \sqrt{gr}\)。B点の方がC点より低い位置にあるので、速くなるはず。\(v_B > v_C\) となっており、妥当。
  • (2) 仕事: 重力の仕事が \(\frac{1}{2}mgr > 0\)。物体は下に移動したので、重力は正の仕事をするはず。妥当。垂直抗力の仕事は0。運動方向と垂直なので妥当。
  • (3) \(v_D, h\): \(v_D = \frac{1}{2}\sqrt{gr}\), \(h = \frac{7}{8}r\)。最高点Dの速さ \(v_D\) は、射出時の速さ \(v_C\) より遅いはず。\(v_D < v_C\) で妥当。最高点の高さ \(h\) は、射出点Cの高さ \(\frac{r}{2} = \frac{4}{8}r\) より高く、開始点Aの高さ \(r = \frac{8}{8}r\) よりは低いはず。\(\frac{4}{8}r < \frac{7}{8}r < \frac{8}{8}r\) であり、妥当。
  • (4) \(v_E\): \(v_E = \sqrt{2gr}\)。E点はB点と同じ高さなので、力学的エネルギーが保存されていれば速さも同じになるはず。\(v_E = v_B\) となっており、妥当。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし \(\angle \text{BOC} = 0^\circ\) だったら、C点はB点と同じになり、\(v_C = v_B = \sqrt{2gr}\) となるはず。式で \(\cos 0^\circ = 1\) を使うと \(h_C = r(1-1)=0\) となり、エネルギー保存則から \(mgr = \frac{1}{2}mv_C^2\) となって \(v_C = \sqrt{2gr}\) が導かれ、整合性がある。
  • \(v_B = \sqrt{2gr}\) という式は、高さ \(r\) から物体を自由落下させたときの速さの公式と完全に一致する。これは、力学的エネルギー保存則が正しく適用できていることを裏付けている。

問題22 (大阪工大＋センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねに繋がれた小球の運動と、ばねから離れた後のあらい面での運動を扱います。力学的エネルギー保存則、弾性エネルギー、仕事とエネルギーの関係、動摩擦力の理解が鍵となります。特に、エネルギーが保存される区間と、摩擦によって失われる区間を明確に区別することが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「力学的エネルギー保存則」と「仕事とエネルギーの関係」です。ばねによって加速される運動と、摩擦によって減速する運動について、エネルギーが保存される区間と保存されない区間を正しく見極め、それぞれに適した法則を適用することが鍵となります。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球Pを放した瞬間（ばねの縮み \(a\)、速さ \(0\)）から、Pがばねから離れる点A（ばね自然長、縮み \(0\)）に達するまでの運動を考えます。この区間は滑らかな水平面であり、ばねの弾性力のみが水平方向に仕事をするため、力学的エネルギー（運動エネルギー + 弾性エネルギー）が保存されます。
この設問における重要なポイント

• 滑らかな面でのばねによる運動では、力学的エネルギー（運動エネルギーと弾性エネルギーの和）が保存されることを理解する。
• 弾性エネルギーの公式 \(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\) の \(x\) が、ばねの自然長からの変位（伸びまたは縮み）であることを正確に把握する。
• 始状態と終状態の各エネルギーを正しく設定する。

具体的な解説と立式
始状態（ばねの縮み \(a\)、Pは静止）の力学的エネルギーを \(E_{\text{初}}\)、終状態（点A: ばね自然長、Pの速さ \(v\)）の力学的エネルギーを \(E_{\text{A}}\) とします。

• 始状態: 運動エネルギー \(K_{\text{初}} = 0\)、弾性エネルギー \(U_{\text{ばね,初}} = \frac{1}{2}ka^2\)。
  $$ E_{\text{初}} = 0 + \frac{1}{2}ka^2 $$
• 終状態: 運動エネルギー \(K_{\text{A}} = \frac{1}{2}mv^2\)、弾性エネルギー \(U_{\text{ばね,A}} = \frac{1}{2}k(0)^2 = 0\)。
  $$ E_{\text{A}} = \frac{1}{2}mv^2 + 0 $$

力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{初}} = E_{\text{A}}\) なので、
$$ \frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mv^2 $$

$$ \frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mv^2 $$
両辺に \(2\) を掛けて整理すると、
$$ ka^2 = mv^2 $$
\(v^2\) について解くと、
$$ v^2 = \frac{k}{m}a^2 $$
速さ \(v\) は正なので、
$$ v = \sqrt{\frac{k}{m}a^2} = a\sqrt{\frac{k}{m}} $$

最初に、縮んだばねが持っている「弾性エネルギー」（ばねが元に戻ろうとする力によって蓄えられたエネルギー）は \(\frac{1}{2}ka^2\) です。このとき小球は止まっているので運動エネルギーは0です。小球がばねから離れる点Aでは、ばねは自然長に戻るので弾性エネルギーは0になります。このとき、最初にあった弾性エネルギーが全て小球の運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) に変わったと考えます。したがって、「最初の弾性エネルギー = 最後の運動エネルギー」という式を立てて \(v\) を求めます。

点Aでの速さは \(v = a\sqrt{\frac{k}{m}}\) となります。
この結果は、ばね定数 \(k\) が大きい（ばねが硬い）ほど、初期の縮み \(a\) が大きいほど、また小球の質量 \(m\) が小さいほど、最終的な速さ \(v\) が大きくなることを示しており、物理的な直観と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
問(1)と同様に、小球Pを放した瞬間（ばねの縮み \(a\)、速さ \(0\)）から、ばねの縮みが \(\frac{1}{2}a\) になった瞬間までの運動を考えます。この区間も滑らかな水平面であり、力学的エネルギーが保存されます。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を適用する際、始点と終点の状態（運動エネルギーと弾性エネルギー）を正確に設定すること。
• 弾性エネルギーを計算する際の「縮み」の値を間違えないように注意する。

具体的な解説と立式
始状態（ばねの縮み \(a\)、Pは静止）の力学的エネルギーを \(E_{\text{初}}\)、考察する状態（ばねの縮み \(\frac{1}{2}a\)、Pの速さ \(u\)）の力学的エネルギーを \(E_{\text{途中}}\) とします。

• 始状態: \(E_{\text{初}} = \frac{1}{2}ka^2\) (問1と同じ)
• 考察する状態: 運動エネルギー \(K_{\text{途中}} = \frac{1}{2}mu^2\)、弾性エネルギー \(U_{\text{ばね,途中}} = \frac{1}{2}k\left(\frac{a}{2}\right)^2\)。
  $$ E_{\text{途中}} = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}k\left(\frac{a}{2}\right)^2 $$

力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{初}} = E_{\text{途中}}\) なので、
$$ \frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{2}k\left(\frac{a}{2}\right)^2 $$

$$ \frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{8}ka^2 $$
\(\frac{1}{2}mu^2\) について整理すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mu^2 &= \frac{1}{2}ka^2 – \frac{1}{8}ka^2 \\[2.0ex]
&= \left(\frac{4}{8} – \frac{1}{8}\right)ka^2 \\[2.0ex]
&= \frac{3}{8}ka^2
\end{aligned}
$$
両辺に \(2\) を掛けると、
$$ mu^2 = \frac{3}{4}ka^2 $$
\(u^2\) について解くと、
$$ u^2 = \frac{3k}{4m}a^2 $$
速さ \(u\) は正なので、
$$ u = \sqrt{\frac{3k}{4m}a^2} = a\sqrt{\frac{3k}{4m}} $$

最初にあったばねの弾性エネルギー \(\frac{1}{2}ka^2\) が、ばねの縮みが \(\frac{a}{2}\) になったときには、一部が小球の運動エネルギー \(\frac{1}{2}mu^2\) に変わり、残りはまだばねに弾性エネルギー \(\frac{1}{2}k(\frac{a}{2})^2\) として蓄えられています。つまり、「最初の弾性エネルギー = その瞬間の運動エネルギー + その瞬間の弾性エネルギー」という式を立てて \(u\) を求めます。

ばねの縮みが \(\frac{1}{2}a\) のときの速さは \(u = a\sqrt{\frac{3k}{4m}}\) となります。
この速さは、点Aでの速さ \(v = a\sqrt{\frac{k}{m}}\) よりも小さいです (\(\sqrt{\frac{3}{4}} \approx 0.866 < 1\))。これは、ばねがまだエネルギーを完全に放出しきっておらず、一部を弾性エネルギーとして保持しているため、運動エネルギーに変換された分が少ないことを意味し、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
ばねを自然長から \(a\) だけ縮ませるのに必要な外力の仕事 \(W\) を考えます。このとき、外力はばねの弾性力に抗して仕事をします。もし小球をゆっくりと縮ませたとすると、外力のした仕事は、ばねに蓄えられた弾性エネルギーの増加分に等しくなります。
この設問における重要なポイント

• 外力が保存力（ここでは弾性力）に抗してする仕事は、その系のポテンシャルエネルギー（ここでは弾性エネルギー）の変化量に等しい（ただし、運動エネルギーの変化がないか、無視できる場合）。
• ばねを \(x\) だけ変形させるのに必要な外力の仕事は、蓄えられる弾性エネルギー \(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\) に等しい。

具体的な解説と立式
ばねを自然長から \(a\) だけ縮ませるのに必要な外力の仕事 \(W\) は、その結果ばねに蓄えられる弾性エネルギーに等しいです。

• 始状態（自然長）の弾性エネルギー: \(U_{\text{ばね,初}} = 0\)。
• 終状態（縮み \(a\)）の弾性エネルギー: \(U_{\text{ばね,後}} = \frac{1}{2}ka^2\)。

外力の仕事 \(W\) は、この弾性エネルギーの変化量です。
$$ W = U_{\text{ばね,後}} – U_{\text{ばね,初}} $$

$$ W = \frac{1}{2}ka^2 – 0 = \frac{1}{2}ka^2 $$

ばねを縮めるという行為は、ばねにエネルギーを「蓄える」行為です。ばねを \(a\) だけ縮めたときに蓄えられるエネルギー（弾性エネルギー）は \(\frac{1}{2}ka^2\) です。したがって、このエネルギーを蓄えるために外から加えなければならなかった仕事も \(\frac{1}{2}ka^2\) となります。

外力の仕事は \(W = \frac{1}{2}ka^2\) となります。
これは、ばねを \(a\) だけ縮めたときに蓄えられる弾性エネルギーの大きさと一致します。単位は仕事（エネルギー）の単位であるジュール \([\text{J}]\) です。

問(4)

思考の道筋とポイント
点Aを速さ \(v\) で通過した小球Pは、あらい水平面上で動摩擦力を受けて運動エネルギーを失い、やがて点Bで静止します。この過程では、力学的エネルギーは保存されません。小球の運動エネルギーの変化が、動摩擦力のした仕事に等しいという「仕事とエネルギーの関係」を用います。
この設問における重要なポイント

• あらい面では力学的エネルギーは保存されない。仕事とエネルギーの関係（特に運動エネルギーの変化と非保存力の仕事）を適用する。
• 動摩擦力の大きさを正しく計算する。水平面では、垂直抗力 \(N\) は重力 \(mg\) に等しいので、動摩擦力 \(f = \mu N = \mu mg\)。
• 動摩擦力のする仕事は、物体の運動エネルギーを減少させるため負の値（\(W_f = -f \times \text{距離}\)）となる。

具体的な解説と立式
点Aでの運動エネルギーを \(K_A\)、点Bでの運動エネルギーを \(K_B\) とします。

• 始状態(A): \(K_A = \frac{1}{2}mv^2\)
• 終状態(B): \(K_B = 0\)

AB間で動摩擦力がする仕事 \(W_f\):
動摩擦力の大きさ \(f = \mu N\)。水平面なので垂直抗力 \(N = mg\)。よって \(f = \mu mg\)。
動摩擦力は運動と逆向きにはたらくので、その仕事は負となります。
$$ W_f = -f \cdot \text{AB} = -\mu mg \cdot \text{AB} $$
仕事と運動エネルギーの関係 \(\Delta K = W_{\text{非保存力}}\) より、
$$ K_B – K_A = W_f $$
$$ 0 – \frac{1}{2}mv^2 = -\mu mg \cdot \text{AB} $$

$$ -\frac{1}{2}mv^2 = -\mu mg \cdot \text{AB} $$
両辺のマイナス符号を取り、\(m\) を約分すると、
$$ \frac{1}{2}v^2 = \mu g \cdot \text{AB} $$
距離 AB について解くと、
$$ \text{AB} = \frac{v^2}{2\mu g} $$

小球が点Aで持っていた運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) は、あらい面を滑るうちに摩擦によって熱エネルギーに変わり、全て失われたときに点Bで止まります。摩擦がする仕事の大きさは「動摩擦力の大きさ \(\times\) 滑った距離 AB」です。動摩擦力の大きさは \(\mu mg\) なので、「失われた運動エネルギー = 摩擦がした仕事の大きさ」という式 \(\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg \cdot \text{AB}\) を立てて AB を求めます。

距離は \(\text{AB} = \frac{v^2}{2\mu g}\) となります。
この結果は、初速度 \(v\) が大きいほど、また動摩擦係数 \(\mu\) や重力加速度 \(g\) が小さいほど、停止するまでの距離が長くなることを示しており、直観と一致します。

問(5)

思考の道筋とポイント
点Aを速さ \(v\) で通過した小球Pが、傾斜角 \(30^\circ\) のあらい斜面を登り、最高点Cで一瞬静止するまでの運動を考えます。この過程では、小球の初期の運動エネルギーが、重力による位置エネルギーの増加と、斜面上の動摩擦力がする仕事（熱エネルギーへの変換）によって消費されます。ここでも仕事とエネルギーの関係を用います。
この設問における重要なポイント

• 斜面上の運動では、重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解して考える。
• 斜面上の垂直抗力 \(N\) は \(mg\cos\theta\) となる（\(\theta\) は斜面の傾斜角）。
• 動摩擦力の大きさは \(f = \mu N = \mu mg\cos\theta\)。
• 初期の運動エネルギーが、位置エネルギーの増加と摩擦による損失の和に等しくなるというエネルギー収支の観点から立式する。

具体的な解説と立式
点Aを重力による位置エネルギーの基準（高さ \(0\)）とします。

• 始状態(A): 運動エネルギー \(K_A = \frac{1}{2}mv^2\)、位置エネルギー \(U_A = 0\)。
• 終状態(C): 運動エネルギー \(K_C = 0\)、位置エネルギー \(U_C = mgh_C\)。
  ここで、高さ \(h_C\) は距離 AC を用いて \(h_C = \text{AC}\sin 30^\circ\) と表せます。
• AC間の非保存力の仕事: 動摩擦力がする仕事 \(W_f\)。
  斜面上の垂直抗力 \(N = mg\cos 30^\circ\)。
  動摩擦力の大きさ \(f = \mu N = \mu mg\cos 30^\circ\)。
  仕事 \(W_f = -f \cdot \text{AC} = -\mu mg\cos 30^\circ \cdot \text{AC}\)。

「力学的エネルギーの変化量 = 非保存力がした仕事」の関係より、
$$ (K_C + U_C) – (K_A + U_A) = W_f $$
$$ (0 + mg \cdot \text{AC}\sin 30^\circ) – \left(\frac{1}{2}mv^2 + 0\right) = -\mu mg\cos 30^\circ \cdot \text{AC} $$
この式を整理すると、初期の運動エネルギーが他のエネルギーに変換されたというエネルギー収支の式になります。
$$ \frac{1}{2}mv^2 = mg \cdot \text{AC}\sin 30^\circ + \mu mg\cos 30^\circ \cdot \text{AC} $$

$$ \frac{1}{2}mv^2 = mg \cdot \text{AC} \sin 30^\circ + \mu mg \cos 30^\circ \cdot \text{AC} $$
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)、\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) を代入し、両辺の \(m\) を消去します。
$$ \frac{1}{2}v^2 = g \cdot \text{AC} \cdot \frac{1}{2} + \mu g \cdot \text{AC} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
両辺に \(2\) を掛けて分母を払います。
$$ v^2 = g \cdot \text{AC} + \mu g \cdot \text{AC} \cdot \sqrt{3} $$
右辺を \(g \cdot \text{AC}\) でくくります。
$$ v^2 = g \cdot \text{AC} (1 + \sqrt{3}\mu) $$
距離 AC について解くと、
$$ \text{AC} = \frac{v^2}{g(1 + \sqrt{3}\mu)} $$

小球が点Aで持っていた運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) は、斜面を登るにしたがって２つのものに変わっていきます。

1. ひとつは、斜面を登ることで高くなることによる「位置エネルギーの増加」です。
2. もうひとつは、斜面との摩擦によって発生する「熱エネルギー」です。

元の運動エネルギーが、これら２つのエネルギーの合計に等しくなったとき、小球は最高点Cで止まります。この関係から AC を求めます。

距離は \(\text{AC} = \frac{v^2}{g(1 + \sqrt{3}\mu)}\) となります。
この結果は、初速度 \(v\) が大きいほど、また重力加速度 \(g\) や動摩擦係数 \(\mu\) が小さいほど、斜面を登る距離 AC が長くなることを示しており、物理的な直観と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則（弾性エネルギーを含む）:
  • 核心: 摩擦や空気抵抗がない状況で、ばねの弾性力や重力（保存力）のみが仕事をする場合、運動エネルギーと位置エネルギー（弾性エネルギーや重力による位置エネルギー）の和は常に一定に保たれます。
  • 理解のポイント:
    1. 適用区間の見極め: この問題では、点Aより左側の「滑らかな面」が適用区間です。
    2. エネルギーの構成要素: 水平面上のばね運動なので、力学的エネルギーは「運動エネルギー \(K = \frac{1}{2}mv^2\)」と「弾性エネルギー \(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\)」の和になります。
    3. 立式の基本: 「始状態のエネルギーの和 = 終状態のエネルギーの和」という等式を立てます。
• 仕事とエネルギーの関係（エネルギー原理）:
  • 核心: 摩擦力などの非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは保存されません。その場合、「力学的エネルギーの変化量 = 非保存力がした仕事」という関係が成り立ちます。これはエネルギー全体の収支を考えることであり、より普遍的な法則です。
  • 理解のポイント:
    1. 適用区間の見極め: 点Aより右側の「あらい面」や「あらい斜面」が適用区間です。
    2. 非保存力の仕事: 動摩擦力がした仕事は \(W_f = -f \times (\text{距離})\) となり、常に負の値です。この負の仕事の分だけ、系の力学的エネルギーが減少（熱エネルギーに変換）します。
    3. 立式の基本: 「後の力学的エネルギー – 前の力学的エネルギー = 動摩擦力がした仕事」または「前の力学的エネルギー = 後の力学的エネルギー + 摩擦によって失われたエネルギー」という等式を立てます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ばね振り子と摩擦: 鉛直や水平に振動するばね振り子の運動で、途中にあらい区間が設けられている問題。
  • ばねによる打ち上げ: ばねで打ち上げられた物体が、あらい斜面を登ったり、放物運動をしたりする問題。
  • 衝突とばね: 物体がばねに衝突して一体となり、あらい面上を運動する問題。この場合は運動量保存則も組み合わせます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の区間分け: まず、運動がどのような段階に分けられるか（例: ばねが作用する区間、滑らかな面、あらい面、斜面など）を把握します。物理法則を適用する範囲を明確にするためです。
  2. エネルギー保存の適否判断: 各区間ごとに、力学的エネルギー保存則が使えるか、仕事とエネルギーの関係を使うべきかを見極めます。キーワードは「滑らか」か「あらい」かです。
  3. 垂直抗力の計算: 摩擦力が関わる問題では、動摩擦力 \(f=\mu N\) を計算するために、まず垂直抗力 \(N\) を求めることが最優先です。水平面では \(N=mg\)、斜面では \(N=mg\cos\theta\) となることを正確に使い分けます。
  4. エネルギーの収支を追う: 「最初に持っていたエネルギーは、最終的に何のエネルギーに変わったか？」と自問します。例えば問(5)では、「最初の運動エネルギー」が「位置エネルギーの増加」と「摩擦熱」に変わった、というストーリーを組み立てることが解法の鍵です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 弾性エネルギーの変位 \(x\) の誤解:
  • 誤解: ばねの長さそのものを \(x\) としてしまう。
  • 対策: \(x\) は常に「自然長からの伸びまたは縮み」であることを強く意識します。図に自然長の位置を書き込むと間違いが減ります。
• 斜面上の垂直抗力の計算ミス:
  • 誤解: 斜面を滑る物体にはたらく垂直抗力を、安易に \(N=mg\) としてしまう。
  • 対策: 必ず力を図示し、斜面に垂直な方向の力のつりあいを考えます。重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解すれば、\(N=mg\cos\theta\) であることが導けます。
• 動摩擦力の仕事の符号ミス:
  • 誤解: 動摩擦力がした仕事を正の値として計算してしまう。
  • 対策: 動摩擦力は常に運動を妨げる向きにはたらくため、その仕事は常に負（エネルギーを奪う仕事）になります。「力学的エネルギーの変化 = 非保存力の仕事」の式に代入する際は、必ず負の値 \(W_f = -fL\) を使うことを徹底します。
• 力学的エネルギー保存則の乱用:
  • 誤解: 摩擦力がはたらいている区間でも、力学的エネルギー保存則を適用してしまう。
  • 対策: 法則を適用する前に、必ず「この区間で非保存力は仕事をしていないか？」と自問自答する癖をつけます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則 (\(K_{\text{初}} + U_{\text{ばね,初}} = K_{\text{後}} + U_{\text{ばね,後}}\)):
  • 選定理由: 問(1), (2)の状況が「滑らかな面」であり、ばねの弾性力という保存力のみが仕事をするため。速さとばねの縮みの関係を問う問題で最も直接的な解法です。
  • 適用根拠: 非保存力である摩擦力の仕事が0であること。
• 外力の仕事と弾性エネルギー (\(W_{\text{外力}} = \Delta U_{\text{ばね}}\)):
  • 選定理由: 問(3)で「外力の仕事」が直接問われているため。
  • 適用根拠: 物体をゆっくり動かす（運動エネルギーを変化させない）場合、外力がした仕事はポテンシャルエネルギーの増加分に等しいという関係に基づきます。
• 仕事とエネルギーの関係 (\(\Delta E_{\text{力学}} = W_{\text{非保存力}}\)):
  • 選定理由: 問(4), (5)の状況が「あらい面」であり、動摩擦力という非保存力が仕事をするため。力学的エネルギーが保存されない状況で、エネルギーの変化を定量的に扱うための唯一の法則です。
  • 適用根拠: 摩擦によってエネルギーが失われる状況で、始状態と終状態の関係を記述する必要があるため。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 特に注意すべき点:
  • 弾性エネルギーの計算: \(\frac{1}{2}k(\frac{a}{2})^2\) を計算する際に、\(\frac{1}{4}ka^2\) ではなく \(\frac{1}{8}ka^2\) と正しく計算すること。括弧の中の2乗を忘れないように注意が必要です。
  • 三角関数の値: 問(5)で \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) と \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) を正確に代入すること。混同しやすいので注意が必要です。
  • 文字式の整理: 問(5)の \(v^2 = g \cdot \text{AC} (1 + \sqrt{3}\mu)\) のような式変形では、共通因数でくくる際に分配法則を間違えないように慎重に行います。
• 日頃の練習:
  • 単位で検算する: 例えば問(4)で求めた \(\frac{v^2}{2\mu g}\) の単位が距離 \([\text{m}]\) になるか確認する。\([\text{(m/s)}^2 / (\text{m/s}^2)] = [\text{m}]\)。このように単位計算が合うことを確認する習慣は、大きなミスを防ぎます。
  • 別解で確認する: 問(4)や(5)のように、エネルギーと運動方程式の両方で解ける問題は、両方で計算してみて答えが一致するかを確認する。これは非常に効果的な検算方法です。
  • 途中式を省略しない: 特にエネルギーの式は項が多くなりがちなので、各項を丁寧に書き出し、移項や整理の過程を省略せずに記述することがミス防止につながります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 速さ \(v\): \(v = a\sqrt{\frac{k}{m}}\)。ばねが硬い(\(k\)大)、縮み\(a\)が大きいほど速くなる。質量\(m\)が重いほど遅くなる。直観と一致。
  • (2) 速さ \(u\): \(u = a\sqrt{\frac{3k}{4m}}\)。\(v\)より小さいか？ \(\sqrt{3/4} < 1\) なので \(u < v\)。まだエネルギーを放出しきっていないので妥当。
  • (4) 距離 AB: \(\text{AB} = \frac{v^2}{2\mu g}\)。摩擦係数\(\mu\)が大きいほど、停止距離は短くなる。直観と一致。
  • (5) 距離 AC: \(\text{AC} = \frac{v^2}{g(1 + \sqrt{3}\mu)}\)。摩擦係数\(\mu\)が大きいほど、分母が大きくなり停止距離は短くなる。直観と一致。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし摩擦がなかったら (\(\mu=0\)):
    • 問(4)の式で \(\mu=0\) とすると、\(\text{AB} \to \infty\) となり、永遠に止まらないことに対応し、正しい。
    • 問(5)の式で \(\mu=0\) とすると、\(\text{AC} = \frac{v^2}{g}\) となる。このとき力学的エネルギー保存則 \(\frac{1}{2}mv^2 = mg(\text{AC}\sin 30^\circ) = mg\frac{\text{AC}}{2}\) からも \(\text{AC} = \frac{v^2}{g}\) が導かれ、結果が一致する。
  • もし斜面の角度が \(0^\circ\) だったら:
    • 問(5)の式は問(4)の状況に近づくはず。ただし、\(\sin 0^\circ = 0, \cos 0^\circ = 1\) を代入すると分母が \(g(1+\mu)\) となり、問(4)の \(2\mu g\) とは一致しない。これは、問(5)の式が「最高点に達する」という前提で導かれているため、単純な比較はできない。このように、極端な条件を考える際は、その前提が崩れないかどうかも吟味する必要がある。

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問題23 (金沢大＋大阪電通大)

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【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動滑車を含む系の力学」です。静止している場合の「力のつりあい」と、運動している場合の「力学的エネルギー保存則」または「運動方程式」を適用することが求められます。特に、動滑車の特性である「力の関係」と「変位・速度・加速度の関係」を正しく理解しているかが問われます。

問(1)