「良問の風」攻略ガイド（21〜25問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題21 (センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、円弧状の滑らかなすべり台上の小球の運動と、その後の放物運動を扱う力学の問題です。力学的エネルギー保存則と仕事の概念、そして放物運動の解析がポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題では、主に力学的エネルギー保存則と仕事の計算、そして放物運動の知識を駆使して解き進めます。

• 基準点の決定: 位置エネルギーを考える際の基準点（高さ0の点）を明確にします。この問題では、B点を高さの基準 (\(h=0\)) とするのが計算上便利です。
  • A点の高さ: \(h_A = r\)
  • B点の高さ: \(h_B = 0\)
  • C点の高さ: \(h_C = r – r\cos 60^\circ = r – r \cdot \frac{1}{2} = \frac{r}{2}\)
• 力学的エネルギー保存則の適用:
  • A→B、A→C: すべり台が滑らかで垂直抗力が仕事をしないため、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。
  • C→D、C→E (またはA→E): 放物運動中（空気抵抗無視）は重力のみが仕事をするため、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。
• 仕事の計算:
  • 重力の仕事: \(W_g = mg \times (\text{鉛直方向の移動距離})\) または \(W_g = -(U_{\text{後}} – U_{\text{初}})\)。
  • 垂直抗力の仕事: 力の向きと移動方向が常に垂直なので0。
• 放物運動の解析:
  • 速度を水平成分と鉛直成分に分解。
  • 最高点では鉛直方向の速度成分が0。
  • 水平方向の速度成分は一定。

問1

思考の道筋とポイント
A点からB点、およびA点からC点への運動では、動摩擦力は作用せず、垂直抗力は常に運動方向と直角であるため仕事をしません。したがって、力学的エネルギー保存則を適用して各点での速さを求めます。基準点Bの高さを0とします。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を適用できる条件（保存力以外の力が仕事をしない、または仕事が0）を正しく見抜くこと。
• 位置エネルギーの基準点を明確にし、各点での位置エネルギー \(U=mgh\) と運動エネルギー \(K=\frac{1}{2}mv^2\) を正確に表すこと。

具体的な解説と立式
位置エネルギーの基準点をB点(\(h=0\))とします。

• A点: 高さ \(h_A = r\)、初速度 \(v_A = 0\)。力学的エネルギー \(E_A = \frac{1}{2}m(0)^2 + mgr = mgr\)。
• B点: 高さ \(h_B = 0\)、速さ \(v_B\)。力学的エネルギー \(E_B = \frac{1}{2}mv_B^2 + mg(0) = \frac{1}{2}mv_B^2\)。
• C点: 高さ \(h_C = r – r\cos 60^\circ = r – r \cdot \frac{1}{2} = \frac{r}{2}\)、速さ \(v_C\)。力学的エネルギー \(E_C = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\frac{r}{2}\)。

力学的エネルギー保存則より、

1. A点とB点間: \(E_A = E_B\)
2. A点とC点間: \(E_A = E_C\)

1. \(v_B\) の計算 (A点とB点間):
$$ E_A = E_B $$
$$ mgr = \frac{1}{2}mv_B^2 $$
両辺から \(m\) を消去し（\(m \neq 0\)）、\(v_B^2\) について整理すると、
$$ v_B^2 = 2gr $$
\(v_B > 0\) より、
$$ v_B = \sqrt{2gr} $$

2. \(v_C\) の計算 (A点とC点間):
$$ E_A = E_C $$
$$ mgr = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\frac{r}{2} $$
両辺から \(m\) を消去し、
$$ gr = \frac{1}{2}v_C^2 + g\frac{r}{2} $$
\(\frac{1}{2}v_C^2\) について整理すると、
$$ \frac{1}{2}v_C^2 = gr – g\frac{r}{2} = \frac{1}{2}gr $$
両辺に2を掛けて、
$$ v_C^2 = gr $$
\(v_C > 0\) より、
$$ v_C = \sqrt{gr} $$

物体がA点から滑り始めるとき、持っているエネルギーは高さ \(r\) による位置エネルギー \(mgr\) です（速さは0なので運動エネルギーは0）。

• B点に達したとき、高さは0になるので位置エネルギーは0です。A点での位置エネルギーがすべてB点での運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv_B^2\) に変わったと考え、\(mgr = \frac{1}{2}mv_B^2\) から \(v_B\) を求めます。
• C点に達したとき、高さは \(\frac{r}{2}\) なので位置エネルギーは \(mg\frac{r}{2}\) です。A点でのエネルギー \(mgr\) が、C点での運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv_C^2\) と位置エネルギー \(mg\frac{r}{2}\) の和になったと考え、\(mgr = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\frac{r}{2}\) から \(v_C\) を求めます。

B点での速さ \(v_B = \sqrt{2gr}\)、C点での速さ \(v_C = \sqrt{gr}\) です。
\(v_B\) は、物体が高さ \(r\) から自由落下したときの速さと同じであり、力学的エネルギー保存則が成り立つ典型的な結果です。C点はB点よりも高い位置にあるため、その分運動エネルギーが小さくなり、\(v_C < v_B\) となっていることも物理的に妥当です。単位は \([\text{m/s}]\) であり、速さの単位として正しいです。

問2

思考の道筋とポイント
仕事の定義 \(W = Fx\cos\theta\) または \(W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{r}\) に基づいて計算します。

• 重力のした仕事 \(W_g\): 重力は保存力なので、仕事は経路によらず始点と終点の位置エネルギーの差から \(W_g = -(U_C – U_A) = U_A – U_C\) で求められます。あるいは、重力の大きさと鉛直方向の変位の積からも計算できます。A点からC点への鉛直方向の変位は \(h_A – h_C = r – \frac{r}{2} = \frac{r}{2}\) (下向き)です。
• 垂直抗力のした仕事 \(W_N\): 小球がすべり台上を運動している間、垂直抗力は常に運動の方向（円弧の接線方向）と垂直です。したがって、\(\cos 90^\circ = 0\) となり、垂直抗力のする仕事は0です。

この設問における重要なポイント

• 仕事の定義を正しく理解し、適用すること。
• 保存力である重力の仕事は、位置エネルギーの変化と関連付けられることを理解する。
• 力が運動方向と垂直な場合、その力のする仕事は0になることを理解する。

具体的な解説と立式
1. 重力のした仕事 \(W_g\):
A点での位置エネルギー (B点基準) は \(U_A = mgr\)。
C点での位置エネルギー (B点基準) は \(U_C = mg\frac{r}{2}\)。
$$ W_g = U_A – U_C $$
または、鉛直方向の移動距離 \(\Delta y = h_A – h_C = r – \frac{r}{2} = \frac{r}{2}\) （下向き）。重力 \(mg\) は鉛直下向き。
$$ W_g = mg \times \Delta y $$

2. 垂直抗力のした仕事 \(W_N\):
垂直抗力 \(\vec{N}\) と微小変位 \(d\vec{s}\) は常に直交するので、\(\vec{N} \cdot d\vec{s} = 0\)。
$$ W_N = 0 $$

1. 重力のした仕事 \(W_g\):
$$ W_g = mgr – mg\frac{r}{2} = \frac{1}{2}mgr $$
または、
$$ W_g = mg \times \frac{r}{2} = \frac{1}{2}mgr $$

2. 垂直抗力のした仕事 \(W_N\):
$$ W_N = 0 $$

• 重力の仕事: 物体がA点からC点へ移動する間に、重力は鉛直下向きに働いています。この間の高さの変化は \(r – \frac{r}{2} = \frac{r}{2}\) です。物体が下に移動するとき、重力は正の仕事をします。その大きさは「重力 \(mg\) \(\times\) 鉛直移動距離 \(\frac{r}{2}\)」です。
• 垂直抗力の仕事: 垂直抗力は、小球がすべり台から受ける力で、常にすべり台の面に垂直（円の中心向き）です。一方、小球は円弧に沿って（接線方向に）動きます。力の向きと運動の向きが常に90度なので、垂直抗力は小球の運動エネルギーを変化させるような仕事をしません。

AC間での重力のした仕事は \(W_g = \frac{1}{2}mgr\)、垂直抗力のした仕事は \(W_N = 0\) です。
重力の仕事が正であることは、物体が鉛直下向きに移動した（位置エネルギーが減少した）ことを意味します。単位は \([\text{J}]\) であり、仕事（エネルギー）の単位として正しいです。垂直抗力が仕事をしないことは、滑らかな面上を滑る運動では典型的な結果です。

問3

思考の道筋とポイント
C点から飛び出した小球は放物運動をします。D点はその軌道の最高点です。

• C点での射出角: 図より、線分OCと鉛直線のなす角が \(60^\circ\) なので、OCと水平線のなす角は \(30^\circ\) です。C点での速度の向き（円弧の接線方向）はOCと垂直なので、水平線とのなす角は \(60^\circ\) となります（上向き）。
• 速度の成分分解: C点での速度 \(v_C\) を水平成分 \(v_{\text{C,x}}\) と鉛直成分 \(v_{\text{C,y}}\) に分解します。
  $$ v_{\text{C,x}} = v_C \cos 60^\circ $$
  $$ v_{\text{C,y}} = v_C \sin 60^\circ $$
• 最高点Dでの速度 \(v_D\): 放物運動の最高点では、速度の鉛直成分が0になります。したがって、D点での速さ \(v_D\) は、水平成分 \(v_{\text{C,x}}\) に等しく、運動中一定です。
• 最高点Dの高さ \(h\): C点からD点までの運動で力学的エネルギー保存則を適用します。基準点はB点(\(h=0\))のまま考えます。あるいは、鉛直方向の投げ上げ運動として、公式 \(v_{\text{後}}^2 – v_{\text{初}}^2 = 2as\) を用いてC点からの上昇高さを求め、C点の高さに加えます。

この設問における重要なポイント

• 放物運動では、運動を水平方向（等速直線運動）と鉛直方向（等加速度直線運動）に分けて考えること。
• 最高点では鉛直方向の速度成分が0になるという重要な性質を理解していること。
• 放物運動中も（空気抵抗を無視すれば）力学的エネルギーが保存されることを利用できること。
• 射出角を正しく読み取ること。

具体的な解説と立式
C点での速さは \(v_C = \sqrt{gr}\)。射出角は水平上向き \(60^\circ\)。
1. D点での速さ \(v_D\):
$$ v_D = v_{\text{C,x}} = v_C \cos 60^\circ $$
2. D点の高さ \(h\):
C点とD点の間での力学的エネルギー保存則を考えます。
C点での力学的エネルギー: \(E_C = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\frac{r}{2}\)
D点での力学的エネルギー: \(E_D = \frac{1}{2}mv_D^2 + mgh\)
$$ E_C = E_D $$

1. \(v_D\) の計算:
$$ v_D = v_C \cos 60^\circ = \sqrt{gr} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{gr} $$

2. \(h\) の計算 (力学的エネルギー保存則):
$$ \frac{1}{2}mv_C^2 + mg\frac{r}{2} = \frac{1}{2}mv_D^2 + mgh $$
両辺から \(m\) を消去し、各値を代入すると、
$$ \frac{1}{2}(gr) + g\frac{r}{2} = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{1}{2}\sqrt{gr}\right)^2\right) + gh $$
$$ \frac{1}{2}gr + \frac{1}{2}gr = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}gr\right) + gh $$
$$ gr = \frac{1}{8}gr + gh $$
\(gh\) について整理すると、
$$ gh = gr – \frac{1}{8}gr = \frac{8-1}{8}gr = \frac{7}{8}gr $$
よって、
$$ h = \frac{7}{8}r $$

別解 (\(h\) の計算 – 鉛直方向の運動):
C点での鉛直方向の初速度 \(v_{\text{C,y}} = v_C \sin 60^\circ = \sqrt{gr} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)。
C点からD点までの鉛直方向の変位を \(\Delta y_D = h – h_C = h – \frac{r}{2}\) とする。
最高点Dでは鉛直方向の速度は0なので、公式 \(v_{\text{後}}^2 – v_{\text{初}}^2 = 2as\) より、
$$ 0^2 – (v_{\text{C,y}})^2 = 2(-g)\Delta y_D $$
$$ -\left(\sqrt{gr} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = -2g\left(h – \frac{r}{2}\right) $$
$$ -\frac{3}{4}gr = -2g\left(h – \frac{r}{2}\right) $$
両辺を \(-g\) で割り (\(g \neq 0\))、
$$ \frac{3}{4}r = 2\left(h – \frac{r}{2}\right) $$
$$ \frac{3}{4}r = 2h – r $$
\(2h\) について解くと、
$$ 2h = \frac{3}{4}r + r = \frac{3r+4r}{4} = \frac{7}{4}r $$
よって、
$$ h = \frac{7}{8}r $$

• D点での速さ \(v_D\): 物体が斜め上に飛び出すと、その速さは「横に進む成分」と「縦に進む成分」に分けられます。空気の抵抗がなければ、横に進む速さは変わりません。一番高いところ（D点）では、一瞬だけ縦の動きが止まるので、そのときの速さは横に進む速さだけになります。C点での速さ \(v_C\) と飛び出す角度（水平と \(60^\circ\)）を使って、横に進む速さを計算します。
• D点の高さ \(h\): C点から一番高いD点まで行く間も、全体のエネルギー（運動エネルギーと位置エネルギーの合計）は変わりません。C点でのエネルギーとD点でのエネルギーが等しいという式を立てて、D点の高さを求めます。または、C点から真上にボールを投げたときの運動を考え、一番高い点までの距離を計算し、それをC点の高さに足し合わせることでも求められます。

D点での速さ \(v_D = \frac{1}{2}\sqrt{gr}\)、D点の高さ \(h = \frac{7}{8}r\) です。
\(v_D\) は \(v_C = \sqrt{gr}\) の水平成分であり、\(v_C\) よりも小さくなっているので妥当です。
高さ \(h = \frac{7}{8}r\) は、C点の高さ \(\frac{r}{2} = \frac{4}{8}r\) よりも高く、A点の高さ \(r = \frac{8}{8}r\) よりもわずかに低い値となっており、物理的に自然な結果です。単位もそれぞれ速さ \([\text{m/s}]\)、高さ \([\text{m}]\) として正しいです。

問4

思考の道筋とポイント
小球がE点で床（B点と同じ高さ）に衝突するときの速さ \(v_E\) を求めます。
この場合、運動の始点であるA点（高さ \(r\)、初速0）と、最終到達点であるE点（高さ0）の間で力学的エネルギー保存則を適用するのが最も簡潔です。途中のC点やD点の状態を考慮する必要はありません。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則は、始点と終点の状態のみに着目して適用できる強力な法則であること。
• 最も計算が簡単になる区間を選んで法則を適用する効率的な思考。

具体的な解説と立式
A点とE点の間で力学的エネルギー保存則を適用します。
A点での力学的エネルギー (B点基準): \(E_A = K_A + U_A = 0 + mgr = mgr\)。
E点での力学的エネルギー (B点基準): \(E_E = K_E + U_E = \frac{1}{2}mv_E^2 + mg(0) = \frac{1}{2}mv_E^2\)。
力学的エネルギー保存則より、
$$ E_A = E_E $$

$$ mgr = \frac{1}{2}mv_E^2 $$
両辺から \(m\) を消去し（\(m \neq 0\)）、\(v_E^2\) について整理すると、
$$ v_E^2 = 2gr $$
\(v_E > 0\) より、
$$ v_E = \sqrt{2gr} $$

一番最初のA点では、高さ \(r\) による位置エネルギー \(mgr\) を持っています（速さは0）。最終的に床のE点に衝突するとき、E点の高さは0なので位置エネルギーも0です。A点からE点までの間に摩擦や空気抵抗がなければ、A点での位置エネルギー \(mgr\) がすべてE点での運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv_E^2\) に変わったと考えられます。この関係から \(v_E\) を求めます。

E点で床に衝突するときの速さ \(v_E = \sqrt{2gr}\) です。
この結果は、(1)で求めたB点での速さ \(v_B\) と同じです。B点とE点は同じ高さ（基準の高さ0）であり、運動の始点（A点）のエネルギーも共通なので、力学的エネルギー保存則から同じ速さになるのは物理的に正しい結果です。単位も速さ \([\text{m/s}]\) として妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 物体にはたらく非保存力（摩擦力や空気抵抗など）が仕事をしない、または保存力（重力、弾性力など）のみが仕事をする場合に、運動エネルギーと位置エネルギーの和（力学的エネルギー）が一定に保たれるという法則です。
  • この問題では、すべり台が「滑らか」であること、および放物運動中の空気抵抗を無視することから、全区間を通して力学的エネルギーが保存されると考えることができます（適切な始点と終点を選べば）。
• 仕事とエネルギーの関係:
  • 物体にはたらく力の合力がした仕事は、物体の運動エネルギーの変化に等しい (\(W_{\text{合計}} = \Delta K\))。
  • また、保存力のする仕事は位置エネルギーの変化の負に等しい (例: 重力の仕事 \(W_g = -\Delta U_g\))。
  • 力が運動方向と垂直な場合、その力のする仕事は0。 (本問の垂直抗力)
• 放物運動の解析:
  • 水平方向には力が働かない（等速直線運動）、鉛直方向には重力のみが働く（等加速度直線運動、具体的には自由落下や投げ上げ）という2つの独立した運動の組み合わせとして捉えることができます。速度の水平成分は常に一定で、鉛直成分は時間とともに変化します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • ジェットコースターのような曲面上の運動と飛び出し。
  • 振り子の運動（特に大きな振れ角で、力学的エネルギー保存則を使うもの）。
  • 斜面を滑り下りてからの放物運動。
  • ばねと組み合わせた物体の運動（弾性エネルギーも力学的エネルギーに含める）。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 物体にはたらく力を全て図示し、保存力と非保存力に分類する。
  2. 非保存力は仕事をするか？ (摩擦力は負の仕事、垂直抗力や張力は運動方向と垂直なら仕事をしないことが多い)
  3. 力学的エネルギー保存則は適用できるか？ できるなら、どの区間で適用するか。始点と終点のエネルギーを比較する。
  4. 仕事とエネルギーの関係を使うべきか？ 力学的エネルギーが保存しない場合や、特定の力の仕事を問われた場合。
  5. 運動が複数の段階に分かれているか？ (例: 円弧上の運動 → 放物運動) 各段階で適切な法則を適用する。
  6. 放物運動の場合: 水平・鉛直に分解。最高点では鉛直速度0。水平速度一定。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • 位置エネルギーの基準点は計算が楽になるように選ぶ（多くは最下点や床面）。
  • 図の活用: 状況を正確に把握し、力の分解や速度の分解を視覚的に行うために図は不可欠。特に角度の扱いに注意。
  • 変数の設定: 求める速さや高さを未知数として設定し、式を立てる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力学的エネルギー保存則の誤用:
  • 摩擦力や空気抵抗が働くのに無視してしまう。
  • 垂直抗力や張力が常に仕事をしないと誤解する（糸がたるむ場合や、動く斜面上の垂直抗力など、仕事をするケースもある。本問では仕事はしない）。
• 位置エネルギーの基準点の混同: 計算の途中で基準点を変えてしまうと誤った結果になる。
• 角度の取り扱いミス:
  • 円運動や放物運動において、速度や力の成分分解時の角度を間違える（例：\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の取り違え）。図を丁寧に描き、三角比の定義に立ち返る。
  • C点から飛び出すときの角度 \(60^\circ\) は、水平線とのなす角であることの確認。
• 放物運動の最高点での速度: 最高点では「速度が0」ではなく「鉛直方向の速度成分が0」である。水平方向の速度成分は残っている。
• 仕事の正負:
  • 重力がする仕事：物体が下がるなら正、上がるなら負。
  • 動摩擦力がする仕事：常に負。
• 対策:
  • 法則の適用条件を常に意識する。
  • 図を丁寧に描き、角度や方向を正確に把握する。
  • 定義に忠実に立式する。
  • 計算ミスを減らすため、途中式を丁寧に書く。
  • 得られた結果が物理的に妥当か（例：速さが負にならない、エネルギーが増えたりしないか）を吟味する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージと図示:
  1. 全体の運動の概略図（A→B→C→D→Eの軌跡をイメージする）。
  2. 各点での力の図示（特にA, B, C点で小球にはたらく重力と垂直抗力を図示する）。これにより、垂直抗力が仕事をするかどうかの判断が容易になる。
  3. C点での速度ベクトルの分解図（\(v_C\) を水平成分 \(v_{\text{C,x}}\) と鉛直成分 \(v_{\text{C,y}}\) に分解する図）。角度 \(60^\circ\) の位置を明確にする。
  4. 高さ関係の図示（A, B, C, D点の高さを、基準点（B点）からの距離で明確に図示する）。特にC点の高さ \(r/2\) や、角度と半径から高さ \(r(1-\cos\theta)\) を導く幾何学的関係を理解する。
• 図を描く際の注意点:
  • ベクトル（力、速度）は矢印で向きと大きさを表現する。
  • 角度は正確に記入する。
  • 基準となる線（水平線、鉛直線）を明確にする。
  • 座標軸を設定すると、成分分解が考えやすくなる場合もある。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則 \(K_{\text{初}} + U_{\text{初}} = K_{\text{後}} + U_{\text{後}}\):
  • 選定理由: 問題文に「滑らかなすべり台」とあり、運動中に摩擦力が仕事をしない。垂直抗力は常に運動方向と垂直であるため仕事をしない。C点以降の放物運動では重力のみが仕事をする。これらは力学的エネルギーが保存される典型的な状況。
  • 適用根拠: 非保存力（摩擦や空気抵抗）の仕事が0、または保存力のみが仕事をする系であること。
• 仕事の定義 \(W_g = mg\Delta h_{\text{鉛直}}\) (重力の仕事):
  • 選定理由: (2)で重力の仕事が問われているため。
  • 適用根拠: 重力が一定で、鉛直方向の移動距離が明確な場合。あるいは \(W_g = -(U_{\text{後}} – U_{\text{初}})\) からも導ける。
• 仕事 \(W_N = 0\) (垂直抗力の仕事):
  • 選定理由: (2)で垂直抗力の仕事が問われているため。
  • 適用根拠: 力の向きと運動（変位の微小部分）の向きが常に垂直 (\(\cos 90^\circ = 0\))。
• 放物運動の速度成分分解 \(v_x = v_0 \cos\theta, v_y = v_0 \sin\theta – gt\):
  • 選定理由: (3)でC点から飛び出す運動が放物運動であるため。最高点Dでの速度や高さを求めるのに必要。
  • 適用根拠: 水平方向は等速、鉛直方向は等加速度（加速度 \(-g\)）運動であること。
• 最高点での条件 \(v_y = 0\):
  • 選定理由: (3)で最高点Dについて問われているため。
  • 適用根拠: 放物運動の軌道の頂点では、鉛直方向の速度が一瞬0になる。

これらの選択・適用の根拠を自問自答する訓練が重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問題文の読解と状況把握: どのような運動か、何が問われているかを確認。図を見て、各点の位置関係（特に高さ）を把握。
2. 基準点の設定: 位置エネルギーの基準点を決める（例：B点を \(h=0\)）。
3. 問(1) \(v_B, v_C\):
   • A→B間、A→C間で力学的エネルギー保存則を適用できるか判断（できる）。
   • 各点での運動エネルギーと位置エネルギーを具体的に書き出す。
   • 保存則の式を立て、未知の速さについて解く。
4. 問(2) 仕事:
   • 重力の仕事: 高さの変化から計算、または \(W_g = mg \times (\text{鉛直移動距離})\)。
   • 垂直抗力の仕事: 力と運動方向の関係から0であることを判断。
5. 問(3) \(v_D, h\):
   • C点からの放物運動であることを認識。C点での射出速度 \(v_C\) と射出角 \(60^\circ\) を確認。
   • \(v_D\): 最高点では水平速度成分のみ。\(v_D = v_C \cos 60^\circ\)。
   • \(h\): C→D間で力学的エネルギー保存則を適用。または、鉛直方向の投げ上げ運動として公式 \(v_{\text{後}}^2 – v_{\text{初}}^2 = 2as\) や \(y = v_{\text{0,y}}t – \frac{1}{2}gt^2, v_y = v_{\text{0,y}} – gt\) を用いる。
6. 問(4) \(v_E\):
   • A→E間で力学的エネルギー保存則を適用するのが最も簡潔。
   • A点とE点の高さと初速度から式を立てて解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 計算の各段階で、物理量の単位が正しいか意識する。最終的な答えの単位も確認。
• 文字式のまま計算: 数値を代入するのは最後の段階にする。これにより、途中の文字がキャンセルされたり、式の構造が見えやすくなったりする。
• 符号の確認: 位置エネルギーの正負、仕事の正負、速度・加速度の方向など、符号が重要になる場面で注意する。
• 分数の計算: 通分や約分を丁寧に行う。特に \(\frac{1}{2}\) や \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) などが頻出するので、暗算に頼りすぎず、必要なら筆算や途中式をしっかり書く。
• 平方根の処理: \(v^2\) から \(v\) を求める際に、正の平方根をとることを忘れない（速さは大きさなので通常正）。
• 式の整理: 移項や両辺への操作を一つ一つ丁寧に行う。例えば、\(mgr = \frac{1}{2}mv^2 + mg\frac{r}{2}\) から \(\frac{1}{2}mv^2\) を求める際に、移項の符号ミスに注意。
• 検算: 可能であれば別のアプローチで解いてみて（例えば(3)の高さ \(h\) の計算）、結果が一致するか確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • 速さやエネルギーが負の値になっていないか？
  • (1) \(v_B > v_C\) か？ (Bの方が低いので速いはず) → YES (\(\sqrt{2gr} > \sqrt{gr}\))
  • (3) 最高点の高さ \(h\) は、C点の高さ \(\frac{r}{2}\) より高く、A点の高さ \(r\) と比較してどうか？ (\(h = \frac{7}{8}r\) は \(\frac{4}{8}r < \frac{7}{8}r < \frac{8}{8}r\) なので妥当)
  • (3) 最高点での速さ \(v_D\) は、C点での速さ \(v_C\) より小さいか？ (鉛直成分が0になるので、\(v_C\) の水平成分になるから小さいはず) → YES (\(\frac{1}{2}\sqrt{gr} < \sqrt{gr}\))
  • (4) \(v_E\) は \(v_B\) と同じになるか？ (同じ高さに戻るので力学的エネルギーが保存していれば同じはず) → YES
• 単位の確認: 最終的な答えの単位が、問われている物理量の単位と一致しているか。
  • 速さ: [m/s] (\(\sqrt{gr} = \sqrt{[\text{m/s}^2][\text{m}]} = \sqrt{[\text{m}^2/\text{s}^2]} = [\text{m/s}]\))
  • 仕事: [J] (\(mgr = [\text{kg}][\text{m/s}^2][\text{m}] = [\text{N}][\text{m}] = [\text{J}]\))
  • 高さ: [m]
• 極端な場合や既知の事実との比較:
  • もし \(r=0\) なら、すべての速さ、高さ、仕事は0になるか？ (問題設定上 \(r>0\))
  • \(v_B = \sqrt{2gr}\) は、高さ \(r\) からの自由落下と同じ速さであり、よく知られた結果。

これらの吟味を行うことで、計算ミスや考え方の誤りを発見しやすくなり、物理現象への理解も深まります。

問題22 (大阪工大＋センター試験)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ばねに繋がれた小球の運動と、ばねから離れた後のあらい面での運動を扱います。力学的エネルギー保存則、弾性エネルギー、仕事とエネルギーの関係、動摩擦力の理解が鍵となります。特に、エネルギーが保存される区間と、摩擦によって失われる区間を明確に区別することが重要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題では、力学的エネルギー保存則（特に弾性エネルギーを含む場合）と、摩擦力が関わる場合の仕事とエネルギーの関係を中心に考えていきます。

• 弾性エネルギーの基準: ばねが自然長のときの弾性エネルギーを \(0\) とします。
• 重力による位置エネルギーの基準 (問5のみ): 水平面の高さを \(0\) とします。
• 滑らかな面 (点Aより左): 力学的エネルギー（運動エネルギー \(K = \frac{1}{2}mv^2\) + 弾性エネルギー \(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\)) が保存されます。
• あらい面 (点Aより右): 動摩擦力が仕事をするため、力学的エネルギーは保存されません。仕事とエネルギーの関係（エネルギーの増減が非保存力の仕事に等しい）を適用します。

問1

思考の道筋とポイント
小球Pを放した瞬間（ばねの縮み \(a\)、速さ \(0\)）から、Pがばねから離れる点A（ばね自然長、縮み \(0\)）に達するまでの運動を考えます。この区間は滑らかな水平面であり、ばねの弾性力のみが水平方向に仕事をするため、力学的エネルギー（運動エネルギー + 弾性エネルギー）が保存されます。

この設問における重要なポイント

• 滑らかな面でのばねによる運動では、力学的エネルギー（運動エネルギーと弾性エネルギーの和）が保存されることを理解する。
• 弾性エネルギーの公式 \(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\) の \(x\) が、ばねの自然長からの変位（伸びまたは縮み）であることを正確に把握する。
• 始状態と終状態の各エネルギーを正しく設定する。

具体的な解説と立式
始状態（ばねの縮み \(a\)、Pは静止）の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\):

• 運動エネルギー \(K_{\text{初}} = 0\)
• 弾性エネルギー \(U_{\text{ばね,初}} = \frac{1}{2}ka^2\)
• \(E_{\text{初}} = K_{\text{初}} + U_{\text{ばね,初}} = \frac{1}{2}ka^2\)

終状態（点A: ばね自然長、Pの速さ \(v\)）の力学的エネルギー \(E_{\text{A}}\):

• 運動エネルギー \(K_{\text{A}} = \frac{1}{2}mv^2\)
• 弾性エネルギー \(U_{\text{ばね,A}} = \frac{1}{2}k(0)^2 = 0\)
• \(E_{\text{A}} = K_{\text{A}} + U_{\text{ばね,A}} = \frac{1}{2}mv^2\)

力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{初}} = E_{\text{A}}\)。
$$ \frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mv^2 $$

$$ \frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mv^2 $$
両辺に \(2\) を掛けると、
$$ ka^2 = mv^2 $$
\(v^2\) について解くと、
$$ v^2 = \frac{k}{m}a^2 $$
速さ \(v\) は正なので、
$$ v = \sqrt{\frac{k}{m}a^2} = a\sqrt{\frac{k}{m}} $$

最初に、縮んだばねが持っている「弾性エネルギー」（ばねが元に戻ろうとする力によって蓄えられたエネルギー）は \(\frac{1}{2}ka^2\) です。このとき小球は止まっているので運動エネルギーは0です。小球がばねから離れる点Aでは、ばねは自然長に戻るので弾性エネルギーは0になります。このとき、最初にあった弾性エネルギーが全て小球の運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) に変わったと考えます。したがって、「最初の弾性エネルギー = 最後の運動エネルギー」という式を立てて \(v\) を求めます。

点Aでの速さ \(v = a\sqrt{\frac{k}{m}}\)。
この結果は、ばね定数 \(k\) が大きいほど、初期の縮み \(a\) が大きいほど、また小球の質量 \(m\) が小さいほど、最終的な速さ \(v\) が大きくなることを示しており、物理的な直観と一致します。単位も \([\text{m/s}]\) となり正しいです。

問2

思考の道筋とポイント
問1と同様に、小球Pを放した瞬間（ばねの縮み \(a\)、速さ \(0\)）から、ばねの縮みが \(\frac{1}{2}a\) になった瞬間までの運動を考えます。この区間も滑らかな水平面であり、力学的エネルギーが保存されます。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を適用する際、始点と終点の状態（運動エネルギーと弾性エネルギー）を正確に設定すること。
• 弾性エネルギーを計算する際の「縮み」の値を間違えないように注意する。

具体的な解説と立式
始状態（ばねの縮み \(a\)、Pは静止）の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\):

• \(E_{\text{初}} = \frac{1}{2}ka^2\) (問1と同じ)

考察する状態（ばねの縮み \(\frac{1}{2}a\)、Pの速さ \(u\)）の力学的エネルギー \(E_{\text{途中}}\):

• 運動エネルギー \(K_{\text{途中}} = \frac{1}{2}mu^2\)
• 弾性エネルギー \(U_{\text{ばね,途中}} = \frac{1}{2}k\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}k\frac{a^2}{4} = \frac{1}{8}ka^2\)
• \(E_{\text{途中}} = K_{\text{途中}} + U_{\text{ばね,途中}} = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{8}ka^2\)

力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{初}} = E_{\text{途中}}\)。
$$ \frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{8}ka^2 $$

$$ \frac{1}{2}ka^2 = \frac{1}{2}mu^2 + \frac{1}{8}ka^2 $$
\(\frac{1}{2}mu^2\) について整理すると、
$$ \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}ka^2 – \frac{1}{8}ka^2 $$
右辺を通分して計算します (\(\frac{1}{2} – \frac{1}{8} = \frac{4}{8} – \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\))。
$$ \frac{1}{2}mu^2 = \frac{3}{8}ka^2 $$
両辺に \(2\) を掛けると、
$$ mu^2 = \frac{3}{4}ka^2 $$
\(u^2\) について解くと、
$$ u^2 = \frac{3k}{4m}a^2 $$
速さ \(u\) は正なので、
$$ u = \sqrt{\frac{3k}{4m}a^2} = a\sqrt{\frac{3k}{4m}} = a\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{k}{m}} $$

最初にあったばねの弾性エネルギー \(\frac{1}{2}ka^2\) が、ばねの縮みが \(\frac{a}{2}\) になったときには、一部が小球の運動エネルギー \(\frac{1}{2}mu^2\) に変わり、残りはまだばねに弾性エネルギー \(\frac{1}{2}k(\frac{a}{2})^2\) として蓄えられています。つまり、「最初の弾性エネルギー = その瞬間の運動エネルギー + その瞬間の弾性エネルギー」という式を立てて \(u\) を求めます。

ばねの縮みが \(\frac{1}{2}a\) のときの速さ \(u = a\sqrt{\frac{3k}{4m}}\)。
この速さは、点Aでの速さ \(v = a\sqrt{\frac{k}{m}}\) よりも小さいです (\(\sqrt{\frac{3}{4}} \approx 0.866 < 1\))。これは、ばねがまだエネルギーを完全に放出しきっておらず、一部を弾性エネルギーとして保持しているため、運動エネルギーに変換された分が少ないことを意味し、物理的に妥当です。

問3

思考の道筋とポイント
ばねを自然長から \(a\) だけ縮ませるのに必要な外力の仕事 \(W\) を考えます。このとき、外力はばねの弾性力に抗して仕事をします。もし小球をゆっくりと縮ませたとすると、外力のした仕事は、ばねに蓄えられた弾性エネルギーの増加分に等しくなります。

この設問における重要なポイント

• 外力が保存力（ここでは弾性力）に抗してする仕事は、その系のポテンシャルエネルギー（ここでは弾性エネルギー）の変化量に等しい（ただし、運動エネルギーの変化がないか、無視できる場合）。
• ばねを \(x\) だけ変形させるのに必要な外力の仕事は、蓄えられる弾性エネルギー \(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\) に等しい。

具体的な解説と立式
ばねを自然長から \(a\) だけ縮ませるのに必要な外力の仕事 \(W\) は、その結果ばねに蓄えられる弾性エネルギーに等しいです。
始状態（自然長）の弾性エネルギー: \(U_{\text{ばね,初}} = 0\)。
終状態（縮み \(a\)）の弾性エネルギー: \(U_{\text{ばね,後}} = \frac{1}{2}ka^2\)。
外力の仕事 \(W\) は、この弾性エネルギーの変化量です。
$$ W = U_{\text{ばね,後}} – U_{\text{ばね,初}} $$

$$ W = \frac{1}{2}ka^2 – 0 = \frac{1}{2}ka^2 $$

ばねを縮めるという行為は、ばねにエネルギーを「蓄える」行為です。ばねを \(a\) だけ縮めたときに蓄えられるエネルギー（弾性エネルギー）は \(\frac{1}{2}ka^2\) です。したがって、このエネルギーを蓄えるために外から加えなければならなかった仕事も \(\frac{1}{2}ka^2\) となります。

外力の仕事 \(W = \frac{1}{2}ka^2\)。
これは、ばねを \(a\) だけ縮めたときに蓄えられる弾性エネルギーの大きさと一致します。単位は仕事（エネルギー）の単位であるジュール [J] です。

問4

思考の道筋とポイント
点Aを速さ \(v\) で通過した小球Pは、あらい水平面上で動摩擦力を受けて運動エネルギーを失い、やがて点Bで静止します。この過程では、力学的エネルギーは保存されません。小球の運動エネルギーの変化が、動摩擦力のした仕事に等しいという「仕事とエネルギーの関係」を用います。

この設問における重要なポイント

• あらい面では力学的エネルギーは保存されない。仕事とエネルギーの関係（特に運動エネルギーの変化と非保存力の仕事）を適用する。
• 動摩擦力の大きさを正しく計算する。水平面では、垂直抗力 \(N\) は重力 \(mg\) に等しいので、動摩擦力 \(f = \mu N = \mu mg\)。
• 動摩擦力のする仕事は、物体の運動エネルギーを減少させるため負の値（\(W_f = -f \times \text{距離}\)）となる。

具体的な解説と立式
点Aでの運動エネルギー: \(K_A = \frac{1}{2}mv^2\)。
点Bで静止するので、運動エネルギー: \(K_B = 0\)。
AB間で動摩擦力がする仕事 \(W_f\):
動摩擦力の大きさ \(f = \mu N\)。水平面なので垂直抗力 \(N = mg\)。よって \(f = \mu mg\)。
動摩擦力は運動と逆向きにはたらくので、仕事は \(W_f = -f \cdot \text{AB} = -\mu mg \cdot \text{AB}\)。

仕事と運動エネルギーの関係 \(\Delta K = W_{\text{合計}}\) より、
$$ K_B – K_A = W_f $$
$$ 0 – \frac{1}{2}mv^2 = -\mu mg \cdot \text{AB} $$

$$ -\frac{1}{2}mv^2 = -\mu mg \cdot \text{AB} $$
両辺のマイナス符号を取り、
$$ \frac{1}{2}mv^2 = \mu mg \cdot \text{AB} $$
距離 AB について解くと、
$$ \text{AB} = \frac{\frac{1}{2}mv^2}{\mu mg} = \frac{mv^2}{2\mu mg} $$
質量 \(m\) を約分して、
$$ \text{AB} = \frac{v^2}{2\mu g} $$

小球が点Aで持っていた運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) は、あらい面を滑るうちに摩擦によって熱エネルギーに変わり、全て失われたときに点Bで止まります。摩擦がする仕事の大きさは「動摩擦力の大きさ \(\times\) 滑った距離 AB」です。動摩擦力の大きさは \(\mu mg\) なので、「失われた運動エネルギー = 摩擦がした仕事の大きさ」という式 \(\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg \cdot \text{AB}\) を立てて AB を求めます。

距離 AB \( = \frac{v^2}{2\mu g}\)。
この結果は、初速度 \(v\) が大きいほど、また動摩擦係数 \(\mu\) や重力加速度 \(g\) が小さいほど、停止するまでの距離が長くなることを示しており、直観と一致します。単位も距離 \([\text{m}]\) として正しいです。

問5

思考の道筋とポイント
点Aを速さ \(v\) で通過した小球Pが、傾斜角 \(30^\circ\) のあらい斜面を登り、最高点Cで一瞬静止するまでの運動を考えます。この過程では、小球の初期の運動エネルギーが、重力による位置エネルギーの増加と、斜面上の動摩擦力がする仕事（熱エネルギーへの変換）によって消費されます。ここでも仕事とエネルギーの関係を用います。

この設問における重要なポイント

• 斜面上の運動では、重力を斜面に平行な成分と垂直な成分に分解して考える。
• 斜面上の垂直抗力 \(N\) は \(mg\cos\theta\) となる（\(\theta\) は斜面の傾斜角）。
• 動摩擦力の大きさは \(f = \mu N = \mu mg\cos\theta\)。
• 初期の運動エネルギーが、位置エネルギーの増加と摩擦による損失の和に等しくなるというエネルギー収支の観点から立式する。

具体的な解説と立式
点Aを重力による位置エネルギーの基準（高さ \(0\)）とします。
始状態（点A）のエネルギー:

• 運動エネルギー \(K_A = \frac{1}{2}mv^2\)
• 位置エネルギー \(U_{\text{重力,A}} = 0\)

終状態（最高点C、一瞬静止）のエネルギー:

• 運動エネルギー \(K_C = 0\)
• 位置エネルギー \(U_{\text{重力,C}} = mgh_C\)。距離 AC を登るので、高さ \(h_C = \text{AC}\sin 30^\circ\)。

AC間で動摩擦力がする仕事 \(W_f\):

• 斜面上の垂直抗力 \(N = mg\cos 30^\circ\)。
• 動摩擦力の大きさ \(f = \mu N = \mu mg\cos 30^\circ\)。
• 仕事 \(W_f = -f \cdot \text{AC} = -\mu mg\cos 30^\circ \cdot \text{AC}\)。

エネルギー収支の考え方: 「始状態の力学的エネルギー + 非保存力の仕事 = 終状態の力学的エネルギー」
$$ (K_A + U_{\text{重力,A}}) + W_f = K_C + U_{\text{重力,C}} $$
$$ \frac{1}{2}mv^2 + 0 – \mu mg\cos 30^\circ \cdot \text{AC} = 0 + mg(\text{AC}\sin 30^\circ) $$
整理すると、
$$ \frac{1}{2}mv^2 = mg(\text{AC}\sin 30^\circ) + \mu mg\cos 30^\circ \cdot \text{AC} $$
これが模範解答の立式と同じ形です。

$$ \frac{1}{2}mv^2 = mg \cdot \text{AC} \sin 30^\circ + \mu mg \cos 30^\circ \cdot \text{AC} $$
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)、\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) を代入します。
$$ \frac{1}{2}mv^2 = mg \cdot \text{AC} \cdot \frac{1}{2} + \mu mg \cdot \text{AC} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
両辺の \(m\) を消去します。
$$ \frac{1}{2}v^2 = g \cdot \text{AC} \cdot \frac{1}{2} + \mu g \cdot \text{AC} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
両辺に \(2\) を掛けて分母を払います。
$$ v^2 = g \cdot \text{AC} + \mu g \cdot \text{AC} \cdot \sqrt{3} $$
右辺を \(g \cdot \text{AC}\) でくくります。
$$ v^2 = g \cdot \text{AC} (1 + \sqrt{3}\mu) $$
距離 AC について解くと、
$$ \text{AC} = \frac{v^2}{g(1 + \sqrt{3}\mu)} $$

小球が点Aで持っていた運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) は、斜面を登るにしたがって２つのものに変わっていきます。

1. ひとつは、斜面を登ることで高くなることによる「位置エネルギーの増加」です。距離 AC だけ登ると、高さは \(\text{AC} \times \sin 30^\circ\) だけ増えます。
2. もうひとつは、斜面との摩擦によって発生する「熱エネルギー」です。これは「動摩擦力の大きさ \(\times\) 斜面に沿って滑った距離 AC」で計算できます。動摩擦力は \(\mu mg \cos 30^\circ\) です。

元の運動エネルギーが、これら２つのエネルギーの合計に等しくなったとき、小球は最高点Cで止まります。この関係から AC を求めます。

距離 AC \( = \frac{v^2}{g(1 + \sqrt{3}\mu)}\)。
この結果は、初速度 \(v\) が大きいほど、また重力加速度 \(g\) や動摩擦係数 \(\mu\) が小さいほど、斜面を登る距離 AC が長くなることを示しており、物理的な直観と一致します。特に \(\mu=0\)（滑らかな斜面）の場合、\(\text{AC} = \frac{v^2}{g}\) となりますが、これは力学的エネルギー保存則 \(\frac{1}{2}mv^2 = mg(\text{AC}\sin 30^\circ) = mg\frac{\text{AC}}{2}\) からも \(\text{AC} = \frac{v^2}{g}\) が導かれ、整合性が取れています。単位も距離 \([\text{m}]\) として正しいです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則（弾性エネルギーを含む）:
  • 摩擦や空気抵抗がない状況で、ばねの弾性力や重力（保存力）のみが仕事をする場合、運動エネルギーと位置エネルギー（弾性エネルギーや重力による位置エネルギー）の和は常に一定に保たれます。
  • 本問(1), (2)では、滑らかな面でのばねの運動に適用されました。
• 仕事とエネルギーの関係（エネルギー原理）:
  • 物体の運動エネルギーの変化量は、その物体にはたらく全ての力の合力がした仕事に等しい (\(\Delta K = W_{\text{合計}}\))。
  • より一般的には、系の力学的エネルギーの変化量は、非保存力（摩擦力など）がした仕事に等しい (\(\Delta E_{\text{力学}} = W_{\text{非保存力}}\))。
  • 本問(4), (5)では、動摩擦力が仕事をするため力学的エネルギーが保存されず、この関係を用いて解きました。
• 弾性エネルギー: \(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\) で表され、ばねの自然長からの変位 \(x\) の二乗に比例します。
• 動摩擦力の仕事: 動摩擦力 \(f = \mu N\) が距離 \(L\) だけはたらくとき、その仕事は \(W_f = -fL = -\mu NL\) となり、常に負（エネルギーを奪う）です。垂直抗力 \(N\) の計算が重要。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • ばね振り子の運動で、途中にあらい区間がある場合。
  • ばねで打ち上げられた物体が斜面を登る、または放物運動をする場合。
  • 複数の物体がばねや糸で連結され、摩擦も考慮するような複雑な系。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 運動の区間分け: まず、運動がどのような段階に分けられるか（例: ばねが作用する区間、滑らかな面、あらい面、斜面など）を把握する。
  2. 各区間での力の分析: 各区間で物体にはたらく力を全て図示し、特に非保存力（摩擦力など）の有無を確認する。
  3. エネルギー保存の適否判断: 力学的エネルギー保存則が使える区間か、仕事とエネルギーの関係を使うべき区間かを見極める。
  4. エネルギー形態の特定: 運動エネルギー、弾性エネルギー、重力による位置エネルギーのうち、どの形態のエネルギーが関与し、どのように変化するかを追う。
  5. 始点と終点の明確化: エネルギーに関する式を立てる際には、どの瞬間とどの瞬間を比較しているのか（始状態と終状態）をはっきりさせる。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • 弾性エネルギーの \(x\) は「自然長からの変化量」。
  • 摩擦力が関わる場合、垂直抗力 \(N\) を正しく求めることが最優先（水平面か斜面かで異なる）。
  • 仕事の正負に注意する（エネルギーを増やす仕事か、減らす仕事か）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 弾性エネルギーの変位 \(x\): ばねの長さそのものではなく、「自然長からの伸びまたは縮み」を使うべきところを誤る。
  • 対策: 自然長の位置を常に意識する。
• 垂直抗力 \(N\) の計算: 斜面上で \(N=mg\) としてしまう誤り。正しくは \(N=mg\cos\theta\)。
  • 対策: 必ず力を図示し、斜面に垂直な方向の力のつりあいを考える。
• 動摩擦力の仕事の符号: 動摩擦力は常に運動を妨げる向きにはたらくため、その仕事は常に負になる。これを正としてしまうミス。
  • 対策: 仕事の定義 \(W=Fx\cos\theta\) で \(\theta=180^\circ\) であることを確認する。
• 力学的エネルギー保存則の乱用: 摩擦力がはたらいている区間でも、安易に力学的エネルギー保存則を適用してしまう。
  • 対策: 非保存力の仕事の有無を必ず確認する。
• (問5)でのエネルギー勘定: 位置エネルギーの増加と摩擦による損失を混同したり、片方を見落としたりする。
  • 対策: 「初期の全エネルギー = 最終的な全エネルギー + 途中で失われたエネルギー」というエネルギー収支の考え方を基本にする。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. ばねが最も縮んだ状態、途中の状態、自然長の状態、それぞれの図と、対応するエネルギー（弾性エネルギー、運動エネルギー）の概念図。
  2. あらい面での運動では、動摩擦力がはたらき続けることで運動エネルギーが徐々に減少していくイメージ。
  3. (問5)の斜面上の運動では、物体にはたらく力（重力、垂直抗力、動摩擦力）を正確に図示する。特に重力を斜面方向と垂直方向に分解する図は必須。
• 図を描く際の注意点:
  • 力のベクトルは作用点から、向きと相対的な大きさがわかるように描く。
  • 角度や既知の長さを明記する。
  • 座標軸を設定すると、成分分解や運動の記述が整理される場合がある。
  • エネルギーの移り変わりを簡単な棒グラフなどで可視化してみるのも理解の助けになる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則 (\(K_{\text{初}} + U_{\text{ばね,初}} = K_{\text{後}} + U_{\text{ばね,後}}\)): (問1, 2)
  • 選定理由: 「滑らかな面」で「ばね」という保存力のみが実質的に仕事をするため。
  • 適用根拠: 非保存力（摩擦など）の仕事が0であること。
• 外力の仕事と弾性エネルギー (\(W_{\text{外力}} = \frac{1}{2}ka^2\)): (問3)
  • 選定理由: ばねを縮める（エネルギーを蓄える）のに必要な仕事を問われているため。
  • 適用根拠: ゆっくり操作した場合、外力の仕事はポテンシャルエネルギーの増加分に等しい。
• 仕事と運動エネルギーの関係 (\(K_{\text{後}} – K_{\text{初}} = W_f\)): (問4)
  • 選定理由: 「あらい面」で動摩擦力という非保存力が仕事をし、物体の速さが変化（運動エネルギーが変化）するため。
  • 適用根拠: 非保存力の仕事が運動エネルギーの変化を引き起こす。
• エネルギー収支 (初期運動エネルギー = 最終位置エネルギー + 摩擦による損失): (問5)
  • 選定理由: 「あらい斜面」で、運動エネルギーが位置エネルギーと摩擦熱に変わる複雑な状況のため。
  • 適用根拠: エネルギーは無から生じたり消えたりせず、形態を変えるだけという普遍的な原理。

どの法則・公式を使うかは、問題の状況（どんな力がはたらくか、エネルギーは保存されるかなど）を正確に把握することから始まります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 状況分析: 問題文と図から、運動の各段階（ばね、滑らかな面、あらい水平面、あらい斜面）を区別し、各段階で作用する力を特定する。
2. 問1 (点Aの速さ \(v\)):
   • 初期状態（縮み \(a\)、静止）と終状態（自然長、速さ \(v\)）を設定。
   • 滑らかなので力学的エネルギー保存則を適用: \(U_{\text{ばね,初}} = K_{\text{後}}\)。
3. 問2 (縮み \(\frac{a}{2}\) の速さ \(u\)):
   • 初期状態（縮み \(a\)、静止）と注目状態（縮み \(\frac{a}{2}\)、速さ \(u\)）を設定。
   • 滑らかなので力学的エネルギー保存則を適用: \(U_{\text{ばね,初}} = K_{\text{途中}} + U_{\text{ばね,途中}}\)。
4. 問3 (外力の仕事 \(W\)):
   • 外力の仕事がばねの弾性エネルギーの増加に等しいと考える。\(W_{\text{外力}} = \Delta U_{\text{ばね}}\)。
5. 問4 (距離 AB):
   • 始状態（点A、速さ \(v\)）と終状態（点B、静止）を設定。
   • 動摩擦力の大きさを計算: \(f = \mu mg\)。
   • 仕事とエネルギーの関係を適用: \(K_{\text{初}} – |W_f| = K_{\text{後}}\) または \(K_{\text{後}} – K_{\text{初}} = W_f\)。
6. 問5 (距離 AC):
   • 始状態（点A、速さ \(v\)）と終状態（点C、静止、高さ \(h_C\)）を設定。
   • 斜面上の動摩擦力の大きさを計算: \(f’ = \mu mg\cos 30^\circ\)。
   • エネルギー収支の式を立てる: \(K_{\text{初}} = U_{\text{重力,後}} + |W_f’|\)。

各ステップで、どの物理量が既知で何が未知かを明確にしながら進めます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の一貫性: 計算の全過程で単位系を統一する（本問はSI単位系が基本）。最終的な答えの単位が物理的に正しいか検算する。
• 文字式の丁寧な扱い: できるだけ最後まで文字で計算し、約分や式の整理を慎重に行う。特に添え字や係数の付け間違いに注意。
• 符号の確認: 仕事の正負（エネルギーを増やすか減らすか）、エネルギーの各項の符号を常に意識する。
• 三角関数の正確な使用: \(\sin\theta, \cos\theta\) の取り違え、値の記憶違い（例: \(\sin 30^\circ, \cos 30^\circ\)）。必要なら単位円や三角形を描いて確認。
• 複雑な式の整理: 複数の項がある場合、求める変数について整理する際に、分配法則や通分などを間違えないように一つ一つ丁寧に行う。
• 途中式の書き出し: 暗算に頼らず、主要な計算ステップは書き出すことで、見直しやミス発見が容易になる。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直観との比較:
  • (1) \(a\) や \(k\) が大きいほど \(v\) は大きくなるか？ \(m\) が大きいほど小さくなるか？
  • (2) \(u\) は \(v\) より小さいか？（エネルギーがまだ弾性エネルギーとして残っているため）
  • (4)(5) 摩擦係数 \(\mu\) が大きいほど停止距離は短くなるか？ 初速 \(v\) が大きいほど長くなるか？
  • (5) もし斜面が滑らか (\(\mu=0\)) だったら、距離 AC はどうなるか？その結果は力学的エネルギー保存から導かれるものと一致するか？（一致することを確認済み）
• 単位の最終確認: 求めた物理量の単位が正しいか（速さなら \([\text{m/s}]\)、仕事なら \([\text{J}]\)、距離なら \([\text{m}]\)。
• 極端な条件での検討:
  • もし \(k \to 0\) (ばねが極端に弱い) なら、\(v, u, W \to 0\) となるか？
  • もし \(a \to 0\) (縮ませない) なら、\(v, u, W \to 0\) となるか？
  • もし \(\mu \to 0\) (摩擦がない) なら、(4)で AB \(\to \infty\) (止まらない)、(5)で AC は摩擦がない場合の値になるか？

これらの吟味は、単に答えが合っているかだけでなく、物理法則の理解を深め、応用力を高める上で非常に重要です。

問題23 (金沢大＋大阪電通大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、定滑車と動滑車を組み合わせた系におけるおもりのつりあいと運動を扱います。動滑車の特性（力の関係、変位の関係）を理解し、系全体の力学的エネルギー保存則、あるいは各物体についての運動方程式を用いて解くことが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題では、力のつりあい、動滑車の性質、そして複数物体からなる系の力学的エネルギー保存則または運動方程式が中心的な役割を果たします。

• 動滑車の性質の確認:
  • 力の関係: 動滑車にかかる荷重は、それを支える両側の糸の張力の合計に等しい。
  • 変位・速度の関係: 動滑車側の物体の変位・速度に対し、糸を引く側の物体の変位・速度はその2倍になる。
• エネルギー保存則の適用: 滑車や糸が滑らかで質量が無視できるため、系全体の力学的エネルギーは保存されます。
• 運動方程式の適用: 各物体にはたらく力を分析し、加速度と力の関係を記述します。

問1

思考の道筋とポイント
全体が静止しているため、おもりA（および質量を無視できる動滑車）と、おもりBそれぞれにはたらく力がつり合っています。糸 \(\alpha\) は一本の軽い糸なので、張力の大きさはどの部分でも等しく \(T\) となります。

この設問における重要なポイント

• 静止している物体にはたらく力の合力は0である（力のつりあい）。
• 動滑車には2本の糸が掛かっており、おもりAの重力 \(Mg\) をこの2本の張力で支えていると考える。
• 1本の軽い糸の張力は、どの部分でも同じ大きさである。

具体的な解説と立式
おもりAと動滑車にはたらく力は、下向きに重力 \(Mg\)、上向きに2つの張力 \(T\) です。
おもりBにはたらく力は、下向きに重力 \(m_0 g\)、上向きに張力 \(T\) です。

力のつりあいより、

• Aと動滑車について: $$ 2T = Mg $$
• Bについて: $$ T = m_0 g $$

1. 張力 \(T\) の計算:
Aと動滑車のつりあいの式 \(2T = Mg\) より、
$$ T = \frac{1}{2}Mg $$

2. 質量 \(m_0\) の計算:
Bのつりあいの式 \(T = m_0 g\) に、上で求めた \(T\) を代入すると、
$$ \frac{1}{2}Mg = m_0 g $$
両辺を \(g\) で割る（\(g \neq 0\)）と、
$$ m_0 = \frac{M}{2} $$

• 張力T: おもりAは重さ \(Mg\) で下に引っ張られていますが、動滑車によって2本のロープ部分で支えられています。滑車の重さが無視できるので、この2本のロープ部分がそれぞれ同じ力 \(T\) でAを持ち上げていると考えます。つまり、\(T+T\) が \(Mg\) とつり合っているので、\(T\) は \(Mg\) の半分になります。
• 質量 \(m_0\): おもりBは、この張力 \(T\) で持ち上げられて静止しているので、Bの重さ \(m_0 g\) が張力 \(T\) と等しくなります。

糸 \(\alpha\) の張力 \(T = \frac{1}{2}Mg\)、Bの質量 \(m_0 = \frac{M}{2}\)。
これは、動滑車を用いることで、おもりAの重さの半分の重さのおもりBでつり合わせることができるという、動滑車の基本的な「力を半分にする」効果を示しています。

問2 (ア)

思考の道筋とポイント
Aが高さ \(h\) だけ上昇したとき、動滑車の両側の糸がそれぞれ \(h\) ずつ手繰り寄せられる必要があります。この合計 \(2h\) の長さの糸は、おもりB側から供給されるため、Bは \(2h\) だけ下降します。速さについても同様の関係が成り立ちます。

この設問における重要なポイント

• 動滑車の構造から、一方の物体の変位（または速度）と、他方の物体の変位（または速度）の間に成り立つ幾何学的な関係（束縛条件）を正しく導き出すこと。
• Aの変位を \(s_A\)、Bの変位を \(s_B\) とすると、\(s_B = 2s_A\) の関係がある。

具体的な解説と立式
Aが \(h\) 上昇するとき、動滑車を支える2部分の糸がそれぞれ \(h\) だけ短くなるのと同じ効果があります。この短くなった分の糸は、Bが下がることで供給されるので、Bの下降距離 \(s_B\) は、
$$ s_B = h + h = 2h $$
速さについても同様の関係が成り立ち、Aの速さを \(v\) とすると、Bの速さ \(v_B\) は、
$$ v_B = 2v $$

上記の立式の通りです。

動滑車は、ロープを引く長さの半分だけ荷物が持ち上がる、という仕組みです。逆に言うと、荷物（おもりA）が \(h\) だけ持ち上がるためには、ロープ（おもりB側）をその2倍の長さである \(2h\) だけ引かなければなりません。速さも同じで、Aが速さ \(v\) で上がると、Bは速さ \(2v\) で下がる必要があります。

Bの下がった距離は \(2h\)、Bの速さは \(2v\)。これは動滑車を含む系では基本的な関係です。

問2 (イ)

思考の道筋とポイント
おもりB（質量 \(m\)）が (ア)で求めた距離 \(2h\) だけ下降したことによる、重力位置エネルギーの減少量を計算します。位置エネルギーの減少量は \(mg \times (\text{下降距離})\) で求められます。

この設問における重要なポイント

• 重力による位置エネルギーの変化は、質量 \(\times\) 重力加速度 \(\times\) 高さの変化 で計算できる。
• 物体が下降する場合は位置エネルギーは減少し、その減少分が「失った位置エネルギー」となる。

具体的な解説と立式
おもりBの質量は \(m\)、下降した距離は \(2h\) なので、Bが失った重力の位置エネルギー \(\Delta U_{\text{重力,B}}\) は、
$$ \Delta U_{\text{重力,B}} = mg \times (2h) $$

$$ \Delta U_{\text{重力,B}} = 2mgh $$

おもりBの重さは \(mg\) です。このおもりが \(2h\) だけ下に落ちたので、その間に重力がした仕事、あるいは失った「高さのエネルギー」は、「重さ \(\times\) 落ちた高さ」で \(mg \times 2h\) となります。

Bが失った重力の位置エネルギーは \(2mgh\)。これはエネルギーの単位 [J] を持ちます。

問2 (ウ)

思考の道筋とポイント
系全体（おもりAとおもりB）について力学的エネルギー保存則を適用します。滑車と糸は滑らかで質量が無視できるため、非保存力は仕事をせず、系全体の力学的エネルギーは保存されます。
始状態（A, Bを静かに放した瞬間）と、終状態（Aが \(h\) 上昇し速さ \(v\)、Bが \(2h\) 下降し速さ \(2v\) になった瞬間）とを比較します。
「Bが失った位置エネルギー」が、「Aが増加した位置エネルギー」と「AとBが増加した運動エネルギーの合計」に等しい、というエネルギー収支の形で立式するのが分かりやすいでしょう。

この設問における重要なポイント

• 複数の物体が連結されて運動する場合でも、系全体として非保存力の仕事がなければ力学的エネルギー保存則が成り立つ。
• 各物体の位置エネルギーの変化と運動エネルギーの変化を正確に把握し、全体のエネルギー収支を考える。
• AとBの速度関係 (\(v_B=2v_A\)) を運動エネルギーの項に正しく反映させる。

具体的な解説と立式
エネルギー収支の観点から立式します。

• Bが失った位置エネルギー: \(2mgh\) （(イ)の結果より）
• Aが増加した位置エネルギー: \(Mgh\)
• Aが増加した運動エネルギー: \(\frac{1}{2}Mv^2\)
• Bが増加した運動エネルギー: \(\frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{1}{2}m(4v^2) = 2mv^2\)

したがって、力学的エネルギー保存則は以下のように表せます。
(Bが失った位置エネルギー) = (Aが増加した位置エネルギー) + (Aが増加した運動エネルギー) + (Bが増加した運動エネルギー)
$$ 2mgh = Mgh + \frac{1}{2}Mv^2 + 2mv^2 $$

$$ 2mgh = Mgh + \frac{1}{2}Mv^2 + 2mv^2 $$
運動エネルギーの項を右辺に、位置エネルギーの項を左辺にまとめると（既にその形）、
$$ 2mgh – Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + 2mv^2 $$
左辺を \(gh\) で、右辺を \(v^2\) でくくります。
$$ (2m-M)gh = \left(\frac{1}{2}M + 2m\right)v^2 $$
右辺の括弧内を通分します。
$$ (2m-M)gh = \left(\frac{M + 4m}{2}\right)v^2 $$
\(v^2\) について解くために、両辺に \(\frac{2}{M+4m}\) を掛けます。
$$ v^2 = \frac{2(2m-M)gh}{M+4m} $$
\(v\) は速さなので正であり、
$$ v = \sqrt{\frac{2(2m-M)gh}{M+4m}} $$
これは模範解答の \(v = \sqrt{\frac{2(2m-M)}{4m+M}gh}\) と同じです。

この装置全体でエネルギーがどのように変化したかを考えます。おもりBが下に移動することで「高さのエネルギー」を失いますが、そのエネルギーは無駄になるのではなく、他の形に変わります。

1. おもりAが上に持ち上げられることで、Aの「高さのエネルギー」が増えます。
2. おもりAとおもりBが動き出すことで、それぞれ「運動のエネルギー」を持ちます。

「Bが失った高さのエネルギー」が、これら3つのエネルギーの増加分の合計に等しい、という関係式を立てます。その際、Bの速さはAの速さの2倍であることに注意して、運動エネルギーを計算します。この式からAの速さ \(v\) を求めます。

Aの速さ \(v = \sqrt{\frac{2(2m-M)}{4m+M}gh}\)。
この式が物理的に意味を持つためには、根号の中が正である必要があります。すなわち \(2m-M > 0 \Rightarrow m > M/2\) であることが必要です。これは、(1)で求めたつり合いの条件 \(m_0 = M/2\) と比較して、Bの質量 \(m\) が \(m_0\) より大きい場合にBが下降しAが上昇する運動が起こるという直観と一致します。もし \(m \le M/2\) ならば、そもそも静かに放してもBは下降せず、Aも上昇しません（または逆向きの運動を考える状況になる）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 動滑車の原理（力の伝達と変位・速度の関係）:
  • 動滑車を介した力のつり合いでは、動滑車にかかる荷重を2本の糸で分担する（\(2T=Mg\)）。
  • 動滑車を介した運動では、動滑車側の物体の変位・速度に対し、それを引く糸の側の変位・速度は2倍になる（\(s_B=2s_A, v_B=2v_A\)）。これは幾何学的な束縛条件から導かれる。
• 力のつりあい: 静止している物体や系では、作用する力のベクトル和が0になる。
• 力学的エネルギー保存則（複数物体系）:
  • 摩擦や空気抵抗などの非保存力が仕事をしない系では、系全体の運動エネルギーと位置エネルギー（重力ポテンシャル、弾性ポテンシャル等）の総和は保存される。
  • 「失われたエネルギーの総和＝増加したエネルギーの総和」というエネルギー収支の考え方が有効。
• 運動方程式（参考）: 各物体について運動の法則 \(ma=F\) を立て、張力や加速度の間の束縛条件と連立させることで、より詳細な運動の解析（加速度や張力の時間変化など）も可能。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • アトウッドの器械（定滑車と2物体）や、より複雑な滑車の組み合わせ問題。
  • 斜面と滑車を組み合わせた系の運動。
  • 複数の物体が糸や棒で連結され、互いに影響を及ぼしながら運動する問題。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 滑車の種類の特定: 定滑車か動滑車か、あるいはその組み合わせか。
  2. 糸の経路と張力: 糸がどのようにかかっているかを図で正確に把握し、1本の軽い糸なら張力は一定であることを利用する。
  3. 束縛条件の発見: 物体間の変位、速度、加速度の関係（特に動滑車や伸びない糸によるもの）を見抜く。これが立式の重要な鍵となる。
  4. 力の図示と作用点の確認: 各物体にはたらく力を漏れなく図示する。
  5. 解法戦略の選択:
     • 静止状態やつり合いを問うなら「力のつりあい」。
     • 速さや変位を問い、非保存力の仕事がないなら「力学的エネルギー保存則」。
     • 加速度や張力を問う、またはエネルギー保存が複雑なら「運動方程式」。
• ヒント・注意点:
  • 動滑車の問題では、まず「変位・速度の関係」と「力の関係」を正確に把握することが最優先。
  • 力学的エネルギー保存則を適用する際は、基準点の取り方を明確にし、系全体のエネルギー変化を追う。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 動滑車の変位・速度関係の誤り: AとBの変位や速度を等しいとしてしまう。
  • 対策: 動滑車の図を描き、糸がどれだけ手繰られるかを具体的に考える。\(1:2\) の関係を常に意識する。
• 動滑車の力の関係の誤り: 動滑車にかかる張力を1本分としてしまう（正しくは2本分で荷重を支える）。
  • 対策: 動滑車にかかる糸の部分を数え、それぞれの張力を考慮する。
• 力学的エネルギー保存則の立式ミス:
  • 複数物体のうち、一方の物体のエネルギー変化しか考慮しない。
  • 速度関係を運動エネルギーの項に正しく反映させない（例: \((2v)^2\) を \(2v^2\) としたり、単に \(v^2\) としたりする）。
  • 位置エネルギーの増減の符号を間違える。
  • 対策: 各物体の各エネルギー項（運動エネルギー、位置エネルギー）を丁寧に書き出し、全体の収支を確認する。
• 運動方程式の立式ミス:
  • 張力の向き、加速度の向き（正負）を混同する。
  • 加速度の間の関係（例: \(a_B=2a_A\)）を見落とすか、誤って適用する。
  • 対策: 各物体ごとにフリーボディダイアグラムを描き、座標軸を設定して丁寧に立式する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. 問題の装置全体の構成図。定滑車と動滑車の位置関係、糸のかかり方を正確に。
  2. 各物体にはたらく力のベクトル図（フリーボディダイアグラム）。静止時と運動時で張力が異なる可能性も意識する。
  3. (問2ア) Aが \(h\) 上昇し、Bが \(2h\) 下降する様子の模式図。糸の長さの変化が視覚的にわかるように。
• 図を描く際の注意点:
  • 力は作用点から、向きと（相対的な）大きさがわかるように描く。
  • 変位や速度、加速度もベクトルとして向きを意識して描く。
  • 糸の張力は、糸が物体を引く向きにはたらくことを明確にする。
  • 滑車の回転は考えなくてよい（質量無視、滑らか）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい (\(\sum \vec{F} = 0\)): (問1)
  • 選定理由: 「全体は静止した」という記述があるため。
  • 適用根拠: ニュートンの第1法則（慣性の法則）。静止物体にはたらく合力は0。
• 動滑車の変位・速度関係 (\(s_B = 2s_A, v_B = 2v_A\)): (問2ア)
  • 選定理由: AとBの運動が独立ではなく、動滑車と伸びない糸によって関連付けられているため。
  • 適用根拠: 糸の全長が変化しないという幾何学的な束縛条件。
• 力学的エネルギー保存則 (\(E_{\text{力学,初}} = E_{\text{力学,後}}\)): (問2ウの主解法)
  • 選定理由: 「滑らかな滑車」「軽い糸」「質量無視の滑車」という条件から、摩擦や空気抵抗といった非保存力が仕事をしないと判断できるため。
  • 適用根拠: 系内の力が保存力（重力）のみであるか、非保存力の仕事が0の場合に成り立つ。
• 運動方程式 (\(m\vec{a} = \sum \vec{F}\)): (問2ウの別解)
  • 選定理由: 各物体の運動状態（加速度）とそれに作用する力の関係を直接記述するため。エネルギー保存則とは異なる視点からのアプローチ。
  • 適用根拠: ニュートンの第2法則。物体の加速度は、作用する合力に比例し、質量に反比例する。

問題の条件や問われている内容に応じて、最適な物理法則を選択する洞察力が求められます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問1 (つりあい状態の解析):
   1. Aと動滑車、Bそれぞれについて力のつりあいを考える。
   2. A側: 上向きの力 \(2T\)、下向きの力 \(Mg\)。よって \(2T = Mg\)。
   3. B側: 上向きの力 \(T\)、下向きの力 \(m_0 g\)。よって \(T = m_0 g\)。
   4. 上記2式を連立して \(T\) と \(m_0\) を \(M, g\) で表す。
2. 問2 (運動状態の解析):
   1. (ア) Bの下降距離と速さ: 動滑車の原理から、Aの上昇距離 \(h\) と速さ \(v\) に対して、Bの下降距離は \(2h\)、速さは \(2v\) となる。
   2. (イ) Bが失った位置エネルギー: Bの質量 \(m\) と下降距離 \(2h\) から、\(mg(2h)\) を計算する。
   3. (ウ) Aの速さ \(v\) (エネルギー保存則を用いる場合):
      1. 始状態（静止）と終状態（Aが \(h\) 上昇、Bが \(2h\) 下降）を設定。
      2. エネルギーの変化を追う:
         • Aの位置エネルギー増加: \(+Mgh\)
         • Bの位置エネルギー減少: \(-2mgh\) (これが系のエネルギー源となる)
         • Aの運動エネルギー増加: \(+\frac{1}{2}Mv^2\)
         • Bの運動エネルギー増加: \(+\frac{1}{2}m(2v)^2\)
      3. 力学的エネルギー保存則（Bの失った位置エネルギー = Aの位置エネルギー増加 + AとBの運動エネルギー増加）を立式: \(2mgh = Mgh + \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}m(2v)^2\)。
      4. この式を \(v\) について解く。
   4. (ウ) Aの速さ \(v\) (運動方程式を用いる場合 – 参考):
      1. A, B それぞれの運動方程式を立てる（張力を \(T’\)、Aの上向き加速度を \(a\)、Bの下向き加速度を \(2a\) とおく）。
      2. A: \(Ma = 2T’ – Mg\)
      3. B: \(m(2a) = mg – T’\)
      4. 2式から \(T’\) を消去して \(a\) を求める。
      5. 等加速度運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2as\) (ここでは \(v^2 = 2ah\)) を用いて \(v\) を求める。

各ステップで何が既知で何が未知かを意識し、適切な関係式を選ぶことが重要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 動滑車の関係の正確な適用: 力の関係 (\(1:2\)) と変位・速度の関係 (\(2:1\)) を混同しないように、図を描いて確認する。
• エネルギー項の正確な記述: 特に運動エネルギーの項で速度の二乗を忘れない。また、複数物体の場合、全ての物体のエネルギー変化を考慮に入れる。(\(v\) と \(2v\) の使い分け)
• 運動方程式の符号: 力の向きと加速度の正の向きを明確にし、各項の符号を慎重に決定する。
• 文字の整理と区別: \(M, m, m_0\) や、つり合い時の張力 \(T\) と運動時の張力 \(T’\) など、問題文中の異なる物理量や状態を示す文字を正確に区別して扱う。
• 代数計算の丁寧さ: 連立方程式を解く際や、複雑な分数の形になる最終結果を整理する際に、符号ミスや約分ミスをしないよう、ステップを追って丁寧に計算する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直観との整合性:
  • (1) \(m_0 = M/2\) の結果は、動滑車の基本的な性質（力を半分にする）と合致しているか。
  • (2ウ) \(v\) の式において、運動が起こる条件（根号内が正）は \(2m-M > 0\)、すなわち \(m > M/2\) となり、これは \(m > m_0\) という問題設定と矛盾しないか。
  • もし \(m = M/2\) (つまり \(m=m_0\)) なら、\(v=0\) となり、つり合って動かないという直観と一致するか。
  • 極端な場合を考える。例えば、\(M=0\) のとき、Aは実質的に存在せず、Bが単に糸を引くだけの状況に近いが、動滑車の機構自体は残るため、Bは単純な自由落下とは異なる。式がどのような振る舞いをするか考察する。\(M=0\) を代入すると \(v = \sqrt{\frac{2(2m)gh}{4m}} = \sqrt{gh}\)。このときBの速さは \(2\sqrt{gh}\)。Bが \(2h\) 落下したときの速さが \(2\sqrt{gh}\) というのは、自由落下 \( (2v_B)^2 = 2g(2h) \Rightarrow v_B = \sqrt{gh}\) とは異なる。これはA(質量0)も加速されるため。正しい。
• 単位の確認:
  • 張力: [N] (\(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2\))
  • 質量: [kg]
  • 距離、高さ: [m]
  • 速さ: [m/s] (\(\sqrt{gh}\) の単位は \(\sqrt{(\text{m/s}^2)\text{m}} = \text{m/s}\))
  • エネルギー: [J] (\(\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2\))
• 別解による検証: 可能であれば、エネルギー保存則で解いた問題を運動方程式で解いてみる（またはその逆）など、異なるアプローチで同じ結果が得られるか確認する。

これらの吟味を通じて、解答の正しさを確認するだけでなく、物理現象に対する理解を深めることができます。

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問題24 (大阪電通大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、斜面上に置かれたばね付きおもりの運動と、それに関わる摩擦力、エネルギーの変換を扱います。静止摩擦と動摩擦の違い、力のつりあい、仕事とエネルギーの関係（特に非保存力である摩擦力が仕事をする場合）の理解が求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題の核心は、斜面上の力のつりあい、摩擦力の性質（静止摩擦と動摩擦）、ばねの弾性力とエネルギー、そして仕事とエネルギーの関係です。
まず、重要な準備として、ばね定数 \(k\) を問題文の情報から求めておきます。質量 \(m\) のおもりを鉛直につるすとばねが \(l\) 伸びてつり合うので、力のつりあい \(kl = mg\) より、
$$ k = \frac{mg}{l} $$
この \(k\) を以降の計算で用います。

• (1) 動き始めの条件: 物体が動き出す直前は、最大静止摩擦力がはたらいていると考え、力のつりあい（限界状態）を考えます。
• (2)-(4) エネルギー変化: 物体が動いている間は動摩擦力がはたらき、力学的エネルギーは保存されません。仕事とエネルギーの関係（エネルギー収支）を考えます。ばねの伸びが最大になるとき、物体の速さは一瞬0になります。
• (5) 再び動き出す条件: 一度止まった物体が再び動き出すかどうかも、動き出す直前の力のつりあい（限界状態）と最大静止摩擦力を考えます。

問1

思考の道筋とポイント
手を放した瞬間に、おもりPが斜面下向きに動き始めるためには、重力の斜面下向き成分が最大静止摩擦力以上である必要があります。この限界の傾角を \(\alpha\) とします。このとき、ばねは自然長なので弾性力ははたらきません。

この設問における重要なポイント

• 物体が静止摩擦力を受けて滑り出す直前の条件は、駆動力（ここでは重力の斜面下向き成分）が最大静止摩擦力に等しくなる（またはわずかに超える）こと。
• 斜面上の物体にはたらく力を、斜面に平行な方向と垂直な方向に分解して考える。
• 垂直抗力 \(N\) を正しく求め、最大静止摩擦力 \(f_{\text{静止,最大}} = \mu N\) を計算する。

具体的な解説と立式
傾角 \(\alpha\) の斜面上で、おもりPにはたらく力は以下の通りです。

• 重力: \(mg\)
  • 斜面下向き成分: \(mg\sin\alpha\)
  • 斜面に垂直な成分: \(mg\cos\alpha\)
• 垂直抗力: \(N = mg\cos\alpha\) （斜面に垂直な方向のつりあいより）
• 最大静止摩擦力（斜面上がりを正とすると、滑り出すのを妨げる向き、つまり斜面下向きに滑ろうとするのを妨げるので斜面上がり）: \(f_{\text{静止,最大}} = \mu N = \mu mg\cos\alpha\)
• ばねの弾性力: \(0\) （自然長のため）

Pが動き始める直前（限界状態）では、斜面下向きの力と最大静止摩擦力がつり合っています。
$$ mg\sin\alpha = \mu mg\cos\alpha $$

$$ mg\sin\alpha = \mu mg\cos\alpha $$
両辺から \(mg\) を消去します（\(m \neq 0, g \neq 0\)）。
$$ \sin\alpha = \mu \cos\alpha $$
\(\cos\alpha \neq 0\) として（\(\alpha = 90^\circ\) の場合は斜面とは言えないため）、両辺を \(\cos\alpha\) で割ると、
$$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \mu $$
したがって、
$$ \tan\alpha = \mu $$

物体が斜面を滑り始めるかどうかは、斜面下向きに引っ張ろうとする力（重力の一部）と、それを邪魔しようとする床からの最大の抵抗力（最大静止摩擦力）のどちらが大きいかで決まります。ちょうど滑り出す瞬間には、これらの力が等しくなっていると考えられます。「重力の斜面下向きの成分 = 最大静止摩擦力」という式を立て、これを \(\tan\alpha\) について解きます。

\(\tan\alpha = \mu\)。これは、物体が斜面で滑り出すための基本的な条件式として知られています。静止摩擦係数 \(\mu\) が大きいほど、滑り出すためにはより大きな傾斜角が必要となることを示しており、直観とも一致します。

問2

思考の道筋とポイント
おもりPが最初の位置（ばね自然長）から斜面下向きに距離 \(x\) だけ移動し、ばねの伸びが最大になった状況を考えます。このとき、Pの高さは \(x\sin\theta\) だけ減少します。重力による位置エネルギーの減少量は、この高さの減少分に \(mg\) を掛けたものです。

この設問における重要なポイント

• 斜面上の移動距離と鉛直方向の高さの変化の関係 (\(h = L\sin\theta\)) を正しく理解する。
• 重力による位置エネルギーの減少量は \(mg \times (\text{鉛直方向の下降距離})\) で計算できる。

具体的な解説と立式
おもりPが斜面に沿って \(x\) だけ移動したとき、鉛直方向には \(\Delta h = x\sin\theta\) だけ下降します。
したがって、重力による位置エネルギーの減少量 \(\Delta U_g\) は、
$$ \Delta U_g = mg(\Delta h) = mg(x\sin\theta) $$

$$ \Delta U_g = mgx\sin\theta $$

おもりPが斜面を \(x\) だけ滑り降りると、高さの観点では \(x \times \sin\theta\) だけ低くなります（これは直角三角形の辺と角の関係からわかります）。「高さのエネルギー」（位置エネルギー）は「質量 \(\times\) 重力加速度 \(\times\) 高さ」なので、失われた位置エネルギーは「\(mg \times (x\sin\theta)\)」となります。

重力の位置エネルギーの減少量は \(mgx\sin\theta\)。これはエネルギーの単位 [J] を持ちます。

問3

思考の道筋とポイント
ばねの伸びが \(x\) になったときの弾性エネルギーを求めます。弾性エネルギーは \(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\) で与えられます。ここで、ばね定数 \(k\) は問題の冒頭で求めた \(k = \frac{mg}{l}\) を用います。

この設問における重要なポイント

• ばねの弾性エネルギーの公式 \(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\) を正しく適用する。
• ばね定数 \(k\) の値を事前に求めておく、または式中に代入することを忘れない。

具体的な解説と立式
ばねの弾性エネルギー \(U_{\text{ばね}}\) は、ばね定数 \(k = \frac{mg}{l}\) と伸び \(x\) を用いて、
$$ U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{mg}{l}\right)x^2 $$

$$ U_{\text{ばね}} = \frac{mg}{2l}x^2 $$

ばねが \(x\) だけ伸びたときに蓄えるエネルギーは、「\(\frac{1}{2} \times\) ばね定数 \(\times\) (伸び)\(^2\)」という公式で計算できます。この問題のばねの「ばね定数」は、最初の条件「質量 \(m\) のおもりを鉛直につるすと \(l\) だけ伸びる」ことから \(\frac{mg}{l}\) であることがわかっています。これを公式に代入します。

ばねの弾性エネルギーは \(\frac{mg}{2l}x^2\)。これもエネルギーの単位 [J] を持ちます。

問4

思考の道筋とポイント
おもりPが最初の位置（ばね自然長、速さ0）から、ばねの伸びが最大値 \(x\) になる位置（速さ0）まで運動する間のエネルギー変化を考えます。この間、重力がおもりPに正の仕事をし（位置エネルギー減少）、ばねの弾性力がおもりPに負の仕事をし（弾性エネルギー増加）、動摩擦力がおもりPに負の仕事（熱エネルギーとして損失）をします。
エネルギー保存則（より一般的には仕事とエネルギーの関係）から、「重力位置エネルギーの減少分 = 弾性エネルギーの増加分 + 動摩擦力がした仕事の大きさ（摩擦熱）」という関係が成り立ちます。

この設問における重要なポイント

• 非保存力（動摩擦力）が仕事をする場合、力学的エネルギーは保存されない。仕事とエネルギーの関係（エネルギー収支）を用いる。
• 始状態と終状態の各エネルギー（運動、位置、弾性）と、途中で非保存力がした仕事を正確に特定する。
• ばねの伸びが最大となるとき、おもりPの速さは一瞬0になる。
• 動摩擦力の計算には動摩擦係数 \(\mu’\) を用いる。

具体的な解説と立式
始状態（自然長、速さ0）から終状態（伸び \(x\)、速さ0）までのエネルギー収支を考えます。

• 重力位置エネルギーの減少量 (問2より): \(\Delta U_g = mgx\sin\theta\)
• 弾性エネルギーの増加量 (問3より、初期は0): \(\Delta U_{\text{ばね}} = \frac{mg}{2l}x^2\)
• 動摩擦力がした仕事の大きさ (摩擦熱に変わったエネルギー):
  • 垂直抗力: \(N = mg\cos\theta\)
  • 動摩擦力: \(f_k = \mu’N = \mu’mg\cos\theta\)
  • 距離 \(x\) の間の仕事の大きさ: \(|W_f| = f_k \cdot x = \mu’mg\cos\theta \cdot x\)

エネルギー収支の式は、
(重力位置エネルギーの減少量) = (弾性エネルギーの増加量) + (動摩擦力がした仕事の大きさ)
$$ mgx\sin\theta = \frac{mg}{2l}x^2 + \mu’mg\cos\theta \cdot x $$

$$ mgx\sin\theta = \frac{mg}{2l}x^2 + \mu’mg\cos\theta \cdot x $$
Pは実際に動いて伸びが最大 \(x\) に達しているので、\(x \neq 0\) です。また、\(m \neq 0, g \neq 0\) なので、両辺を \(mgx\) で割ることができます。
$$ \sin\theta = \frac{1}{2l}x + \mu’\cos\theta $$
この式を \(x\) について解きます。
$$ \frac{1}{2l}x = \sin\theta – \mu’\cos\theta $$
両辺に \(2l\) を掛けると、
$$ x = 2l(\sin\theta – \mu’\cos\theta) $$

おもりPが斜面を滑り降りるとき、重力がPを下に引っ張ることでエネルギーを供給します（これはPの位置エネルギーが減ることで表されます）。この供給されたエネルギーは、主に２つのことに使われます。一つはばねを伸ばして弾性エネルギーとして蓄えること、もう一つは斜面との摩擦によって熱として失われることです。ばねの伸びが最大になったとき、Pは一瞬止まるので運動エネルギーは0です。したがって、「重力によって供給されたエネルギー（位置エネルギーの減少分）＝ ばねに蓄えられた弾性エネルギー ＋ 摩擦で失われたエネルギー」という関係が成り立ちます。この式から最大の伸び \(x\) を求めます。

ばねの最大の伸び \(x = 2l(\sin\theta – \mu’\cos\theta)\)。
この結果が物理的に意味を持つ（\(x>0\) となる）ためには、\(\sin\theta – \mu’\cos\theta > 0\)、すなわち \(\tan\theta > \mu’\) である必要があります。これは、重力の斜面下向き成分が動摩擦力よりも大きくなければ、そもそも下に滑り続けてある程度の伸びに達することがない、という直観に合致します。

問5

思考の道筋とポイント
ばねの伸びが最大 \(x\) になった点（最下点）で、Pは一瞬静止します。この後、Pが再び斜面を上向きに動き始めるためには、ばねの弾性力が、重力の斜面下向き成分と、今度は上向きに動こうとするPを妨げる向き（つまり斜面下向き）にはたらく最大静止摩擦力の合計よりも大きくなければなりません。

この設問における重要なポイント

• 物体が一度静止した後、再び動き出す条件を考える際には、その瞬間に物体がどちらへ動こうとしているのかを考慮し、静止摩擦力の向きを正しく設定する。
• 動き出す直前の限界状態では、駆動力と抵抗力（重力成分＋最大静止摩擦力）がつり合っている（または駆動力がわずかに超える）。
• これまでの設問で求めた \(k\) や \(x\) の式を代入して整理する。

具体的な解説と立式
ばねの伸びが最大 \(x\) のとき、Pが斜面を上向きに動き始めるための条件を考えます。

• ばねの弾性力（斜面上がり）: \(F_{\text{ばね}} = kx\)
• 重力の斜面下向き成分: \(F_{\text{重力成分}} = mg\sin\theta\)
• 最大静止摩擦力（Pが上に動こうとするのを妨げるので、斜面下向きにはたらく）: \(f_{\text{静止,最大}} = \mu N = \mu mg\cos\theta\)

上向きに動き始めるためには、\(F_{\text{ばね}} > F_{\text{重力成分}} + f_{\text{静止,最大}}\) である必要があります。
$$ kx > mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta $$
ここに、\(k = \frac{mg}{l}\) と、(4)で求めた \(x = 2l(\sin\theta – \mu’\cos\theta)\) を代入します。

まず、\(kx\) の値を代入を使って計算します。
$$ kx = \left(\frac{mg}{l}\right) \cdot 2l(\sin\theta – \mu’\cos\theta) = 2mg(\sin\theta – \mu’\cos\theta) $$
これを動き出す条件の不等式に代入します。
$$ 2mg(\sin\theta – \mu’\cos\theta) > mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta $$
両辺に \(mg\) が共通しているので割ります（\(mg>0\) なので不等号の向きは変わりません）。
$$ 2(\sin\theta – \mu’\cos\theta) > \sin\theta + \mu \cos\theta $$
展開して整理します。
$$ 2\sin\theta – 2\mu’\cos\theta > \sin\theta + \mu \cos\theta $$
\(\sin\theta\) の項を左辺に、\(\cos\theta\) の項を右辺に集めます。
$$ 2\sin\theta – \sin\theta > \mu \cos\theta + 2\mu’\cos\theta $$
$$ \sin\theta > (\mu + 2\mu’)\cos\theta $$
斜面が存在するため \(0 < \theta < 90^\circ\) であり、\(\cos\theta > 0\) なので、両辺を \(\cos\theta\) で割っても不等号の向きは変わりません。
$$ \frac{\sin\theta}{\cos\theta} > \mu + 2\mu’ $$
したがって、
$$ \tan\theta > \mu + 2\mu’ $$

ばねが一番伸びた地点で、おもりPは一瞬止まっています。この後、Pが斜面を上に動き出すためには、ばねが上に引っ張る力が、Pを下に引っ張ろうとする力（重力の一部）と、Pが上に動くのを邪魔しようとする力（この場合は下向きにはたらく最大静止摩擦力）の合計よりも強くなければなりません。「ばねが引っ張る力 > 重力の斜面成分 + 最大静止摩擦力」という条件の式を立てます。この式に、これまでに求めたばね定数や最大の伸びの値を代入して、\(\tan\theta\) についての条件を導き出します。

Pが再び上向きに動き始めるためには \(\tan\theta > \mu + 2\mu’\) が必要です。
この条件は、(1)でPが下に動き始める条件 \(\tan\alpha = \mu\) と比較して、より大きな \(\tan\theta\) の値を要求しています (\(\mu + 2\mu’ > \mu\) および \(\mu + 2\mu’ > \mu’\) (通常 \(\mu, \mu’ \ge 0\))）。これは、一度下に滑り、動摩擦を受けながらばねを伸ばした後、今度はそのばねの力だけで重力成分と（向きが変わった）静止摩擦力の両方に打ち勝って上に動き出すためには、より有利な条件（より急な傾斜や小さい摩擦）が必要であることを意味しており、物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 静止摩擦力と動摩擦力の区別と適用:
  • 物体が動き出すかどうかの判断には、最大静止摩擦力 (\(\mu N\)) を用います。
  • 物体が動いている間にはたらくのは動摩擦力 (\(\mu’ N\)) です。
  • これらの摩擦係数 (\(\mu, \mu’\)) と垂直抗力 \(N\) から摩擦力の大きさを正しく計算することが基本です。
• 力のつりあい（運動開始の条件）:
  • 物体が特定の方向に動き出す直前の限界状態では、その方向に動かそうとする力と、それを妨げる最大静止摩擦力がつり合っている（または駆動力がわずかに超える）と考えます。
• ばねの弾性力と弾性エネルギー:
  • 弾性力 \(F_{\text{ばね}} = kx\)、弾性エネルギー \(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\)。\(x\) は自然長からの変位です。
  • ばね定数 \(k\) が直接与えられていない場合、他の条件（例: つり合い時の伸び）から導出する必要があります。
• 仕事とエネルギーの関係（エネルギー保存則の一般形）:
  • 非保存力である摩擦力が仕事をすると、その分だけ系の力学的エネルギーが変化（通常は摩擦熱として失われ減少）します。
  • \(\Delta E_{\text{力学}} = W_{\text{非保存力}}\) または、エネルギー収支の考え方（初期の全エネルギー + された仕事 = 最終的な全エネルギー）を適用します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 水平面や鉛直方向でのばねと摩擦が絡む運動。
  • 物体が往復運動し、運動の向きによって摩擦力の向きが変わる問題。
  • 複数のばねや物体が連結された系での力のつり合いやエネルギー保存。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 運動のフェーズ分け: 「静止」「動き出す瞬間」「等速運動」「減速運動」「一瞬静止」「再び動き出す瞬間」など、運動の状態を細かく区別する。
  2. 各フェーズでの力の図示: 特に摩擦力の向きと種類（静止か動か）を正確に。ばねの力も伸び縮みに応じて変わる。
  3. エネルギー変化の追跡: どのエネルギー（運動、位置、弾性）がどのように変化し、どの力が仕事をしているのか（保存力か非保存力か、仕事の正負は）を明確にする。
  4. 条件式の選択:
     • 「動き出すか」「止まるか」といった限界状態の判断 → 力のつりあい（＋最大静止摩擦力）。
     • 動いている間の速度変化や変位、エネルギー損失 → 仕事とエネルギーの関係。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • ばね定数 \(k\) は最初に求めておく。
  • 摩擦係数は \(\mu\) と \(\mu’\) を混同しない。
  • 「最大の伸び」や「再び動き出す」といった言葉から、その瞬間の物体の速度（通常0）や力の状態を読み取る。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 静止摩擦力と動摩擦力の混同: 物体が止まっているときでも常に最大静止摩擦力がはたらくと誤解したり、動いているのに静止摩擦係数を使ってしまう。
  • 対策: 物体の運動状態（静止しているか、動いているか、動き出そうとしているか）を正確に把握し、適切な摩擦力を選択する。
• 摩擦力の向きの間違い: 特に運動の向きが変わる可能性がある場合（例: (5)で上に動き出すのを妨げるのは下向きの摩擦力）。
  • 対策: 摩擦力は常に「運動を妨げる向き」または「運動しようとする向きの反対」にはたらくことを徹底する。
• ばねの力の基準点: ばねの伸び \(x\) を、つり合いの位置からの変位と誤解する（常に自然長からの変位）。
  • 対策: ばねの問題では「自然長」の位置を常に意識する。
• エネルギー保存則の誤適用: 摩擦力が仕事をしているにも関わらず、単純な力学的エネルギー保存則（運動エネルギー＋位置エネルギー＋弾性エネルギー＝一定）を適用してしまう。
  • 対策: 非保存力（摩擦力）の仕事を考慮したエネルギー収支の式を立てる。
• (5)で再び動き出す条件での力の見落とし: ばねの力、重力成分、最大静止摩擦力の3つの力を全て考慮できているか、特に摩擦力の向きは正しいか。
  • 対策: その瞬間に物体が「どちらへ動こうとしているか」を考え、それに対する抵抗力として摩擦力を図示する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. (1) 手を放した瞬間の力の図示（重力、垂直抗力、最大静止摩擦力）。ばねは自然長。
  2. (4) ばねの伸びが最大 \(x\) になった瞬間の力の図示（重力、垂直抗力、弾性力）。この瞬間、速さは0だが、力はつり合っていない（つり合っていればそこで止まり続ける）。動摩擦力も考慮するなら運動中にかかる。
  3. (5) ばねの伸びが最大になった後、再び上に動き出す瞬間の力の図示（弾性力、重力、最大静止摩擦力）。摩擦力の向きが(1)とは逆になる点に注意。
  4. エネルギーの変換過程を図やフローチャートで示す（例: 重力位置エネルギー \(\rightarrow\) 弾性エネルギー + 摩擦熱）。
• 図を描く際の注意点:
  • 力はベクトルなので、作用点・向き・大きさを意識する。分解した力と元の力を明確に区別する。
  • 角度を正確に記入し、三角比の関係を間違えないようにする。
  • ばねの自然長の位置、つり合いの位置、最大変位の位置などを区別して描くと状況把握がしやすい。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい / 運動開始条件 (例: \(mg\sin\alpha = \mu mg\cos\alpha\)): (問1, 問5)
  • 選定理由: 「動き始めるため」「再び動き始めるため」という、静止状態から運動状態へ移行する限界の条件を問われているため。
  • 適用根拠: 物体が滑り出す直前には、滑らせようとする力と最大静止摩擦力が等しくなっている。
• フックの法則 / ばね定数 (\(k = mg/l\)): (前提として利用)
  • 選定理由: ばねの性質（硬さ）を定量化する必要があるが、直接与えられていないため。
  • 適用根拠: ばねの伸びが力に比例するという法則と、鉛直つり合いの条件。
• エネルギー保存則の一般形 / エネルギー収支 (例: \(\Delta U_g = \Delta U_{\text{ばね}} + |W_f|\)): (問4)
  • 選定理由: 動摩擦という非保存力が仕事をし、エネルギーの形態が変わる（位置エネルギーが弾性エネルギーと熱に変わる）過程を追うため。
  • 適用根拠: エネルギーは創られたり消えたりするものではなく、形態を変えるか、仕事によって他の系へ移動するだけという普遍的原理。
• 弾性エネルギー (\(U_{\text{ばね}} = \frac{1}{2}kx^2\)): (問3, 問4)
  • 選定理由: ばねの変形に伴うエネルギーの蓄積を計算するため。
  • 適用根拠: ばねの弾性力が行う仕事から導かれるポテンシャルエネルギー。

それぞれの物理現象や問われている内容に応じて、最も適切で効率的な法則や公式を選択する判断力が重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 前提: ばね定数の導出: \(kl=mg \Rightarrow k=mg/l\)。
2. 問1 (動き出しの傾角 \(\alpha\)):
   1. 斜面下向きの力 \(mg\sin\alpha\) と最大静止摩擦力 \(\mu mg\cos\alpha\) が等しいとして立式。
   2. \(\tan\alpha\) を求める。
3. 問2 (位置エネルギー減少量): 移動距離 \(x\) のときの高さ減少 \(x\sin\theta\) から \(mgx\sin\theta\)。
4. 問3 (弾性エネルギー): \(\frac{1}{2}kx^2\) に \(k=mg/l\) を代入して \(\frac{mg}{2l}x^2\)。
5. 問4 (最大の伸び \(x\)):
   1. エネルギー収支: (重力位置エネルギー減少) = (弾性エネルギー増加) + (動摩擦による損失)。
   2. \(mgx\sin\theta = \frac{mg}{2l}x^2 + \mu’mg\cos\theta \cdot x\)。
   3. \(x \neq 0\) で割って \(x\) について解く。
6. 問5 (再び動き出す条件):
   1. 最下点 \(x\) での力を図示（上向き弾性力 \(kx\)、下向き重力成分 \(mg\sin\theta\)、下向き最大静止摩擦力 \(\mu mg\cos\theta\)）。
   2. 上向きに動き出す条件 \(kx > mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta\) を立式。
   3. \(k\) と \(x\) の式を代入し、\(\tan\theta\) についての不等式に変形する。

このように、各設問が前の設問の結果を利用することが多いため、段階を追って正確に解き進めることが求められます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 係数(\(\mu, \mu’\))の使い分け: 静止摩擦か動摩擦かを常に意識し、適切な係数を用いる。
• 三角関数の正確性: \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の適用箇所を間違えない。特に斜面上の力の分解。
• 代数計算の丁寧さ:
  • (4)で \(x\) で割る際の条件（\(x \neq 0\)）の確認。
  • (5)での不等式の整理、特に\(\cos\theta\) で割る際の符号（ここでは \(\cos\theta > 0\)）。
  • 文字が多く複雑な式になるため、項の移項や整理を慎重に行う。
• 物理量の代入: \(k\) や \(x\) の値を代入する際に、式を間違えないように注意深く行う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な意味の確認:
  • (1) \(\tan\alpha = \mu\): 摩擦が大きいほど滑りにくい（\(\alpha\) が大きい）ことは直観に合うか。
  • (4) \(x = 2l(\sin\theta – \mu’\cos\theta)\): \(x>0\) の条件 \(\tan\theta > \mu’\) は、物体が下に滑り続けるための条件として妥当か。もし \(\tan\theta \le \mu’\) なら、途中で止まるか、そもそも動き出しても伸びが小さいことを意味する。
  • (5) \(\tan\theta > \mu + 2\mu’\): この条件が、(1)の \(\tan\alpha = \mu\) や、(4)の \(x>0\) の条件 \(\tan\theta > \mu’\) と比較して、より厳しい（大きな \(\tan\theta\) を要求する）ものになっているか。ばねが縮んで押し上げる力が、重力と静止摩擦の両方に打ち勝つ必要があるため、より厳しい条件になるのは妥当。
• 単位の確認:
  • \(\tan\alpha\) は無次元量。
  • エネルギーは [J]。
  • 伸び \(x\) は [m]。
  • (5)の条件式の右辺 \(\mu + 2\mu’\) も無次元量で、\(\tan\theta\) と比較可能。
• 極端なケースの考察:
  • もし \(\mu = \mu’ = 0\) (摩擦なし) なら、(4)で \(x = 2l\sin\theta\)。(5)で \(\tan\theta > 0\)。これは、摩擦がなければ一度下に滑れば（\(\sin\theta>0\) なら）、必ず単振動のような動きをする（最下点から必ず上に動く）ことを意味し、妥当。
  • もし \(\theta \to 0\) なら、(1)で \(\alpha \to 0\)。(4)で \(x \to -2l\mu’\) (負となり物理的に無意味、つまり \(\tan\theta > \mu’\) を満たさない限り伸びない)。(5)で \(\tan\theta > \mu+2\mu’\) (ほぼ水平ではまず動かない)。

これらの吟味を通じて、解答の正しさを多角的に検証し、物理現象への深い理解へとつなげましょう。

問題25 (センター試験＋熊本大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平面での物体の衝突と、その後の摩擦がある斜面上の運動を組み合わせたものです。衝突における運動量保存則と反発係数の概念、力積、そして摩擦力がはたらく中での仕事とエネルギーの関係が問われています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は大きく分けて、PとQの衝突現象と、衝突後のQの摩擦のある斜面上の運動の2つの部分から構成されています。

• 衝突 (問1, 2, 3): 水平面上で摩擦がないため、PとQの系に対して水平方向の外力ははたらかず、運動量保存則が成り立ちます。また、反発係数の定義式も用います。力積は運動量の変化として計算します。
• 斜面上の運動 (問4): Qは衝突後に速さ \(V\) で斜面を登り始めます。斜面には摩擦があるため、力学的エネルギーは保存されません。仕事とエネルギーの関係（エネルギー収支）を用いて、移動距離や速さを求めます。

問1

思考の道筋とポイント
PとQの衝突は1次元衝突です。衝突の前後で、PとQからなる系全体の運動量は保存されます。また、反発係数 \(e\) の定義式を用います。これら2つの式を連立させて、衝突後のPの速度 \(v\) とQの速度 \(V\) を求めます。右向きを正の向きとします。

この設問における重要なポイント

• 衝突問題の基本は、運動量保存則と反発係数の式の連立。
• 各物体の衝突前後の速度を、正の向きを意識して文字で置く。
• 運動量保存則: \(m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1′ + m_2v_2’\)
• 反発係数の式: \(e = -\frac{v_1′ – v_2′}{v_1 – v_2}\) または \(v_1′ – v_2′ = -e(v_1 – v_2)\)

具体的な解説と立式
衝突前のPの速度を \(v_0\)、Qの速度を \(0\)。
衝突後のPの速度を \(v\)、Qの速度を \(V\)。

1. 運動量保存則 (右向き正):
$$ mv_0 + M \cdot 0 = mv + MV $$
$$ mv_0 = mv + MV \quad \cdots (式1) $$
2. 反発係数の式:
$$ e = -\frac{v – V}{v_0 – 0} $$
$$ v – V = -ev_0 \quad \cdots (式2) $$

(式2)より \(V = v + ev_0\)。これを(式1)に代入して \(v\) を求めます。
$$ mv_0 = mv + M(v + ev_0) $$
$$ mv_0 = mv + Mv + Mev_0 $$
$$ mv_0 – Mev_0 = mv + Mv $$
$$ v_0(m – eM) = v(m + M) $$
したがって、
$$ v = \frac{m-eM}{m+M}v_0 $$
次に、求めた \(v\) を \(V = v + ev_0\) に代入して \(V\) を求めます。
$$ V = \frac{m-eM}{m+M}v_0 + ev_0 $$
$$ V = v_0 \left( \frac{m-eM}{m+M} + e \right) $$
$$ V = v_0 \left( \frac{m-eM + e(m+M)}{m+M} \right) $$
$$ V = v_0 \left( \frac{m-eM + em + eM}{m+M} \right) $$
$$ V = v_0 \frac{m+em}{m+M} = \frac{m(1+e)}{m+M}v_0 $$

(模範解答のように、(式1) + M \(\times\) (式2) から \(v\) を、(式1) – m \(\times\) (式2) から \(V\) を求める方法も有効です。)

物体同士がぶつかるとき、いくつかのルールが成り立ちます。

1. 全体の「勢い」（物理では運動量と呼びます）は、ぶつかる前と後で変わりません。これが運動量保存則です。
2. どれくらい跳ね返るかを示す「はね返り係数」を使った関係式も成り立ちます。

この2つのルールを数式で表し、連立方程式として解くことで、ぶつかった後のそれぞれの物体の速さがわかります。

衝突直後のPの速度: \(v = \displaystyle \frac{m-eM}{m+M}v_0\)
衝突直後のQの速度: \(V = \displaystyle \frac{m(1+e)}{m+M}v_0\)
これらは1次元衝突における一般的な公式の形です。\(v_0 > 0\) であれば、\(V\) は常に正（右向き）ですが、\(v\) は \(m-eM\) の符号によって正にも負（左向き）にもなり得ます。

問2

思考の道筋とポイント
物体が受けた力積は、その物体の運動量の変化に等しいという関係を用います。小物体Pについて、衝突前後の運動量を計算し、その差（後の運動量 – 前の運動量）を求めます。右向きを正とします。

この設問における重要なポイント

• 力積の定義: \(\vec{I} = \int \vec{F} dt\)
• 力積と運動量の関係: \(\vec{I} = \Delta \vec{p} = m\vec{v}_{\text{後}} – m\vec{v}_{\text{初}}\)
• ベクトル量であるため、向き（符号）に注意する。

具体的な解説と立式
Pが受けた力積を \(I_P\) とします。
Pの衝突前の運動量: \(p_{\text{P,初}} = mv_0\)
Pの衝突後の運動量: \(p_{\text{P,後}} = mv\)
力積と運動量の関係より、
$$ I_P = p_{\text{P,後}} – p_{\text{P,初}} = mv – mv_0 $$

(1)で求めた \(v = \displaystyle \frac{m-eM}{m+M}v_0\) を代入します。
$$ I_P = m\left(\frac{m-eM}{m+M}v_0\right) – mv_0 $$
$$ I_P = mv_0 \left( \frac{m-eM}{m+M} – 1 \right) $$
括弧内を通分します。
$$ I_P = mv_0 \left( \frac{m-eM – (m+M)}{m+M} \right) $$
$$ I_P = mv_0 \left( \frac{m-eM-m-M}{m+M} \right) $$
$$ I_P = mv_0 \left( \frac{-eM-M}{m+M} \right) $$
$$ I_P = -\frac{M(1+e)m}{m+M}v_0 $$
模範解答では \(-\frac{(1+e)mMv_0}{m+M}\) となっており、同じです。

「力積」とは、物体が受けた衝撃の大きさと向きを表す量です。これは、物体の「運動の勢い」（運動量）がどれだけ変化したか、で計算できます。「衝突後のPの運動量」から「衝突前のPの運動量」を引き算することで、Pが受けた力積が求められます。

Pが受けた力積は \(I_P = -\displaystyle \frac{mM(1+e)}{m+M}v_0\)。
力積の符号が負であることは、Pが当初右向きに運動していたのに対し、衝突によって左向きの力積を受けた（結果として右向きの速度が減少するか、左向きに変わる）ことを意味します。単位は \([\text{kg} \cdot \text{m/s}]\) または \([\text{N} \cdot \text{s}]\) です。

問3

思考の道筋とポイント
衝突後、Pが左へ動くということは、Pの衝突後の速度 \(v\) が負になるということです（右向きを正としているため）。(1)で求めた \(v\) の式を用いて、\(v < 0\) となる条件を導きます。

この設問における重要なポイント

• 速度の符号と運動の向きの関係を理解する（設定された正の向きに対して反対向きなら負）。
• 不等式を解く際には、分母や乗じられている量の符号に注意して変形する。

具体的な解説と立式
Pが左へ動く条件は、その速度 \(v\) が負であることなので、
$$ v < 0 $$
(1)で求めた \(v = \displaystyle \frac{m-eM}{m+M}v_0\) を代入すると、
$$ \frac{m-eM}{m+M}v_0 < 0 $$

$$ \frac{m-eM}{m+M}v_0 < 0 $$ ここで、\(m > 0, M > 0\) なので \(m+M > 0\)。また、衝突前のPは右向きに運動しているので \(v_0 > 0\)。
したがって、不等式の符号は分子 \(m-eM\) の符号によって決まります。
よって、
$$ m-eM < 0 $$
これを変形すると、
$$ m < eM $$ または、\(e\) について解くと（\(M>0\) なので不等号の向きは変わらない）、
$$ e > \frac{m}{M} $$

小物体Pが衝突後に左向きに動くということは、Pの速度の向きが右向き（正）から左向き（負）に変わったことを意味します。(1)で求めた衝突後のPの速度 \(v\) の式が、負の値になるための条件を考えます。質量の和 \(m+M\) や初速度 \(v_0\) は正なので、式の分子 \(m-eM\) が負になればよいことになります。

衝突後、Pが左へ動くための条件は \(m < eM\) または \(e > \frac{m}{M}\)。
これは、P自身の質量 \(m\) が相対的に小さい場合や、反発係数 \(e\) が大きい（よく跳ね返る）場合に、Pが逆向きに跳ね返りやすいという物理的な直観と一致します。例えば、非常に軽いボール（\(m\) 小）を重い壁（\(M\) 大）にぶつけると、よく跳ね返れば（\(e\) 大）逆向きに動きます。

問4

思考の道筋とポイント
衝突後の小物体Qの運動について考えます。Qは速さ \(V\) で斜面BCを登り始め、点Dで最高点に達し（一瞬速さ0）、その後滑り降りて点Bに戻ります。斜面には摩擦があるため、力学的エネルギーは保存されません。仕事とエネルギーの関係（エネルギー収支）を用います。

この設問における重要なポイント

• 摩擦のある斜面上の運動では、力学的エネルギーは保存されない。仕事とエネルギーの関係（エネルギー収支）を適用する。
• 動摩擦力の大きさを正しく計算する (\(f_k = \mu N\))。斜面上の垂直抗力 \(N\) は \(Mg\cos\theta\)。
• 動摩擦力のする仕事は常に負 (\(W_f = -f_k \times \text{距離}\))。
• 最高点では物体の速さは一瞬0になる。
• 上昇時と下降時で、重力がする仕事の符号は変わるが、動摩擦力がする仕事の大きさ（同じ距離なら）と符号（常に負）は変わらない場合と変わる場合があるので注意。本問は同じ動摩擦係数なので仕事の大きさは同じで向きが常に運動と逆。

具体的な解説と立式
BD間の距離 \(l\) の計算 (Qの上昇運動 B \(\rightarrow\) D):
点Bを位置エネルギーの基準 (\(h=0\)) とします。

• 始状態 (B): 運動エネルギー \(K_B = \frac{1}{2}MV^2\), 位置エネルギー \(U_{\text{重力},B} = 0\)
• 終状態 (D): 運動エネルギー \(K_D = 0\), 位置エネルギー \(U_{\text{重力},D} = Mgh_D = Mg(l\sin\theta)\)
• B \(\rightarrow\) D間の動摩擦力のする仕事 \(W_f\):
  • 垂直抗力 \(N = Mg\cos\theta\)
  • 動摩擦力 \(f_k = \mu N = \mu Mg\cos\theta\)
  • 仕事 \(W_f = -f_k \cdot l = -\mu Mg\cos\theta \cdot l\)

エネルギー収支: (Bでの運動エネルギー) = (Dでの位置エネルギー増加) + (摩擦による損失エネルギー)
$$ \frac{1}{2}MV^2 = Mgl\sin\theta + \mu Mg\cos\theta \cdot l $$

Qが点Bに戻ったときの速さ \(V_1\) の計算 (Qの下降運動 D \(\rightarrow\) B):

• 始状態 (D): 運動エネルギー \(K_D = 0\), 位置エネルギー \(U_{\text{重力},D} = Mgl\sin\theta\)
• 終状態 (B): 運動エネルギー \(K_{B’} = \frac{1}{2}MV_1^2\), 位置エネルギー \(U_{\text{重力},B’} = 0\)
• D \(\rightarrow\) B間の動摩擦力のする仕事 \(W_f’\): 大きさは同じで \(W_f’ = -f_k \cdot l = -\mu Mg\cos\theta \cdot l\)

エネルギー収支: (Dでの位置エネルギー) = (Bでの運動エネルギー増加) + (摩擦による損失エネルギー)
$$ Mgl\sin\theta = \frac{1}{2}MV_1^2 + \mu Mg\cos\theta \cdot l $$

BD間の距離 \(l\):
$$ \frac{1}{2}MV^2 = Mgl\sin\theta + \mu Mg\cos\theta \cdot l $$
$$ \frac{1}{2}MV^2 = Mgl(\sin\theta + \mu\cos\theta) $$
両辺から \(M\) を消去し、\(l\) について解くと、
$$ l = \frac{V^2}{2g(\sin\theta + \mu\cos\theta)} $$

Qが点Bに戻ったときの速さ \(V_1\):
$$ Mgl\sin\theta = \frac{1}{2}MV_1^2 + \mu Mg\cos\theta \cdot l $$
\(\frac{1}{2}MV_1^2\) について解くと、
$$ \frac{1}{2}MV_1^2 = Mgl\sin\theta – \mu Mg\cos\theta \cdot l $$
$$ \frac{1}{2}MV_1^2 = Mgl(\sin\theta – \mu\cos\theta) $$
両辺から \(M\) を消去し、\(V_1^2\) について解くと、
$$ V_1^2 = 2gl(\sin\theta – \mu\cos\theta) $$
\(V_1 > 0\) なので、
$$ V_1 = \sqrt{2gl(\sin\theta – \mu\cos\theta)} $$
ここで、先に求めた \(l = \displaystyle \frac{V^2}{2g(\sin\theta + \mu\cos\theta)}\) を代入します。
$$ V_1^2 = 2g \left( \frac{V^2}{2g(\sin\theta + \mu\cos\theta)} \right) (\sin\theta – \mu\cos\theta) $$
\(2g\) を約分すると、
$$ V_1^2 = V^2 \frac{\sin\theta – \mu\cos\theta}{\sin\theta + \mu\cos\theta} $$
よって、
$$ V_1 = V \sqrt{\frac{\sin\theta – \mu\cos\theta}{\sin\theta + \mu\cos\theta}} $$

• 距離 \(l\) (斜面を登る距離): 小物体Qが斜面を登るとき、最初に持っていた運動エネルギーは、だんだん「高さのエネルギー」に変わり、同時に摩擦によって「熱エネルギー」としても失われていきます。一番高い点Dでは運動エネルギーが0になるので、「最初の運動エネルギー = 増えた高さのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー」という関係から、登った距離 \(l\) を求めます。
• 速さ \(V_1\) (斜面を降りてきたときの速さ): 今度は、一番高い点DからQが滑り降りるときを考えます。Dで持っていた「高さのエネルギー」が、斜面を降りるにしたがって「運動エネルギー」に変わり、同時に摩擦によって「熱エネルギー」としても一部失われます。「Dでの高さのエネルギー = Bに戻ったときの運動エネルギー + 摩擦で失われたエネルギー」という関係から、戻ってきたときの速さ \(V_1\) を求めます。

BD間の距離 \(l = \displaystyle \frac{V^2}{2g(\sin\theta + \mu\cos\theta)}\)。
Qが点Bに戻ったときの速さ \(V_1 = V \sqrt{\displaystyle \frac{\sin\theta – \mu\cos\theta}{\sin\theta + \mu\cos\theta}}\)。
\(l\) の式は、初速 \(V\) が大きいほど、重力や摩擦の効果が小さいほど遠くまで登ることを示し、妥当です。
\(V_1\) の式では、まずQがD点から滑り降りるためには、重力の斜面下向き成分が最大静止摩擦力（ここでは動摩擦を考えるので動摩擦力）より大きい必要があります。つまり、\(\sin\theta > \mu\cos\theta \Rightarrow \tan\theta > \mu\) が成り立たないと、QはD点から動かないか、途中で止まってしまいます。この条件が満たされていれば根号内は正となります。
また、摩擦によってエネルギーが失われるため、一般に \(V_1 < V\) となります。これは、\(\sqrt{\frac{\sin\theta – \mu\cos\theta}{\sin\theta + \mu\cos\theta}} < 1\) (分子が分母より小さいため、\(\mu>0\) の場合) であることからも確認できます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動量保存則: 衝突現象において、外力がはたらかない（または無視できる）系では、運動量の総和が衝突の前後で保存されるという基本法則。
• 反発係数（はね返り係数）の式: 衝突の際の跳ね返りの度合いを表し、衝突後の相対速度と衝突前の相対速度の比（のマイナス）で定義される。運動量保存則と連立して衝突後の速度を求めるのに使う。
• 力積と運動量の関係: 物体が受けた力積は、その物体の運動量の変化量に等しい。衝突によって物体がどれだけの「衝撃」を受けたかを示す。
• 仕事とエネルギーの関係（エネルギー保存則の一般形）:
  • \(\Delta E_{\text{力学}} = W_{\text{非保存力}}\)。摩擦力などの非保存力が仕事をすると、その分だけ力学的エネルギーが変化する。
  • あるいは、エネルギー収支の観点から「初期の全エネルギー + 外部からされた仕事 = 最終的な全エネルギー + 失われたエネルギー」と考える。
• 動摩擦力とその仕事: 動摩擦力の大きさは \(f_k = \mu N\)。その仕事は常に運動を妨げる向きにはたらくため、力学的エネルギーを減少させる（\(W_f = -f_k \times \text{距離}\)）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 爆発や分裂（運動量保存則が適用でき、反発係数の代わりにエネルギー変化が問われることも）。
  • 複数回の衝突や、壁との衝突を含む問題。
  • 衝突後に物体がばねに当たったり、円運動をしたりする複合的な問題。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 現象の時系列での分解: まず「衝突」があり、次に「衝突後の各物体の運動」がある、というように時間的な流れで現象を区切る。
  2. 各フェーズでの適用法則の特定:
     • 衝突フェーズ: 運動量保存則、反発係数の式。
     • 運動フェーズ: 力学的エネルギー保存則（摩擦がなければ）、仕事とエネルギーの関係（摩擦があれば）、運動方程式。
  3. 力の分析: 特に斜面上の運動では、重力、垂直抗力、摩擦力を正確に図示し、成分分解を行う。
  4. 座標軸の設定: 速度や力積などのベクトル量を扱うため、正の向きを一貫して定める。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • 衝突の問題は、まず衝突直後の各物体の速度を求めることが最優先。
  • エネルギー計算では、基準点（位置エネルギー0の点）を明確にする。
  • 上昇と下降で摩擦力がする仕事の扱いに注意（仕事の大きさは同じでも、全体のエネルギー収支における役割が変わる）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 運動量保存則の適用条件の誤解: 外力がはたらいている系で安易に適用してしまう。
  • 対策: 系全体に外力が作用していないか（あるいは特定方向で無視できるか）を必ず確認する。
• 反発係数の式の符号ミス: \(e = -\frac{v_A’ – v_B’}{v_A – v_B}\) のマイナス符号や、速度の代入順を間違える。
  • 対策: 「衝突後の相対速度 = \(-e \times\) 衝突前の相対速度」と覚えるか、定義式を正確に書く。
• 力積の向きの誤解: 力積はベクトルであり、運動量の変化の向きに注意する。
  • 対策: 必ず（後の運動量）－（前の運動量）をベクトル的に計算する。
• 斜面上の垂直抗力: \(N=mg\) と誤認する（正しくは \(N=mg\cos\theta\)）。
  • 対策: 斜面に垂直な方向の力のつりあいを必ず考える。
• 仕事の正負の判断ミス: 特に摩擦力の仕事（常に負）や、重力の仕事（上昇なら負、下降なら正）。
  • 対策: 力の向きと変位の向きの関係から、\(\cos\theta\) の符号を意識する。
• エネルギー収支の式の項の不足・重複: 考慮すべきエネルギーや仕事を漏らしたり、二重に計上したりする。
  • 対策: 始状態と終状態の全てのエネルギー形態と、その間に非保存力がした仕事をリストアップする。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. 衝突前のPとQの状態（速度ベクトルを図示）。
  2. 衝突直後のPとQの状態（速度ベクトルを図示、向きは仮定でも良いが、結果の符号で判断）。
  3. (問2) Pの運動量の変化を示すベクトル図。
  4. (問4) Qが斜面を上昇中（B\(\rightarrow\)D）にはたらく力（重力、垂直抗力、動摩擦力）の図。重力の成分分解も。
  5. (問4) Qが斜面を下降中（D\(\rightarrow\)B）にはたらく力（同上、ただし動摩擦力の向きは逆）の図。
• 図を描く際の注意点:
  • 座標軸の正の向きを明記する。
  • 力、速度、加速度などのベクトル量は矢印で向きと相対的な大きさがわかるように描く。
  • 斜面の角度 \(\theta\) を正確に図示し、三角比の関係を明確にする。
  • エネルギーの移り変わりを概念図（例: エネルギーの棒グラフの変化）で描いてみるのも良い。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動量保存則 と 反発係数の式 (連立): (問1)
  • 選定理由: 2物体の衝突現象で、衝突後の各物体の速度という2つの未知数を決定するためには、2つの独立した関係式が必要。
  • 適用根拠: 運動量保存は外力不在（または無視）の系での基本原理。反発係数は衝突の性質を表す実験則。
• 力積 = 運動量の変化 (\(I = \Delta p\)): (問2)
  • 選定理由: 「力積を求めよ」という直接的な問いに対して、運動量の変化から計算するのが最も簡便。
  • 適用根拠: 運動方程式 \(F = \frac{dp}{dt}\) を時間積分したもの。
• 速度の符号による運動方向の判別: (問3)
  • 選定理由: 「左へ動く」という条件を数学的に表現するため。
  • 適用根拠: 座標軸の正の向きの定義に基づく。
• 仕事とエネルギーの関係（エネルギー収支）: (問4)
  • 選定理由: 摩擦という非保存力が仕事をする斜面上の運動で、距離や速さを求めるため。力学的エネルギーが保存しない状況での基本アプローチ。
  • 適用根拠: エネルギーは形態を変えるか仕事によって移動するだけで、全体の総量は（熱エネルギー等も含めれば）保存されるという、より広範なエネルギー保存の原理。

問題の状況（衝突か、摩擦のある運動かなど）と問われている物理量に応じて、適切な法則や公式を選択する能力が試されます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問1 (衝突後の速度 \(v, V\)):
   1. 運動量保存則: \(mv_0 = mv + MV\)。
   2. 反発係数の式: \(v – V = -ev_0\)。
   3. 上記2式を \(v, V\) についての連立方程式として解く。
2. 問2 (Pが受けた力積):
   1. Pの運動量の変化を計算: \(I_P = mv – mv_0\)。
   2. 問1で求めた \(v\) を代入して整理。
3. 問3 (Pが左へ動く条件):
   1. 問1で求めた \(v\) の式が \(v < 0\) となる条件を不等式で表す。
   2. その不等式を \(m, e, M\) の関係で整理する。
4. 問4 (Qの斜面運動):
   1. BD間の距離 \(l\) (上昇運動):
      1. Qの初期運動エネルギー \(\frac{1}{2}MV^2\)。
      2. Qの位置エネルギー増加 \(Mgl\sin\theta\)。
      3. 動摩擦力のする仕事の大きさ \(\mu Mg\cos\theta \cdot l\)。
      4. エネルギー収支の式: \(\frac{1}{2}MV^2 = Mgl\sin\theta + \mu Mg\cos\theta \cdot l\)。
      5. この式を \(l\) について解く。
   2. Bに戻った速さ \(V_1\) (下降運動):
      1. Qの初期位置エネルギー (D点) \(Mgl\sin\theta\)。
      2. Qの最終運動エネルギー \(\frac{1}{2}MV_1^2\)。
      3. 動摩擦力のする仕事の大きさ (D\(\rightarrow\)B間) \(\mu Mg\cos\theta \cdot l\)。
      4. エネルギー収支の式: \(Mgl\sin\theta = \frac{1}{2}MV_1^2 + \mu Mg\cos\theta \cdot l\)。
      5. この式を \(V_1\) について解き、求めた \(l\) を代入して \(V\) で表す。

各段階で必要な情報を前の段階の結果から引き継ぎながら、論理的に解き進めます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の徹底管理: 速度、力積、仕事の正負は、設定した座標軸（右向きが正）との関係で決まる。特に反発係数の式や力積の計算で注意。
• 連立方程式の確実な処理: (問1)では、代入法や加減法を正確に行い、計算ミスを防ぐ。
• 三角関数の適用ミス防止: 斜面上の力の分解 (\(mg\sin\theta, mg\cos\theta\)) や高さの計算 (\(l\sin\theta\)) を混同しない。
• エネルギーの項の正確な計上: 運動エネルギー、位置エネルギー、摩擦による仕事の各項を、符号を含めて正しく立式する。特に運動エネルギーの \(\frac{1}{2}\) や速度の二乗を忘れない。
• 代数計算の丁寧さ: (問4)のように複数の物理量や三角関数を含む複雑な式を整理する際は、焦らず一つ一つのステップを丁寧に。共通因数でくくる、約分するなどの操作を正確に。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な直観との照らし合わせ:
  • (1) \(e=1\)（弾性衝突）かつ \(m=M\) の場合、\(v=0, V=v_0\) (速度交換) となるか？ (代入して確認)
  • (3) \(m \ll M\) で \(e \approx 1\) ならPは強く跳ね返る (\(v<0\)) というイメージに合うか？
  • (4) \(l\) の式: \(V\) が大きいほど \(l\) も大きくなるか？ 摩擦 \(\mu\) や傾斜 \(\theta\) が大きいほど \(l\) は小さくなるか？
  • (4) \(V_1\) の式: 摩擦があれば \(V_1 < V\) となるはずだが、式の形からそう言えるか？(\(\sqrt{\frac{\sin\theta – \mu\cos\theta}{\sin\theta + \mu\cos\theta}} < 1\) か？) また、\(V_1\) が実数であるための条件 (\(\sin\theta – \mu\cos\theta \ge 0 \Rightarrow \tan\theta \ge \mu\)) は、QがDから滑り降りるための条件として妥当か？
• 単位の整合性確認:
  • 速度: [m/s]
  • 力積: [\(\text{kg} \cdot \text{m/s}\)] または [\(\text{N} \cdot \text{s}\)]
  • 条件式(3): 無次元量の比較になっているか (\(e\) と \(m/M\))。
  • 距離 \(l\): [m] (\(V^2/g\) の単位から確認)。
• 極端なケース、単純なケースでの検証:
  • \(\mu=0\) (斜面が滑らか) の場合、(4)で \(l = \frac{V^2}{2g\sin\theta}\) (力学的エネルギー保存から \(\frac{1}{2}MV^2 = Mgl\sin\theta\))、\(V_1 = V\) となり、力学的エネルギーが保存される結果と一致するか？ (一致する)
  • \(\theta=0\) (水平面) の場合、(4)の \(l\) は分母が \(\mu Mg \cos 0 = \mu Mg\) となり、\(\frac{1}{2}MV^2 = \mu Mgl \Rightarrow l = \frac{V^2}{2\mu g}\) となり、水平面での結果と一致するか？ (一致する。ただし、\(V_1\) の式は \(\sin\theta=0\) となるためそのままでは使えないが、水平面なら \(V_1=0\) になる前に \(l\) で止まる。)

これらの吟味を通じて、解答の確からしさを高め、物理現象に対する理解を多角的に深めることができます。

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