「良問の風」攻略ガイド（11〜15問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題11 (芝浦工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、静止摩擦力と力のモーメントのつり合いを扱う、剛体のつり合いに関する典型的な問題です。棒、小物体、床、壁が登場し、それぞれの間に働く力を正確に把握し、力のつり合いとモーメントのつり合いの式を立てることが求められます。特に、問(3)では、棒が滑り出す限界の条件を考える必要があります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、物理における「剛体のつり合い」というテーマに属します。剛体がつり合っている（静止している）状態を分析するには、以下の2つの条件が同時に満たされる必要があります。

• 力のつり合い: 物体に働く力のベクトル和がゼロであること。
  • 水平方向の力のつり合い: \(\sum F_{\text{水平}} = 0\)
  • 鉛直方向の力のつり合い: \(\sum F_{\text{鉛直}} = 0\)
• 力のモーメントのつり合い: ある点のまわりの力のモーメントの和がゼロであること。
  • \(\sum M = 0\)

これらの法則を適用して、未知の力を求めていきます。特に力のモーメントのつり合いを考える際には、回転軸をどこに選ぶかが計算を簡略化する上で重要になります。全体的な戦略としては、まず棒に働く力をすべて図示し、力のつり合いの式、力のモーメントのつり合いの式を立て、それらを連立して解いていきます。

問1

思考の道筋とポイント
まず、棒ABに働く力をすべて図示します。これらは、棒自身の重力 \(Mg\)、小物体Pの重力による力 \(mg\)、床からの垂直抗力 \(N\)、床からの静止摩擦力 \(F\)、壁からの垂直抗力 \(R\) です。摩擦力 \(F\) の向きは、棒が滑るとすればA点は左へ動こうとするため、それを妨げる右向きとなります。壁はなめらかなので、壁からの摩擦力はありません。
これらの力を図に描き込んだ後、力のつり合いとモーメントのつり合いを考えます。A点のまわりのモーメントのつり合いを考えると、\(N\) と \(F\) のモーメントが \(0\) になるため、計算が比較的簡単になります。

この設問における重要なポイント

• 棒に働くすべての力を正確に図示すること。
• 力のモーメントのつり合いを考える際、回転軸を適切に選ぶこと（本問ではA点が有利）。
• 水平方向および鉛直方向の力のつり合いの式も立て、連立して解くこと。

具体的な解説と立式
棒ABに働く力は以下の通りです。

• 棒の重力 \(Mg\): 棒の中点に鉛直下向き。A点のまわりのモーメントは \(-Mg \cdot \frac{l}{2} \cos\theta\)。 (時計回りを負)
• 小物体Pの重力 \(mg\): 棒の中点 (Aから \(l/2\)) に鉛直下向き。A点のまわりのモーメントは \(-mg \cdot \frac{l}{2} \cos\theta\)。
• 床からの垂直抗力 \(N\): A点に鉛直上向き。A点のまわりのモーメントは \(0\)。
• 床からの静止摩擦力 \(F\): A点に水平右向き。A点のまわりのモーメントは \(0\)。
• 壁からの垂直抗力 \(R\): B点に水平左向き。A点のまわりのモーメントは \(R \cdot l \sin\theta\)。 (反時計回りを正)

点Aのまわりの力のモーメントのつり合いの式 (反時計回りを正):
$$ R \cdot l \sin\theta – Mg \cdot \frac{l}{2} \cos\theta – mg \cdot \frac{l}{2} \cos\theta = 0 $$
水平方向の力のつり合い (右向きを正):
$$ F – R = 0 \quad \text{つまり} \quad F = R $$
鉛直方向の力のつり合い (上向きを正):
$$ N – Mg – mg = 0 \quad \text{つまり} \quad N = (M+m)g $$

まず、モーメントのつり合いの式から \(R\) を求めます。
$$ R \cdot l \sin\theta = \left(Mg \cdot \frac{l}{2} + mg \cdot \frac{l}{2}\right) \cos\theta $$
$$ R \cdot l \sin\theta = (M+m)g \frac{l}{2} \cos\theta $$
両辺から \(l\) を消去し (\(l \neq 0\))、\(\sin\theta\) で割ると (\(\sin\theta \neq 0\) なので):
$$ R = (M+m)g \frac{\cos\theta}{2 \sin\theta} $$
$$ R = \frac{(M+m)g}{2 \tan\theta} $$
水平方向の力のつり合いより \(F=R\) なので、
$$ F = \frac{(M+m)g}{2 \tan\theta} $$

棒が点Aを中心に回転しないためには、棒を時計回りに回そうとする力のモーメント（棒自身の重さとPの重さによるもの）と、反時計回りに回そうとする力のモーメント（壁からの力によるもの）が釣り合っている必要があります。このつり合いから壁が棒を押す力 \(R\) が求まります。次に、棒が水平方向に動かないためには、床からの摩擦力 \(F\) と壁からの力 \(R\) が釣り合っている必要があるので、\(F=R\) となります。

A点で棒が床から受ける摩擦力の大きさ \(F\) は \(\displaystyle F = \frac{(M+m)g}{2 \tan\theta}\) です。
この結果は、棒の傾き \(\theta\) が小さいほど（棒がより水平に近いほど）、\(\tan\theta\) が小さくなり、摩擦力 \(F\) は大きくなることを示しています。これは直感的に、棒が寝ているほど滑りやすく、それを支えるためにより大きな摩擦力が必要になることと一致します。

問2

思考の道筋とポイント
棒が静止しているためには、A点で働く静止摩擦力 \(F\) が、その点で発揮できる最大静止摩擦力 \(\mu N\) 以下でなければなりません。すなわち、\(F \le \mu N\) という条件が成り立っている必要があります。問1で求めた \(F\) と、鉛直方向の力のつり合いから得られる \(N = (M+m)g\) をこの不等式に代入して、\(\mu\) についての条件を導きます。

この設問における重要なポイント

• 静止摩擦力と最大静止摩擦力の関係 \(F \le \mu N\) を正しく理解し適用すること。
• 問1で求めた摩擦力 \(F\) と垂直抗力 \(N\) の式を正確に代入すること。

具体的な解説と立式
静止するための条件は \(F \le \mu N\) です。
問1の結果より、
$$ F = \frac{(M+m)g}{2 \tan\theta} $$
鉛直方向の力のつり合いより、
$$ N = (M+m)g $$
これらを \(F \le \mu N\) に代入します。

$$ \frac{(M+m)g}{2 \tan\theta} \le \mu (M+m)g $$
\((M+m)g\) は正の定数なので、両辺をこれで割っても不等号の向きは変わりません (\(M+m > 0, g > 0\))。
$$ \frac{1}{2 \tan\theta} \le \mu $$
したがって、
$$ \mu \ge \frac{1}{2 \tan\theta} $$

棒が滑り出さないためには、実際に働いている摩擦力 \(F\) が、床が出せる最大の摩擦力（最大静止摩擦力 \(\mu N\)）を超えてはいけません。この条件に、問1で求めた \(F\) と \(N\) の値を代入して \(\mu\) について整理すると、求める条件が得られます。

棒が静止していることから \(\displaystyle \mu \ge \frac{1}{2 \tan\theta}\) の条件が成り立っています。
この結果は、傾き \(\theta\) が小さいほど（棒が寝ているほど）、\(\tan\theta\) が小さくなり、\(\frac{1}{2 \tan\theta}\) は大きくなります。つまり、棒が寝ているほど、滑らないためにはより大きな静止摩擦係数 \(\mu\) が必要になることを示しており、直感と一致します。

問3

思考の道筋とポイント
Pの位置をAからの距離 \(x\) に変えたとき、棒が滑らずに静止する「限界」になったとは、A点で働く静止摩擦力 \(F’\) が最大静止摩擦力 \(\mu N’\) に等しくなった状況、すなわち \(F’ = \mu N’\) を指します。
Pの位置が変わることで、Pの重力によるモーメントが変化します。これに伴い、壁からの垂直抗力 \(R’\) や床からの摩擦力 \(F’\) も変化します（床からの垂直抗力 \(N’\) は変化しません）。
新しい条件で力のつり合いとモーメントのつり合いの式を立て、\(F’=\mu N’\) の条件を使って \(x\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 「限界になった」という言葉から、静止摩擦力が最大静止摩擦力に等しい (\(F’ = \mu N’\)) という条件を適用すること。
• 小物体Pの位置 \(x\) を変数として、力のモーメントのつり合いの式を正しく立てること。特に、Pの重力によるモーメントの腕の長さが \(x \cos\theta\) となる点に注意する。
• 文字が多く複雑な計算になるため、一つ一つのステップを丁寧に、かつ正確に進めること。

具体的な解説と立式
Pの位置がAから距離 \(x\) のとき、棒に働く力は以下の通りです。

• 棒の重力 \(Mg\): A点のまわりのモーメントは \(-Mg \cdot \frac{l}{2} \cos\theta\)。
• 小物体Pの重力 \(mg\): Aから水平距離 \(x \cos\theta\) の位置に作用。A点のまわりのモーメントは \(-mg \cdot x \cos\theta\)。
• 床からの垂直抗力 \(N’\): 鉛直方向のつり合いより \(N’ = (M+m)g\)。これは \(x\) に依りません。
• 床からの静止摩擦力 \(F’\): 滑る限界なので \(F’ = \mu N’ = \mu (M+m)g\)。
• 壁からの垂直抗力 \(R’\): 水平方向のつり合いより \(R’ = F’ = \mu (M+m)g\)。

点Aのまわりの力のモーメントのつり合いの式 (反時計回りを正):
$$ R’ \cdot l \sin\theta – Mg \cdot \frac{l}{2} \cos\theta – mg \cdot x \cos\theta = 0 $$
ここに \(R’ = \mu (M+m)g\) を代入します。
$$ \mu (M+m)g \cdot l \sin\theta – Mg \frac{l}{2} \cos\theta – mgx \cos\theta = 0 $$

上記モーメントのつり合いの式を \(x\) について解きます。
$$ mgx \cos\theta = \mu (M+m)g l \sin\theta – Mg \frac{l}{2} \cos\theta $$
両辺を \(mg \cos\theta\) で割ります (\(m, g, \cos\theta\) はいずれも0ではないと仮定)。
$$ x = \frac{\mu (M+m)g l \sin\theta}{mg \cos\theta} – \frac{Mg \frac{l}{2} \cos\theta}{mg \cos\theta} $$
\(g\) を消去し、整理します。
$$ x = \frac{\mu (M+m) l}{m} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} – \frac{M l}{2m} $$
$$ x = \frac{\mu (M+m) l}{m} \tan\theta – \frac{Ml}{2m} $$
共通因数 \(\displaystyle \frac{l}{2m}\) でくくると、
$$ x = \frac{l}{2m} \{2\mu (M+m) \tan\theta – M\} $$

Pの位置が変わると、Pの重さが棒を回転させようとする力のモーメントが変わります。滑り出すギリギリの状態では、摩擦力は最大値 \(\mu N’\) となり、壁からの力 \(R’\) もこれと釣り合います。これらの力を使って点Aの周りのモーメントのつり合いの式を立て、それを \(x\) について解けば、限界となるPの位置が求まります。

PをAからの距離 \(\displaystyle x = \frac{l}{2m} \{2\mu (M+m) \tan\theta – M\}\) に置いたとき、棒が滑らずに静止する限界になります。
この式は、静止摩擦係数 \(\mu\) が大きいほど、また傾斜角 \(\theta\) が大きい（\(\tan\theta\) が大きい）ほど、\(x\) が大きくなる傾向を示します。これは、床が滑りにくかったり、棒がより垂直に近い方が、小物体Pをより壁側（B点に近い位置）に置いても滑らないという直感と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつり合いの条件:
  • 力のつり合い: \(\sum \vec{F} = 0\) （水平成分、鉛直成分それぞれで和が0）
  • 力のモーメントのつり合い: \(\sum M = 0\) （任意の点のまわりで和が0）
  • これら2つの条件が、剛体が静止し続けるための基本法則です。
• 静止摩擦力と最大静止摩擦力:
  • 静止摩擦力 \(F\) は外力に応じて変化し、\(0 \le F \le \mu N\) の範囲の値をとります。
  • 最大静止摩擦力は \(F_{\text{最大}} = \mu N\) であり、「滑り出す限界」ではこの条件を用います。
• 力のモーメント:
  • モーメント = 力の大きさ \(\times\) 腕の長さ（回転軸から力の作用線までの垂直距離）。
  • モーメントの符号（時計回りか反時計回りか）を統一して計算することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • はしごを壁に立てかける問題（本問と同様の構造）。
  • 看板や物体を複数のロープや支柱で支える問題。
  • 物体が傾いて倒れるかどうかの判定問題。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 対象となる物体に働くすべての力を特定し、図示する（作用点も明確に）。
  2. 力のつり合い（水平・鉛直）の式を立てる。
  3. 力のモーメントのつり合いの式を立てる（計算が楽になる回転軸を選ぶ）。
  4. 「滑る限界」なら \(F=\mu N\)。「倒れる限界」なら回転軸周りのモーメントのつり合いが崩れる瞬間（多くは垂直抗力の作用点が支持面の端に来る）。
• ヒント・注意点:
  • 図を丁寧に描くことが、力の見落としや腕の長さの間違いを防ぐ鍵です。
  • 文字が多く複雑な場合は、一つ一つのステップを確実に進め、計算ミスに注意しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 摩擦力の向きの誤り: 物体が動こうとする向きと反対向きに働きます。
• 垂直抗力と重力の混同: 垂直抗力は面から垂直に働く力で、常に重力と等しいわけではありません。
• モーメントの腕の長さの誤り: 回転軸から力の「作用線までの垂直距離」です。三角比を正しく使いましょう。
• 静止摩擦力 \(F\) と最大静止摩擦力 \(\mu N\) の混同: \(F \le \mu N\) であり、等号は滑り出す直前のみです。

対策: 多くの類題を解き、図を描く習慣をつけ、簡単なケースで検算する癖をつけましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. フリーボディダイアグラム（対象物体に働くすべての力を矢印で図示）。
  2. モーメント計算のための、回転軸、力の作用線、腕の長さを示した図。
• 図を描く際の注意点: 力の作用点、向き、角度や長さを正確に。座標軸も明記する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(\sum F_{\text{水平}} = 0, \sum F_{\text{鉛直}} = 0\): 物体が並進運動せず静止するための条件。
• \(\sum M = 0\): 物体が回転運動せず静止するための条件。
• \(F \le \mu N\) (静止時), \(F = \mu N\) (滑る限界時): 摩擦に関する実験法則。

これらの選択・適用の根拠は、「物体が静止している」という問題設定そのものから来ています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 状況把握（剛体の静止、問われていることの確認）。
2. 力の分析（対象物体に働く全力を図示）。
3. 問1: モーメントのつり合い (A点周り) \(\rightarrow R\) 決定 \(\rightarrow\) 水平方向力のつり合い \(\rightarrow F\) 決定。鉛直方向力のつり合い \(\rightarrow N\) 決定。
4. 問2: \(F \le \mu N\) の条件に問1の結果を代入 \(\rightarrow \mu\) の条件導出。
5. 問3: 「滑る限界」 \(\rightarrow F’ = \mu N’\) を適用。Pの位置 \(x\) を変数としてモーメントのつり合い (A点周り) を立式 \(\rightarrow x\) について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位確認: 最終結果の単位が物理的に正しいか確認。
• 文字式の丁寧な扱い: 展開、移項、約分を慎重に。特に符号ミスに注意。
• 分数の計算: \(\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta\) の扱いなど、分子分母を明確に。
• 共通因数での整理: 答えを見やすく、物理的な意味が分かりやすくなるように。

日頃の練習: 途中式を省略せずに書き、検算する習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • 問(1) \(F\): \(\theta\) 小 \(\Rightarrow F\) 大。 \(\theta \rightarrow 90^\circ \Rightarrow F \rightarrow 0\)。
  • 問(2) \(\mu\): \(\theta\) 小 \(\Rightarrow\) 必要な \(\mu\) 大。
  • 問(3) \(x\): \(\mu\) 大 \(\Rightarrow x\) 大傾向。\(\theta\) 大 \(\Rightarrow x\) 大傾向。
• 単位確認:
  • (1) \(F\): [N]
  • (2) \(\mu\): 無次元
  • (3) \(x\): [m]
• 特殊なケース（極端な場合）の代入:
  • 問(3)で、もし \(2\mu (M+m) \tan\theta – M \le 0\) なら、PをA点より手前に置かないと（あるいはA点でも）滑ることを意味します。
  • Pを中点 \(x=l/2\) に置いたときに滑る限界になる条件は、問(2)で等号が成り立つ場合と一致することを確認できます。

これらの吟味が理解を深め、ミスを防ぎます。

問題12 (工学院大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、物体の運動を「斜面上の等加速度直線運動」と「空中での放物運動」の2つの部分に分けて考えるものです。それぞれの運動において、運動方程式や等加速度直線運動の公式、エネルギー保存則、放物運動の速度と変位の式などを適切に用いることが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く鍵は、運動のフェーズを明確に区別し、それぞれのフェーズで適切な物理法則を適用することです。

• フェーズ1 (A\(\rightarrow\)B): 斜面上の運動
  • 物体は重力と垂直抗力を受け、斜面に沿って等加速度直線運動をします。
  • 運動方程式、等加速度直線運動の公式、または力学的エネルギー保存則が利用できます。
• フェーズ2 (B\(\rightarrow\)水面): 空中での放物運動
  • 物体は重力のみを受け、放物運動をします。
  • 水平方向は等速直線運動、鉛直方向は等加速度直線運動として扱います。

全体的な戦略としては、まずフェーズ1（斜面上の運動）を分析し、次にその結果を使ってフェーズ2（放物運動）を分析します。

問1

思考の道筋とポイント
物体が斜面を滑り落ちる運動は、重力の斜面方向成分による等加速度直線運動です。まず斜面の長さを求め、次に運動方程式から加速度を決定し、等加速度直線運動の公式を使って時間 \(t_1\) を求めます。垂直抗力 \(N\) は、斜面に垂直な方向の力のつり合いから求めます。

この設問における重要なポイント

• 物体に働く力を正確に図示し、斜面方向と斜面に垂直な方向に分解すること。
• 三角比（特に \(\sin 30^\circ\) と \(\cos 30^\circ\)）を正しく用いて、斜面の長さや力の成分を計算すること。
• 等加速度直線運動の公式を正しく選択し、適用すること。

具体的な解説と立式
斜面の頂点Aの高さが \(h\) で、傾斜角が \(30^\circ\) なので、斜面の長さ \(L_{AB}\) は、
$$ L_{AB} = \frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{h}{1/2} = 2h $$
物体に働く力は、重力 \(mg\) と垂直抗力 \(N\) です。重力を斜面方向と斜面に垂直な方向に分解します。

• 斜面方向の力（運動方向）: \(F_s = mg \sin 30^\circ = mg \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}mg\)
• 斜面に垂直な方向の力: \(F_n = mg \cos 30^\circ = mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

斜面方向の運動方程式 \(ma = F_s\) より、加速度 \(a\) は、
$$ ma = \frac{1}{2}mg \quad $$
$$ \quad a = \frac{1}{2}g $$
初速度 \(v_{\text{初}} = 0\)、距離 \(L_{AB} = 2h\)、加速度 \(a = \frac{g}{2}\) なので、等加速度直線運動の公式 \(s = v_{\text{初}} t + \frac{1}{2}at^2\) より、時間 \(t_1\) は、
$$ 2h = 0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} \left(\frac{g}{2}\right) t_1^2 $$
斜面に垂直な方向では力のつり合いが成り立っているので（この方向の加速度は0）、
$$ N – mg \cos 30^\circ = 0 \quad $$
$$ \quad N = mg \cos 30^\circ $$

時間 \(t_1\) の計算:
$$ 2h = \frac{g}{4} t_1^2 $$
$$ t_1^2 = \frac{8h}{g} $$
\(t_1 > 0\) なので、
$$ t_1 = \sqrt{\frac{8h}{g}} = 2\sqrt{\frac{2h}{g}} $$
垂直抗力 \(N\) の計算:
$$ N = mg \cos 30^\circ = mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}mg $$

まず、物体が滑り降りる斜面の実際の長さを、高さ \(h\) と角度 \(30^\circ\) から計算します（結果は \(2h\)）。次に、物体が斜面を滑り落ちる加速度を、重力の一部から計算します（結果は \(g/2\)）。これらの情報を使って、初速0で斜面を滑りきる時間を計算式から求めます。垂直抗力は、重力の斜面に垂直な成分と釣り合っています。

物体がB点に達するまでの時間 \(t_1\) は \(\displaystyle 2\sqrt{\frac{2h}{g}}\)、斜面から受ける垂直抗力 \(N\) は \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}mg\) です。時間は高さ \(h\) が大きいほど長くなり、重力加速度 \(g\) が大きいほど短くなるという直感と一致します。垂直抗力は重力 \(mg\) よりも小さく、斜面の角度に依存しており妥当です。

問2

思考の道筋とポイント
B点での物体の速さ \(v\) は、A点からB点までの運動がなめらかな斜面上の運動であるため、力学的エネルギー保存則を用いるのが最も簡単です。あるいは、問1で求めた加速度 \(a\) と時間 \(t_1\) (または距離 \(L_{AB}\)) を使って、等加速度直線運動の公式からも求められます。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則の適用条件（保存力以外の力が仕事をしないこと）を理解し、この問題で適用できると判断すること。
• エネルギー保存則を用いる場合、位置エネルギーの基準点を明確に設定すること（通常は最も低いB点を基準とする）。
• 等加速度直線運動の公式 \(v = v_{\text{初}} + at\) や \(v^2 – v_{\text{初}}^2 = 2as\) も利用可能であることを理解しておく。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則を用います。B点を高さの基準 (\(H_B=0\)) とすると、A点の高さは \(H_A=h\) です。A点での速さは \(v_A=0\) です。
A点での力学的エネルギー: \(E_A = mgH_A + \frac{1}{2}mv_A^2 = mgh + 0 = mgh\)
B点での力学的エネルギー: \(E_B = mgH_B + \frac{1}{2}mv_B^2 = 0 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv^2\)
力学的エネルギー保存則 \(E_A = E_B\) より、
$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 $$

$$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 $$
両辺から \(m\) を消去し (\(m \neq 0\))、2倍すると、
$$ 2gh = v^2 $$
\(v > 0\) なので、
$$ v = \sqrt{2gh} $$
(別解として、\(v = at_1 = \frac{g}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{2h}{g}} = g\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{g^2 \frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}\) でも同じ結果が得られます。)

物体がA点からB点まで滑り落ちる間、摩擦がないため、持っていた「高さのエネルギー（位置エネルギー）」がすべて「速さのエネルギー（運動エネルギー）」に変わります。この関係を式にすると、B点での速さ \(v\) が簡単に求まります。

B点での物体の速さ \(v\) は \(\sqrt{2gh}\) です。この速さは、物体が高さ \(h\) から自由落下したときの速さと同じであり、力学的エネルギーが保存されていることを反映しています。質量 \(m\) に依らない点も特徴です。

問3

思考の道筋とポイント
B点から物体は放物運動をします。B点での初速度は問2で求めた \(v\) で、向きは斜面と同じく水平面に対して \(30^\circ\) です。水面に \(60^\circ\) の角度で飛びこむという条件は、水面到達時の速度の鉛直成分と水平成分の比が \(\tan 60^\circ\) であることを意味します。水平方向の速度は放物運動中一定であることに注意します。

この設問における重要なポイント

• 放物運動を水平方向（等速直線運動）と鉛直方向（等加速度直線運動）に分けて考えること。
• B点での初速度を正確に水平成分と鉛直成分に分解すること。このとき、速度の向きは斜面方向（水平と \(30^\circ\)）である。
• 水面への入射角の条件を、速度の鉛直成分と水平成分の関係式 (\(v_{\text{鉛直}}/v_{\text{水平}} = \tan\theta\)) に正しく変換すること。
• 鉛直方向の運動について、座標軸の向き（上向き正か下向き正か）を一貫して用いること。

具体的な解説と立式
B点での初速度 \(v = \sqrt{2gh}\)。この速度の水平成分 \(v_{B,\text{水平}}\) と鉛直成分 \(v_{B,\text{鉛直}}\) (鉛直下向きを正とする) は、
$$ v_{B,\text{水平}} = v \cos 30^\circ = \sqrt{2gh} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ v_{B,\text{鉛直}} = v \sin 30^\circ = \sqrt{2gh} \cdot \frac{1}{2} $$
時間 \(t_2\) 後に水面に達したときの速度の水平成分 \(v_{W,\text{水平}}\) と鉛直成分 \(v_{W,\text{鉛直}}\) は、
$$ v_{W,\text{水平}} = v_{B,\text{水平}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2gh} \quad (\text{水平方向は等速}) $$
$$ v_{W,\text{鉛直}} = v_{B,\text{鉛直}} + gt_2 = \frac{1}{2}\sqrt{2gh} + gt_2 \quad (\text{鉛直方向は初速 } v_{B,\text{鉛直}} \text{ で加速度 } g \text{ の等加速度運動}) $$
水面に \(60^\circ\) の角度で飛びこむので、
$$ \frac{v_{W,\text{鉛直}}}{v_{W,\text{水平}}} = \tan 60^\circ = \sqrt{3} $$
したがって、
$$ \frac{\frac{1}{2}\sqrt{2gh} + gt_2}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2gh}} = \sqrt{3} $$

$$ \frac{1}{2}\sqrt{2gh} + gt_2 = \sqrt{3} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2gh}\right) $$
$$ \frac{1}{2}\sqrt{2gh} + gt_2 = \frac{3}{2}\sqrt{2gh} $$
両辺から \(\frac{1}{2}\sqrt{2gh}\) を引くと、
$$ gt_2 = \frac{3}{2}\sqrt{2gh} – \frac{1}{2}\sqrt{2gh} $$
$$ gt_2 = \left(\frac{3-1}{2}\right)\sqrt{2gh} = \frac{2}{2}\sqrt{2gh} = \sqrt{2gh} $$
したがって、
$$ t_2 = \frac{\sqrt{2gh}}{g} = \sqrt{\frac{2gh}{g^2}} = \sqrt{\frac{2h}{g}} $$

物体がB点から飛び出すときの速さ \(v\) と角度 \(30^\circ\) から、まず水平方向の速さと鉛直下向きの初速を求めます。物体が水面に \(60^\circ\) で飛び込むとき、その瞬間の「鉛直方向の速さ」を「水平方向の速さ」で割ったものが \(\tan 60^\circ\)（つまり \(\sqrt{3}\)）になります。水平方向の速さは飛び出してからずっと変わりません。鉛直方向の速さは、初速に加えて重力で時間とともに増えていきます。この関係を式にして、時間 \(t_2\) について解きます。

B点から水面に飛びこむまでの時間 \(t_2\) は \(\displaystyle \sqrt{\frac{2h}{g}}\) です。この時間は \(h\) が大きいほど長くなり、\(g\) が大きいほど短くなるという物理的な直感に合致します。

問4

思考の道筋とポイント
水面からB点までの高さ \(H\) は、B点から鉛直下向きに \(t_2\) 時間落下したときの鉛直方向の変位です。鉛直方向の初速度 \(v_{B,\text{鉛直}}\) と時間 \(t_2\)、重力加速度 \(g\) を用いて、等加速度直線運動の変位の公式から求めることができます。あるいは、鉛直方向の速度と変位の関係式 \(v_{\text{鉛直}}^2 – v_{\text{初,鉛直}}^2 = 2ay\) も利用可能です。

この設問における重要なポイント

• 鉛直方向の運動に着目し、適切な等加速度直線運動の公式を選択すること。
• 問2および問3で求めたB点での速度の鉛直成分 \(v_{B,\text{鉛直}}\) や時間 \(t_2\) の値を正確に用いること。
• 計算過程での平方根や代数計算を丁寧に行うこと。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正とし、B点を原点とすると、\(t_2\) 時間後の鉛直方向の変位が \(H\) になります。
初速度の鉛直成分: \(v_{B,\text{鉛直}} = v \sin 30^\circ = \sqrt{2gh} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2gh}\)
時間: \(t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}\)
加速度: \(g\)
変位の公式 \(y = v_{\text{初}y}t + \frac{1}{2}at^2\) より、
$$ H = v_{B,\text{鉛直}} t_2 + \frac{1}{2}g t_2^2 $$
$$ H = \left(\frac{1}{2}\sqrt{2gh}\right) \left(\sqrt{\frac{2h}{g}}\right) + \frac{1}{2}g \left(\sqrt{\frac{2h}{g}}\right)^2 $$

第1項:
$$ \left(\frac{1}{2}\sqrt{2gh}\right) \left(\sqrt{\frac{2h}{g}}\right) = \frac{1}{2} \sqrt{2gh \cdot \frac{2h}{g}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{4gh^2}{g}} = \frac{1}{2} \sqrt{4h^2} = \frac{1}{2} (2h) = h \quad (\text{since } h>0) $$
第2項:
$$ \frac{1}{2}g \left(\sqrt{\frac{2h}{g}}\right)^2 = \frac{1}{2}g \left(\frac{2h}{g}\right) = \frac{1}{2} \cdot 2h = h $$
したがって、
$$ H = h + h = 2h $$
(別解として、\(v_{W,\text{鉛直}}^2 – v_{B,\text{鉛直}}^2 = 2gH\) を用いることもできます。
\(v_{W,\text{鉛直}} = \frac{3}{2}\sqrt{2gh}\)、\(v_{B,\text{鉛直}} = \frac{1}{2}\sqrt{2gh}\) なので、
$$ \left(\frac{3}{2}\sqrt{2gh}\right)^2 – \left(\frac{1}{2}\sqrt{2gh}\right)^2 = 2gH $$
$$ \frac{9}{4}(2gh) – \frac{1}{4}(2gh) = 2gH $$
$$ \frac{8}{4}(2gh) = 2gH $$
$$ 2(2gh) = 2gH $$
$$ 4gh = 2gH $$
$$ H=2h $$

B点から水面までの高さ \(H\) は、物体がB点から鉛直下向きにどれだけ落ちたかという距離です。これは、B点での鉛直下向きの初速と、B点から水面まで落ちる時間を使って、等加速度運動の距離の公式から計算できます。「距離 = 初速 × 時間 + (1/2) × 加速度 × 時間の2乗」という式に値を代入します。

水面からB点までの高さ \(H\) は \(2h\) です。これは斜面の頂点Aの高さ \(h\) のちょうど2倍という結果です。物理的な条件から導かれた明確な関係であり、\(h\) が大きいほど \(H\) も大きくなるという直感に合致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 斜面上の運動:
  • 運動方程式 (\(ma=F\)) と力の分解。
  • 等加速度直線運動の公式の適用。
  • なめらかな面での力学的エネルギー保存則。
• 放物運動:
  • 水平方向と鉛直方向への運動の分解（水平:等速、鉛直:等加速度）。
  • 速度のベクトル的な扱い（成分分解、角度との関係）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 斜面の角度や高さ、飛び出す角度が異なる設定の問題。
  • 地面や壁への衝突、最高点到達などを問う問題。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 運動のフェーズを明確に区別する（例：斜面運動 \(\rightarrow\) 放物運動）。
  2. 各フェーズで働く力を正確に把握し、図示する。
  3. 座標軸を設定し、ベクトル量（速度、加速度、変位）を成分で考える。
  4. 「特定の角度で衝突」「最高点」などのキーワードから、速度成分間の関係式を立てる。
• ヒント・注意点:
  • 図を丁寧に描くことは、力の分解や角度の把握に不可欠です。
  • 力学的エネルギー保存則は、適用できれば計算を大幅に簡略化できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 斜面上の加速度: 重力加速度 \(g\) ではなく、\(g\sin\theta\) です。
• 垂直抗力 \(N\): \(mg\) ではなく、\(mg\cos\theta\) です（斜面の場合）。
• 放物運動の初速度の分解: B点での速度 \(v\) は斜面方向を向いているため、これを水平・鉛直に分解する際の角度（水平面となす角は \(30^\circ\)）に注意が必要です。
• 衝突角度の解釈: 速度ベクトルと「水平面」がなす角度です。図示して三角比の関係を明確にしましょう。
• 符号の扱い: 座標軸の正の向きを定め、初速度や加速度の符号を一貫して扱うことが重要です。

対策: 基本公式の理解を深め、多くの類題で図を描きながら解く練習を重ねることが大切です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. 斜面上の物体に働く力（重力、垂直抗力）と、重力の分解を示した図。
  2. B点から放物運動する際の初速度ベクトルと、その水平・鉛直成分を示した図。
  3. 水面到達時の速度ベクトル、その成分、および入射角を示した図。
• 図を描く際の注意点: 角度やベクトルの向きを正確に。座標軸も明記する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(L_{AB} = h/\sin 30^\circ\): 斜面の幾何学的関係。
• \(a = g\sin 30^\circ\): 斜面方向の運動方程式から。
• \(L_{AB} = \frac{1}{2}at_1^2\): 初速ゼロの等加速度運動の距離の式。
• \(N = mg\cos 30^\circ\): 斜面垂直方向の力のつり合い。
• \(mgh = \frac{1}{2}mv^2\): A点からB点までの力学的エネルギー保存。
• \(v_{W,\text{鉛直}}/v_{W,\text{水平}} = \tan 60^\circ\): 水面入射時の速度ベクトルの向きの条件。
• \(v_{W,\text{鉛直}} = v_{B,\text{鉛直}} + gt_2\), \(H = v_{B,\text{鉛直}}t_2 + \frac{1}{2}gt_2^2\): 鉛直方向の等加速度運動の公式。

各公式の選択は、その場面での物理法則と求める量に基づいています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問(1) \(t_1, N\): 斜面の長さ特定 \(\rightarrow\) 斜面上の加速度特定 \(\rightarrow\) 時間 \(t_1\) 計算 \(\rightarrow\) 垂直抗力 \(N\) 計算。
2. 問(2) \(v\): A点とB点間で力学的エネルギー保存則を適用。
3. 問(3) \(t_2\): B点での初速度を成分分解 \(\rightarrow\) 水面到達時の速度成分を \(t_2\) で表現 \(\rightarrow\) 入射角の条件から \(t_2\) を計算。
4. 問(4) \(H\): B点からの鉛直投射と考え、鉛直方向の変位公式から \(H\) を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角比の値の正確性: \(\sin 30^\circ, \cos 30^\circ, \tan 60^\circ\) などを正確に。
• 平方根の計算: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) のような変形や、文字式の平方根の処理を丁寧に。
• 式の代入: 前の設問の結果を代入する際は、値を間違えないように。
• 符号: 速度や加速度の向きに注意し、符号を一貫して扱う。

日頃の練習: 途中式を丁寧に書き、検算や単位の確認を習慣づけることが重要です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • \(t_1, t_2\): \(h\) が大きいほど時間は増大、\(g\) が大きいほど時間は減少。
  • \(N\): \(mg\) より小さく、角度に依存。
  • \(v\): \(h\) が大きいほど増大、質量 \(m\) には無関係。
  • \(H\): \(h\) と比例関係にあるかなど、依存性を確認。\(H=2h\) は興味深い結果。
• 単位確認: 各物理量の単位が最終的に正しいか（例：時間は[s]、速さは[m/s]、力は[N]、長さは[m]）。
• 極端な場合を考える: 例えば、もし斜面が平ら（\(\theta=0\)）なら滑り出さない、など。

これらの吟味が理解を深め、ミスを減らすのに役立ちます。

問題13 (愛知工大 + 室蘭工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、動摩擦力が働く場合の物体の運動（水平面および斜面上）と、斜面上で物体が静止し続けるための条件（静止摩擦力）を扱っています。運動方程式と仕事とエネルギーの関係（または等加速度運動の公式）、そして摩擦力の性質を理解しているかが問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く上で中心となるのは以下の物理法則と概念です。

• ニュートンの運動方程式 (\(ma=F_{\text{合力}}\)): 物体の加速度は、働く力の合力に比例し、質量に反比例します。
• 動摩擦力: 物体が動いているときに働く摩擦力で、大きさは \(F_{\text{動摩擦}} = \mu N\)（\(\mu\): 動摩擦係数, \(N\): 垂直抗力）。向きは運動方向と逆向きです。
• 等加速度直線運動の公式: 加速度が一定の場合に成り立つ速度と変位の関係式。
• 仕事とエネルギーの関係: 物体に働く合力のする仕事は、物体の運動エネルギーの変化に等しい。
• 静止摩擦力: 物体が静止しているときに働く摩擦力。その大きさは外力に応じて変化し、最大値（最大静止摩擦力 \(\mu_0 N\)）を超えると物体は滑り出します。

各設問において、これらの法則を適切に適用し、未知数を求めていきます。

問1

思考の道筋とポイント
物体は水平面上を初速 \(v_{\text{初}}\) で滑り始め、動摩擦力を受けて減速し、やがて止まります。これは等加速度（負の加速度）直線運動です。まず物体に働く力を特定し、運動方程式から加速度を求め、等加速度直線運動の公式を用いて距離 \(l\) と時間 \(t\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 動摩擦力の大きさが \(F_{\text{動摩擦}} = \mu N\) であり、その向きが運動方向と逆向きであることを正しく理解し適用すること。
• 水平面上では、垂直抗力 \(N\) が重力 \(mg\) と釣り合うことを把握すること。
• 運動方程式を立てて加速度を正確に求めること。
• 物体の最終的な速度が \(0\) になるという条件を、等加速度直線運動の公式に適用すること。

具体的な解説と立式
物体に働く力は、鉛直下向きの重力 \(mg\)、鉛直上向きの垂直抗力 \(N\)、運動方向と逆向きの動摩擦力 \(F_{\text{動摩擦}} = \mu N\) です。
鉛直方向の力のつり合いより、
$$ N – mg = 0 $$
$$ N = mg $$
したがって、動摩擦力の大きさは、
$$ F_{\text{動摩擦}} = \mu N = \mu mg $$
運動の向きを正とすると、物体の運動方程式 \(ma = F\) は、
$$ ma = -F_{\text{動摩擦}} = -\mu mg $$
ここから加速度 \(a\) が求まります。
止まる（終端速度 \(v=0\)）までの距離 \(l\) は、等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_{\text{初}}^2 = 2as\) より、
$$ 0^2 – v_{\text{初}}^2 = 2al $$
止まるまでの時間 \(t\) は、公式 \(v = v_{\text{初}} + at\) より、
$$ 0 = v_{\text{初}} + at $$

加速度 \(a\) の計算:
$$ ma = -\mu mg $$
$$ a = -\mu g $$
距離 \(l\) の計算:
$$ -v_{\text{初}}^2 = 2(-\mu g)l $$
$$ v_{\text{初}}^2 = 2\mu gl $$
$$ l = \frac{v_{\text{初}}^2}{2\mu g} $$
時間 \(t\) の計算:
$$ 0 = v_{\text{初}} + (-\mu g)t $$
$$ \mu gt = v_{\text{初}} $$
$$ t = \frac{v_{\text{初}}}{\mu g} $$

物体が水平な板の上を滑るとき、板との摩擦によって減速します。この摩擦による減速の度合い（加速度の負の値）は \(-\mu g\) となります。初めの速さ \(v_{\text{初}}\) から、この減速で止まる（速さが0になる）までに進む距離 \(l\) と、かかる時間 \(t\) を、それぞれ運動の公式に当てはめて計算します。

止まるまでに滑る距離 \(l = \displaystyle\frac{v_{\text{初}}^2}{2\mu g} [\text{m}]\)、止まるまでの時間 \(t = \displaystyle\frac{v_{\text{初}}}{\mu g} [\text{s}]\) です。これらの結果は、初速が大きいほど、また動摩擦係数や重力加速度が小さいほど、より遠くまで、より長い時間滑るという直感と一致します。単位もそれぞれ距離と時間として適切です。

問2

思考の道筋とポイント
物体は斜面を初速 \(v_{\text{初}}\) で上向きに滑り始め、重力の斜面方向成分と動摩擦力の両方によって減速し、やがて点Aで止まります。まず、斜面上で物体に働く力を正確に把握し、運動方程式から加速度を求めます。次に、等加速度直線運動の公式と、(1)で求めた \(l\) の関係を用いて動摩擦係数 \(\mu\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 斜面上の運動では、重力を斜面方向と斜面に垂直な方向に分解すること。
• 物体が斜面を上る場合、動摩擦力は斜面下向きに働くことを理解すること。
• 斜面上の垂直抗力 \(N’\) が \(mg\cos\theta\) (\(\theta=45^\circ\)) となることを正しく導くこと。
• 前の設問(1)で得られた \(l\) の式を、本設問の条件式に正しく代入し、\(\mu\) について解くこと。

具体的な解説と立式
平板を \(45^\circ\) 傾けたとき、物体に働く力は、重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N’\)、動摩擦力 \(F’_{\text{動摩擦}} = \mu N’\) です。運動は斜面に沿って上向きなので、動摩擦力は斜面下向きに働きます。重力 \(mg\) を斜面方向と斜面に垂直な方向に分解します。

• 重力の斜面下向き成分: \(mg \sin 45^\circ = mg \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\)
• 重力の斜面に垂直な成分: \(mg \cos 45^\circ = mg \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\)

斜面に垂直な方向の力のつり合いより、
$$ N’ – mg \cos 45^\circ = 0 $$
$$ N’ = mg \cos 45^\circ = \frac{mg}{\sqrt{2}} $$
動摩擦力の大きさは、
$$ F’_{\text{動摩擦}} = \mu N’ = \mu \frac{mg}{\sqrt{2}} $$
斜面上向きを正とすると、物体の運動方程式 \(ma’ = F_{\text{合力}}\) は、
$$ ma’ = -mg \sin 45^\circ – F’_{\text{動摩擦}} = -mg \frac{1}{\sqrt{2}} – \mu \frac{mg}{\sqrt{2}} = -\frac{mg}{\sqrt{2}}(1+\mu) $$
加速度 \(a’\) は、
$$ a’ = -\frac{g}{\sqrt{2}}(1+\mu) $$
物体は初速 \(v_{\text{初}}\) で \(\frac{1}{2}l\) の距離を滑って止まった（終端速度 \(v=0\)）ので、等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_{\text{初}}^2 = 2as\) より、
$$ 0^2 – v_{\text{初}}^2 = 2a’ \left(\frac{1}{2}l\right) $$
$$ -v_{\text{初}}^2 = a’l $$

$$ -v_{\text{初}}^2 = \left(-\frac{g}{\sqrt{2}}(1+\mu)\right) l $$
$$ v_{\text{初}}^2 = \frac{g}{\sqrt{2}}(1+\mu)l $$
ここで、(1)で求めた \(l = \displaystyle\frac{v_{\text{初}}^2}{2\mu g}\) を代入します。
$$ v_{\text{初}}^2 = \frac{g}{\sqrt{2}}(1+\mu) \left(\frac{v_{\text{初}}^2}{2\mu g}\right) $$
\(v_{\text{初}} \neq 0\) なので両辺を \(v_{\text{初}}^2\) で割り、\(g \neq 0\) なので \(g\) を消去すると、
$$ 1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+\mu) \frac{1}{2\mu} $$
$$ 1 = \frac{1+\mu}{2\sqrt{2}\mu} $$
両辺に \(2\sqrt{2}\mu\) を掛けると、
$$ 2\sqrt{2}\mu = 1+\mu $$
$$ 2\sqrt{2}\mu – \mu = 1 $$
$$ (2\sqrt{2}-1)\mu = 1 $$
$$ \mu = \frac{1}{2\sqrt{2}-1} $$
（有理化すると \(\mu = \displaystyle\frac{2\sqrt{2}+1}{7}\)）

物体が斜面を上るとき、重力の一部（斜面下向き）と摩擦力（これも斜面下向き）の両方が物体の動きを妨げ、減速させます。この減速の度合い（加速度の負の値）を計算します。初めの速さ \(v_{\text{初}}\) から、この減速で止まるまでに進む距離が \(\frac{1}{2}l\) であるという条件と、問(1)で求めた \(l\) の式を結びつけることで、動摩擦係数 \(\mu\) についての方程式が得られ、これを解きます。

動摩擦係数 \(\mu\) の値は \(\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{2}-1}\) です。数値としておよそ \(0.547\) となり、動摩擦係数として妥当な範囲の値です。この値は、水平面と斜面での運動の比較から導き出されました。

問3

思考の道筋とポイント
物体が点Aで止まった後、滑り落ちずに静止し続けるための条件を考えます。このとき物体に働く力は、重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N’\)、そして静止摩擦力 \(F_{\text{静止摩擦}}\) です。物体を滑り落とそうとする力（重力の斜面方向成分）と、これを妨げる最大の静止摩擦力を比較します。

この設問における重要なポイント

• 静止摩擦力と最大静止摩擦力の違いを明確に理解すること。物体が静止しているとき、実際に働いている静止摩擦力は、滑り出そうとする力と釣り合う大きさで、最大静止摩擦力 \(\mu_0 N’\) を超えない。
• 物体が滑り落ちないための条件は、「滑り落ちようとする力 \(\le\) 最大静止摩擦力」である。
• この場合の「滑り落ちようとする力」は、重力の斜面方向成分である。
• 垂直抗力 \(N’\) は問(2)と同じ値を用いる。

具体的な解説と立式
点Aで物体が静止しているとき、物体には斜面下向きに重力の成分 \(mg \sin 45^\circ\) が働いています。この力で滑り落ちないように、静止摩擦力 \(F_{\text{静止摩擦}}\) が斜面「上向き」に働きます。
物体が静止し続けるためには、この静止摩擦力 \(F_{\text{静止摩擦}}\) が最大静止摩擦力 \(F_{\text{最大静止摩擦}} = \mu_0 N’\) 以下であればよく、かつ、滑り落ちようとする力と釣り合っている必要があります。つまり、
$$ mg \sin 45^\circ \le F_{\text{最大静止摩擦}} $$
$$ mg \sin 45^\circ \le \mu_0 N’ $$
ここで、\(N’ = mg \cos 45^\circ = \displaystyle\frac{mg}{\sqrt{2}}\) であり、\(\sin 45^\circ = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) です。
$$ mg \frac{1}{\sqrt{2}} \le \mu_0 \left(mg \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$

$$ mg \frac{1}{\sqrt{2}} \le \mu_0 mg \frac{1}{\sqrt{2}} $$
両辺を \(mg \frac{1}{\sqrt{2}}\)（これは正の数）で割ると、
$$ 1 \le \mu_0 $$
したがって、
$$ \mu_0 \ge 1 $$

物体が斜面上の点Aで止まった後、下に滑り落ちないためには、摩擦力が物体を支える必要があります。物体を斜面下に引っ張ろうとするのは重力の一部です（\(mg \sin 45^\circ\)）。これに対して、静止摩擦力が反対向き（斜面上向き）に働きます。この静止摩擦力が出せる最大の力は「静止摩擦係数 \(\mu_0 \times\) 垂直抗力 \(N’\)」です。物体が滑り落ちないためには、「重力の斜面方向成分 \(\le\) 最大の静止摩擦力」という条件が満たされればよいので、これを \(\mu_0\) について解きます。

静止摩擦係数 \(\mu_0\) の値は \(1\) 以上である必要があります (\(\mu_0 \ge 1\))。静止摩擦係数が1以上というのは比較的大きな値ですが、\(45^\circ\) という急な斜面で物体が滑り落ちないためには、それだけの摩擦が必要であることを示しています。一般に、角度 \(\theta\) の斜面で物体が滑り落ちない条件は \(\mu_0 \ge \tan\theta\) であり、\(\tan 45^\circ = 1\) なので、この結果と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式 (\(ma=F_{\text{合力}}\)): 力と加速度の関係を記述する基本法則。特に摩擦力が関わる運動の解析に不可欠です。
• 動摩擦力 (\(F_{\text{動摩擦}} = \mu N\)): 物体が運動している際に働く摩擦力。その大きさと向きを正しく理解することが重要です。
• 静止摩擦力と最大静止摩擦力 (\(F_{\text{静止摩擦}} \le \mu_0 N\)): 物体が静止している際に働く摩擦力。滑り出す限界の条件を理解することが鍵となります。
• 力の分解: 特に斜面上の運動では、重力を斜面方向と斜面に垂直な方向に分解する操作が基本です。
• 等加速度直線運動の公式: 加速度が一定の場合に、速度、変位、時間の関係を記述する便利なツールです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 様々な角度の斜面、異なる初速度、あるいは摩擦係数が未知の問題。
  • 摩擦がある場合の仕事とエネルギーの関係を問う問題。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 物体に働く力を全て図示する（フリーボディダイアグラム）。
  2. 摩擦が動摩擦なのか静止摩擦なのかを問題文から正確に判断する。
  3. 運動方向、あるいは力のつり合いを考える方向に応じて座標軸を設定する。
  4. 垂直抗力 \(N\) は常に \(mg\) とは限らないことに注意し、必ず力のつり合い（または運動方程式）から求める。
• ヒント・注意点:
  • 摩擦力は常に運動を妨げる向き、あるいは滑り出そうとするのを妨げる向きに働きます。
  • 仕事とエネルギーの関係（運動エネルギーの変化＝合力のした仕事）は、加速度を介さずに速度変化と移動距離の関係を導けるため、有効な別解となることがあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 動摩擦力と静止摩擦力の混同: それぞれ係数が異なり、働く条件も異なります。
• 摩擦力の向きの誤り: 動摩擦力は「運動方向と逆」、静止摩擦力は「滑り出そうとする方向と逆」。
• 垂直抗力 \(N\) の安易な決定: 必ず力の図示とつり合いから。斜面では \(N=mg\cos\theta\)。
• 重力の斜面成分の誤り: \(mg\sin\theta\) (斜面平行)と \(mg\cos\theta\) (斜面垂直)の使い分け。
• 加速度の符号: 設定した座標軸の正の向きに対して、減速なら負、加速なら正。

対策: 多くの類題にあたり、特に力の図示と運動方程式の立式を丁寧に練習しましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 有効な図:
  1. 物体に働く全ての力を矢印で示したフリーボディダイアグラム。
  2. 斜面上の問題では、重力を斜面平行成分と垂直成分に分解した図。
  3. 加速度の向き、運動の向きを明確に示した図。
• 図を描く際の注意点: 力の作用点、ベクトルの向きと相対的な長さを意識する。角度や座標軸も明記する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(N=mg\) や \(N=mg\cos\theta\): 面に垂直な方向の力のつり合い（または加速度ゼロの運動方程式）。
• \(F_{\text{動摩擦}} = \mu N\), \(F_{\text{最大静止摩擦}} = \mu_0 N\): 摩擦力の定義式。
• \(ma = F_{\text{合力}}\): ニュートンの第二法則。運動状態の変化（加速度）の原因となる正味の力を記述。
• 等加速度運動の公式群: 加速度が一定であるという条件下で、運動の様子を記述する運動学的関係式。
• \(mg\sin\theta \le \mu_0 N\): 物体が斜面で静止し続けるための力学的条件。

これらの公式は、それぞれの物理的状況と問いに応じて選択されます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問(1) 水平面上の運動: \(N\)決定 \(\rightarrow\) \(F_{\text{動摩擦}}\)決定 \(\rightarrow\) 運動方程式で\(a\)決定 \(\rightarrow\) 等加速度公式で\(l, t\)決定。
2. 問(2) 斜面上の運動: \(N’\)決定 \(\rightarrow\) \(F’_{\text{動摩擦}}\)決定 \(\rightarrow\) 運動方程式で\(a’\)決定 \(\rightarrow\) 等加速度公式と(1)の\(l\)で\(\mu\)決定。
3. 問(3) 斜面上の静止: 滑り出す力(\(mg\sin 45^\circ\))特定 \(\rightarrow\) 最大静止摩擦力(\(\mu_0 N’\))特定 \(\rightarrow\) 静止条件の不等式から\(\mu_0\)の範囲決定。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の一貫性と明記: 問題文で単位が与えられている場合、解答にも適切に単位を付す。
• 符号の確認: 力、加速度、変位などのベクトルの向きと、設定した座標軸の正の向きを照らし合わせ、符号を間違えない。
• 三角比の正確な値: \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = 1/\sqrt{2}\) などを正確に。
• 代数計算の精度: 文字式の整理、方程式の解法、特に分数や平方根を含む計算は慎重に。

日頃の練習: 途中式を丁寧に書き、図と照らし合わせながら論理の流れを確認する習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • \(l, t\) (問1): 初速大 \(\Rightarrow l, t\) 大。 \(\mu\) 大 \(\Rightarrow l, t\) 小。
  • \(\mu\) (問2): 通常0から1程度だが、状況による。\(\mu \approx 0.547\) は妥当。
  • \(\mu_0\) (問3): \(\mu_0 \ge 1\) は \(45^\circ\) の斜面で静止するには大きな摩擦が必要であることを示唆 (\(\tan 45^\circ = 1\))。
• 単位確認: \(l[\text{m}]\), \(t[\text{s}]\), \(\mu, \mu_0\)は無次元。全て整合性が取れています。
• 特殊なケースの考察: 例えば \(\mu=0\) (摩擦なし) なら(1)では止まらない。もし \(\theta=0\) なら(2)は(1)と矛盾する状況設定（上向きに滑らせるが水平）。

これらの吟味は、解答の信頼性を高め、物理現象への理解を深めます。

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問題14 (山形大 + 徳島大)