「良問の風」攻略ガイド（11〜15問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題11 (芝浦工大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「剛体のつりあい」と「摩擦力」です。
壁に立てかけられた棒が静止している条件、そして小物体Pの位置を変えたときに滑り出す直前の条件（最大摩擦力）を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
未知の力（床の垂直抗力 \(N\)、静止摩擦力 \(F\)）が集中している点Aを回転軸（支点）に選びます。
これにより、\(N\) と \(F\) のモーメントが \(0\) になり、壁の垂直抗力 \(R\) だけを含む式を作ることができます。
その後、水平方向の力のつりあいから \(F\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 回転軸の選択: 点Aを回転軸とします。
• 力の図示:
  • 棒の重力 \(Mg\): 重心（中点）に鉛直下向き。
  • 小物体の重力 \(mg\): 中点に鉛直下向き。
  • 壁の垂直抗力 \(R\): 点Bに水平右向き。
  • 床の垂直抗力 \(N\): 点Aに鉛直上向き。
  • 静止摩擦力 \(F\): 点Aに水平左向き（棒の下端が右に滑ろうとするのを止める向き）。
• 腕の長さ:
  • 重力（鉛直力）の腕: 回転軸Aからの水平距離。
  • 壁の抗力（水平力）の腕: 回転軸Aからの鉛直距離。

具体的な解説と立式
1. 点Aまわりのモーメントのつりあい

• 反時計回りのモーメント: 棒と小物体の重力によるもの。
  • 棒の重力 \(Mg\): 腕の長さ \(\displaystyle \frac{l}{2} \cos \theta\) \(\rightarrow\) \(Mg \cdot \displaystyle \frac{l}{2} \cos \theta\)
  • 小物体の重力 \(mg\): 腕の長さ \(\displaystyle \frac{l}{2} \cos \theta\) \(\rightarrow\) \(mg \cdot \displaystyle \frac{l}{2} \cos \theta\)
• 時計回りのモーメント: 壁の垂直抗力 \(R\) によるもの。
  • 力: \(R\)
  • 腕の長さ: \(l \sin \theta\) （AからBまでの高さ）
  • モーメント: \(R \cdot l \sin \theta\)

モーメントのつりあいの式（反時計回りの和 = 時計回りの和）は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
(Mg + mg) \cdot \frac{l}{2} \cos \theta &= R \cdot l \sin \theta \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
2. 水平方向の力のつりあい

• 右向きの力: \(R\)
• 左向きの力: \(F\)

つりあいの式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
F &= R \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①より \(R\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
R \cdot l \sin \theta &= \frac{1}{2}(M + m)g l \cos \theta \\[2.0ex]
R &= \frac{(M + m)g \cos \theta}{2 \sin \theta} \\[2.0ex]
&= \frac{(M + m)g}{2 \tan \theta}
\end{aligned}
$$
式②より、摩擦力 \(F\) は \(R\) と等しいので、
$$
\begin{aligned}
F &= \frac{(M + m)g}{2 \tan \theta}
\end{aligned}
$$

棒が倒れないように壁が支えている力 \(R\) を、回転のバランス（モーメント）から計算しました。
そして、棒の下端が滑らないように床が支えている摩擦力 \(F\) は、壁が押す力 \(R\) とちょうど釣り合っているはずなので、同じ大きさになります。

摩擦力は \(\displaystyle \frac{(M + m)g}{2 \tan \theta}\) です。
角度 \(\theta\) が小さい（棒が立っている）と \(\tan \theta\) は小さくなり、摩擦力は大きくなります。これは直感（立ちすぎると倒れやすい＝大きな支えが必要）とは逆に見えますが、実際には \(\theta \to 90^\circ\) で \(F \to 0\) となり、垂直に立てば摩擦はいらないので正しいです。逆に \(\theta \to 0\)（寝かせると）\(F \to \infty\) となり、滑りやすくなることを示唆しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
棒が静止しているということは、静止摩擦力 \(F\) が最大摩擦力 \(\mu N\) 以下であるということです。
まずは鉛直方向の力のつりあいから \(N\) を求め、不等式 \(F \le \mu N\) を解きます。

この設問における重要なポイント

• 鉛直方向のつりあい:
  • 上向き: \(N\)
  • 下向き: \(Mg + mg\)
• 静止条件: \(F \le \mu N\) （滑り出さない条件）

具体的な解説と立式
1. 鉛直方向の力のつりあい
$$
\begin{aligned}
N &= Mg + mg = (M + m)g \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
2. 静止条件の立式
棒が滑らないための条件は、
$$
\begin{aligned}
F &\le \mu N
\end{aligned}
$$
これに(1)の結果と式③を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{(M + m)g}{2 \tan \theta} &\le \mu (M + m)g
\end{aligned}
$$

両辺を \((M + m)g\) （正の値）で割ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2 \tan \theta} &\le \mu \\[2.0ex]
\mu &\ge \frac{1}{2 \tan \theta}
\end{aligned}
$$

床がツルツルだと棒は滑って倒れてしまいます。
滑らないためには、床の摩擦係数 \(\mu\) がある程度大きくないといけません。
その「ある程度」の基準を計算しました。棒が立っている（\(\theta\) が大きい）ほど \(\tan \theta\) が大きくなり、必要な \(\mu\) は小さくて済みます。

\(\mu \ge \displaystyle \frac{1}{2 \tan \theta}\) です。
\(\theta\) が小さい（寝ている）と \(\tan \theta\) が小さくなり、右辺が大きくなるため、より大きな摩擦係数が必要になります。これは経験則と一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
小物体Pの位置がAから \(x\) の位置に変わりました。
「滑らずに静止する限界」なので、摩擦力は最大摩擦力 \(F = \mu N\) になっています。
再びモーメントのつりあいと力のつりあいを考え、\(x\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• Pの位置: Aから \(x\) なので、モーメントの腕の長さ（水平距離）は \(x \cos \theta\) になります。
• 摩擦力: \(F = \mu N\)
• 垂直抗力 \(N\): 鉛直方向のつりあいは変わらないので、\(N = (M + m)g\) のままです。
• 壁の垂直抗力 \(R\): 水平方向のつりあいより \(R = F = \mu N\) となります。

具体的な解説と立式
点Aを回転軸として、モーメントのつりあいを考えます。

• 反時計回りのモーメント:
  1. 棒の重力 \(Mg\): 腕の長さ \(\displaystyle \frac{l}{2} \cos \theta\) \(\rightarrow\) \(Mg \cdot \displaystyle \frac{l}{2} \cos \theta\)
  2. 小物体の重力 \(mg\): 腕の長さ \(x \cos \theta\) \(\rightarrow\) \(mg \cdot x \cos \theta\)
• 時計回りのモーメント:
  1. 壁の垂直抗力 \(R\): 腕の長さ \(l \sin \theta\) \(\rightarrow\) \(R \cdot l \sin \theta\)

モーメントのつりあいの式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
Mg \cdot \frac{l}{2} \cos \theta + mg \cdot x \cos \theta &= R \cdot l \sin \theta \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
ここで、水平方向のつりあい \(R = F\) と、限界条件 \(F = \mu N\) より、
$$
\begin{aligned}
R &= \mu (M + m)g
\end{aligned}
$$
これを式④に代入します。
$$
\begin{aligned}
Mg \frac{l}{2} \cos \theta + mg x \cos \theta &= \mu (M + m)g l \sin \theta
\end{aligned}
$$

\(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mg x \cos \theta &= \mu (M + m)g l \sin \theta – \frac{1}{2} Mg l \cos \theta
\end{aligned}
$$
両辺を \(mg \cos \theta\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{\mu (M + m)g l \sin \theta}{mg \cos \theta} – \frac{Mg l \cos \theta}{2 mg \cos \theta} \\[2.0ex]
&= \frac{\mu (M + m)}{m} l \tan \theta – \frac{M}{2m} l \\[2.0ex]
&= \frac{l}{2m} \left\{ 2\mu (M + m) \tan \theta – M \right\}
\end{aligned}
$$

小物体Pを上にずらしていくと、Pの重力による回転力（モーメント）が大きくなります。
それを支えるために壁からの力 \(R\) も大きくなり、結果として床の摩擦力 \(F\) も大きくなります。
摩擦力が限界 \(\mu N\) に達したときの位置 \(x\) を計算しました。

\(x = \displaystyle \frac{l}{2m} \{ 2\mu (M + m) \tan \theta – M \}\) です。
\(\mu\) が大きいほど \(x\) は大きくなり、より高い位置まで置けることを意味します。妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつりあい条件の完全理解
  • 核心: 剛体が静止し続けるためには、「並進運動しない（力の和が \(0\)）」だけでなく、「回転運動しない（力のモーメントの和が \(0\)）」という2つの条件を同時に満たす必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 力のつりあい: 上下左右の力のバランス。これだけでは回転を止められません。
    • モーメントのつりあい: 回転軸（支点）をどこに設定しても、回転させる能力（トルク）の総和が \(0\) になること。特に「任意の点」まわりで成立するという性質が、計算を楽にするための強力な武器になります。
• 摩擦力の性質と最大摩擦力
  • 核心: 静止摩擦力は「動こうとするのを妨げる力」であり、外力に応じて \(0\) から最大値 \(\mu N\) までの値をとります。「滑り出す直前」というキーワードが出たら、摩擦力は最大値 \(\mu N\) に固定されます。
  • 理解のポイント:
    • 静止時: \(F \le \mu N\) の範囲で、つりあいに必要なだけの力が働きます（問1, 2）。
    • 限界時: \(F = \mu N\) となり、これを超えると滑り出します（問3）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁に立てかけた梯子: 床と壁からの垂直抗力、摩擦力が働きます。「滑り出す直前」は最大静止摩擦力を使い、「倒れる直前」は垂直抗力が \(0\) になる点に着目します。
  • 転倒する直方体: トラックの荷台上の荷物などが倒れる条件。作用線が底面からはみ出すか、あるいは端点を支点としたモーメントのつりあいで考えます。
  • ヒンジ（蝶番）で固定された棒: ヒンジには任意の方向の抗力が働きますが、ヒンジ周りのモーメントを考えればその抗力を消去できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回転軸（支点）の戦略的選択: 未知の力（垂直抗力 \(N\) や摩擦力 \(F\)）が集中している点を回転軸に選ぶことで、それらのモーメントを \(0\) にし、計算をショートカットします（別解のアプローチ）。
  2. 力の分解: 斜めの力（張力 \(T\)）は必ず水平・鉛直成分に分解し、それぞれの方向のつりあいに組み込みます。
  3. 状態の変化を見抜く: 「おもりの位置が変わる」＝「モーメントのバランスが変わる」＝「必要な摩擦力が変わる」という因果関係を意識します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 摩擦力の向きの勘違い:
  • 誤解: 摩擦力は常に運動方向と逆だと思い込み、静止している場合でも適当に向きを決めてしまう。
  • 対策: 「もし摩擦がなかったらどう動くか？」を想像します。この問題なら棒の下端は右に滑り出すので、摩擦力はそれを止める「左向き」に働きます。
• 腕の長さの取り違え:
  • 誤解: 「力点までの距離」を単純に棒の長さ \(l\) だと思い込み、角度を考慮せずに計算してしまう。
  • 対策: 必ず「回転軸から力の作用線に下ろした垂線の長さ」を確認します。この問題のように棒が斜めの場合は、\(l \cos \theta\) や \(l \sin \theta\) のように角度成分が必須です。
• 最大摩擦力の適用ミス:
  • 誤解: 問(1)のような静止状態でも \(F = \mu N\) を使ってしまう。
  • 対策: 「滑り出す直前」「限界」という言葉があるときだけ \(\mu N\) を使います。それ以外は未知数 \(F\) として扱います。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での公式選択（モーメントのつりあい）:
  • 選定理由: 未知数 \(N, F\) を求めずに \(R\) だけを知りたい場合、\(N, F\) が集中する点Aを支点としたモーメントの式が最適です。
  • 適用根拠: 未知数を消去できるため、連立方程式を解く手間が省けます。
• 問(3)での公式選択（別解：点Bまわりのモーメント）:
  • 選定理由: 最終的に \(x\) を求めたい場合、\(R\) を消去できる点Bまわりのモーメント式を使うと、\(N\) と \(x\) の関係が直接得られ、計算が速いです。
  • 適用根拠: どの点を支点にしてもモーメントのつりあいは成立するため、計算が最も楽になる点を選ぶのが賢い戦略です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
  • 答えが出たら単位を確認します。
  • (1)の摩擦力は \([M][L][T]^{-2}\)（力）。
  • (3)の \(x\) は \([L]\)（長さ）。分母分子で \(\mu\)（無次元）の項がキャンセルされ、\(l\)（長さ）が残るので正しいです。
• 極限的なケースでの検算:
  • もし \(\theta \to 90^\circ\)（垂直）だったら？ \(\tan \theta \to \infty\) となり、(1)の摩擦力 \(F \to 0\) となります。垂直に立てば摩擦はいらないので正しいです。
  • もし \(\mu\) が非常に小さかったら？ (3)の分子が負になり \(x < 0\) となります。これは、おもりをどこに置いても（Aから離しても）滑ってしまうことを意味します。
• 係数の処理:
  • \(\sin \theta\)、\(\cos \theta\) などの係数が頻出します。分母の2を掛け忘れたりしないよう、途中式を丁寧に書きましょう。

問題12 (工学院大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面上の運動」と「斜方投射」です。
前半は斜面を滑り降りる等加速度直線運動、後半は空中に飛び出した後の放物運動（斜方投射）を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体が斜面を滑り落ちる運動です。まずは物体に働く力を図示し、斜面方向と斜面に垂直な方向に分解します。
斜面方向の力から加速度を求め、距離と時間の関係式を使って時間を求めます。
垂直抗力は、斜面に垂直な方向の力のつりあいから求めます。

この設問における重要なポイント

• 力の分解: 重力 \(mg\) を斜面に平行な成分 \(mg \sin 30^\circ\) と、垂直な成分 \(mg \cos 30^\circ\) に分解します。
• 斜面の長さ: 高さ \(h\) と傾角 \(30^\circ\) から、斜面の長さ \(\text{AB}\) を幾何学的に求めます。
  • \(\text{AB} \sin 30^\circ = h \Rightarrow \text{AB} = \frac{h}{\sin 30^\circ} = 2h\)

具体的な解説と立式
1. 垂直抗力 \(N\) を求める
斜面に垂直な方向には運動しないため、力がつりあっています。

• 斜面垂直上向き: 垂直抗力 \(N\)
• 斜面垂直下向き: 重力の分力 \(mg \cos 30^\circ\)

つりあいの式より、
$$
\begin{aligned}
N &= mg \cos 30^\circ
\end{aligned}
$$
2. 時間 \(t_1\) を求める
斜面下向きを正として運動方程式を立てます。加速度を \(a\) とします。
$$
\begin{aligned}
ma &= mg \sin 30^\circ
\end{aligned}
$$
これより加速度 \(a\) が求まります。
初速度 \(0\) で距離 \(\text{AB} = 2h\) を進むのにかかる時間 \(t_1\) は、等加速度直線運動の公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\) を用いて求めます。
$$
\begin{aligned}
2h &= 0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} a t_1^2
\end{aligned}
$$

垂直抗力 \(N\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
N &= mg \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]
&= \frac{\sqrt{3}}{2}mg
\end{aligned}
$$
加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
ma &= mg \cdot \frac{1}{2} \\[2.0ex]
a &= \frac{1}{2}g
\end{aligned}
$$
時間 \(t_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2h &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2}g \right) t_1^2 \\[2.0ex]
2h &= \frac{1}{4}g t_1^2 \\[2.0ex]
t_1^2 &= \frac{8h}{g} \\[2.0ex]
t_1 &= \sqrt{\frac{8h}{g}} \\[2.0ex]
&= 2\sqrt{\frac{2h}{g}}
\end{aligned}
$$

坂道を滑り降りるとき、重力の一部が加速に使われ、残りが坂を押す力（垂直抗力）になります。
坂の角度が \(30^\circ\) なので、重力の半分が加速に使われます。
この加速度で、高さ \(h\) 分（坂の長さ \(2h\)）を滑り降りるのにかかる時間を計算しました。

\(t_1 = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}\)、\(N = \frac{\sqrt{3}}{2}mg\) です。
次元を確認すると、\(t_1\) は \(\sqrt{[L]/[L][T]^{-2}} = [T]\) で時間の次元、\(N\) は力の次元で正しいです。

問(2)

思考の道筋とポイント
B点に達したときの速さ \(v\) を求めます。
(1)で求めた加速度 \(a\) と時間 \(t_1\) を使って、等加速度直線運動の速度の公式 \(v = v_0 + at\) から求められます。

この設問における重要なポイント

• 初速度: \(v_0 = 0\)
• 加速度: \(a = \frac{1}{2}g\)
• 時間: \(t_1 = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}\)

具体的な解説と立式
等加速度直線運動の速度の公式より、
$$
\begin{aligned}
v &= 0 + a t_1
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
v &= \frac{1}{2}g \cdot 2\sqrt{\frac{2h}{g}} \\[2.0ex]
&= g \sqrt{\frac{2h}{g}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{g^2 \cdot \frac{2h}{g}} \\[2.0ex]
&= \sqrt{2gh}
\end{aligned}
$$

加速し続けた結果、どれくらいのスピードになったかを計算しました。
結果は \(\sqrt{2gh}\) となり、これは高さ \(h\) から自由落下したときの速さと同じです。摩擦がないので、エネルギー保存の観点からも納得できる結果です。

\(v = \sqrt{2gh}\) です。
これは力学的エネルギー保存則 \(mgh = \frac{1}{2}mv^2\) から得られる結果と一致しており、正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
B点から飛び出した後の運動（斜方投射）を考えます。
B点での速度 \(v\) を水平成分と鉛直成分に分解します。
水面に飛び込むときの角度が \(60^\circ\) という条件は、水面到達時の速度ベクトルの「鉛直成分」と「水平成分」の比が \(\tan 60^\circ\) であることを意味します。

この設問における重要なポイント

• 速度の分解:
  • B点での速度 \(v\) の向きは、斜面に沿って水平面から \(30^\circ\) 下向きです。
  • 水平成分 \(v_x = v \cos 30^\circ\) （等速運動なので不変）
  • 鉛直成分 \(v_{y0} = v \sin 30^\circ\) （初速度、下向き）
• 水面到達時の条件:
  • 水面到達時の鉛直成分を \(v_y\) とすると、速度ベクトルが水平面と \(60^\circ\) をなすので、\(\displaystyle \frac{v_y}{v_x} = \tan 60^\circ\) が成り立ちます。

具体的な解説と立式
1. 速度成分の確認
B点での速度 \(v = \sqrt{2gh}\) を分解します。

• 水平成分: \(v_x = v \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}v\)
• 鉛直成分（初速度）: \(v_{y0} = v \sin 30^\circ = \frac{1}{2}v\)

2. 水面到達時の速度の関係
水面到達時の鉛直成分 \(v_y\) は、等加速度運動の公式 \(v = v_0 + at\) より、下向きを正として、
$$
\begin{aligned}
v_y &= v_{y0} + g t_2
\end{aligned}
$$
また、飛び込み角度が \(60^\circ\) なので、
$$
\begin{aligned}
\frac{v_y}{v_x} &= \tan 60^\circ \\[2.0ex]
&= \sqrt{3} \\[2.0ex]
v_y &= \sqrt{3} v_x
\end{aligned}
$$

\(v_y = \sqrt{3} v_x\) に成分を代入して \(v_y\) を \(v\) で表します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= \sqrt{3} \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2}v \right) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}v
\end{aligned}
$$
これを速度の式 \(v_y = v_{y0} + g t_2\) に代入して \(t_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}v &= \frac{1}{2}v + g t_2 \\[2.0ex]
g t_2 &= v \\[2.0ex]
t_2 &= \frac{v}{g}
\end{aligned}
$$
\(v = \sqrt{2gh}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
t_2 &= \frac{\sqrt{2gh}}{g} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{2h}{g}}
\end{aligned}
$$

飛び出したボールは、横方向にはずっと同じスピードで進みますが、縦方向には重力でどんどん加速します。
水面に突っ込むときの角度が \(60^\circ\) になるということは、縦のスピードが横のスピードの \(\sqrt{3}\) 倍になったということです。
そこまで加速するのにかかった時間を計算しました。

\(t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}\) です。
(1)の \(t_1 = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}\) と比べると、半分の時間で着水したことになります。

問(4)

思考の道筋とポイント
B点から水面までの高さ \(H\) を求めます。
鉛直方向の運動は、初速度 \(v_{y0}\) の投げ下ろし運動です。
時間 \(t_2\) が求まっているので、距離の公式 \(y = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2\) に代入すれば求まります。

この設問における重要なポイント

• 鉛直方向の運動:
  • 初速度: \(v_{y0} = \frac{1}{2}v\)
  • 加速度: \(g\)
  • 時間: \(t_2 = \frac{v}{g}\) （計算を楽にするため \(v\) のまま扱います）

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正として、落下距離 \(H\) の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
H &= v_{y0} t_2 + \frac{1}{2} g t_2^2
\end{aligned}
$$

値を代入します。
$$
\begin{aligned}
H &= \left( \frac{1}{2}v \right) \cdot \left( \frac{v}{g} \right) + \frac{1}{2} g \left( \frac{v}{g} \right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{v^2}{2g} + \frac{v^2}{2g} \\[2.0ex]
&= \frac{v^2}{g}
\end{aligned}
$$
\(v^2 = 2gh\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
H &= \frac{2gh}{g} \\[2.0ex]
&= 2h
\end{aligned}
$$

縦方向の初速と、重力による加速の両方の効果で落下します。
計算してみると、落下した高さ \(H\) は、最初の斜面の高さ \(h\) のちょうど2倍になることが分かりました。

\(H = 2h\) です。
シンプルな整数倍の結果となり、美しい関係が得られました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の独立性と分解
  • 核心: 斜方投射のような2次元の運動は、互いに直交する2つの方向（水平方向と鉛直方向）に分解することで、それぞれ独立した1次元の運動として扱うことができます。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 力が働かないため、等速直線運動をします。
    • 鉛直方向: 重力のみが働くため、等加速度直線運動（投げ下ろし）をします。
    • この2つを結びつける唯一の共通変数が「時間 \(t\)」です。
• 幾何学的条件の物理的翻訳
  • 核心: 「水面に \(60^\circ\) の角度で飛び込んだ」という幾何学的な記述を、速度ベクトルの成分比 \(\frac{v_y}{v_x} = \tan 60^\circ\) という数式に翻訳する力が問われます。
  • 理解のポイント: 速度の向きは、その瞬間の軌道の接線方向と一致します。したがって、軌道の角度は速度成分の比で決まります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁への衝突: 斜方投射された物体が壁に衝突する問題。衝突の瞬間の高さや速度を求める際、水平距離から時間を求め、それを鉛直方向の式に代入する手順は共通です。
  • 斜面への着地: 斜面から飛び出して再び斜面に着地する問題。着地点の座標 \((x, y)\) が斜面の式 \(y = x \tan \theta\) を満たすことを利用します。
  • モンキーハンティング: 標的の落下と弾丸の運動を同時に考える問題。鉛直方向の運動方程式が共通していることに着目します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の切り替わりを見抜く: この問題のように「斜面上の運動」から「空中での放物運動」へと運動の性質が変わる点（B点）に着目し、そこでの速度（大きさ・向き）を正確に求めます。前の運動の終端速度が、次の運動の初速度になります。
  2. 座標軸の設定: 斜面上では「斜面に平行・垂直」な軸、空中では「水平・鉛直」な軸を設定するのが定石です。
  3. エネルギー保存則の活用: 時間を問われていない区間（A→Bなど）では、運動方程式よりもエネルギー保存則の方が計算が速い場合が多いです。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速度成分の取り違え:
  • 誤解: \(\sin\) と \(\cos\) を逆にしてしまう。特に斜面の角度（\(30^\circ\)）と飛び込みの角度（\(60^\circ\)）が混在しているため注意が必要です。
  • 対策: 図を描き、直角三角形の辺の比を確認します。「角度を挟む辺が \(\cos\)」と覚えるのが鉄則です。
• 初期条件の忘れ:
  • 誤解: 放物運動の鉛直初速度 \(v_{y0}\) を \(0\)（自由落下）として計算してしまう。
  • 対策: B点での速度ベクトルを分解し、必ず \(v_{y0} = v \sin 30^\circ\) という初速度があることを明記してから立式します。
• 座標の正負:
  • 誤解: 上向きを正としたり下向きを正としたり、途中で基準が変わって符号が合わなくなる。
  • 対策: 「鉛直下向きを正」と決めたら、重力加速度 \(g\)、落下距離 \(H\)、下向きの速度 \(v_y\) すべてを正として一貫させます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)(2)での公式選択（エネルギー保存則 vs 運動方程式）:
  • 選定理由: 時間 \(t_1\) を求める必要がある問(1)では運動方程式と等加速度運動の公式が必須ですが、速さ \(v\) だけを求める問(2)ではエネルギー保存則の方が計算ステップが少なく、ミスを防げます。
  • 適用根拠: 摩擦がないため、非保存力が仕事をせず、力学的エネルギーが保存されることが保証されています。
• 問(3)(4)での公式選択（微積分 vs 公式）:
  • 選定理由: 通常の公式適用で十分解けますが、微積分を使うと \(x(t), y(t)\) の式を一度作るだけで、時間、位置、速度のあらゆる質問に答えられるため、見通しが良くなります。
  • 適用根拠: 等加速度運動の公式自体が、運動方程式の積分結果そのものであるため、どちらを使っても物理的には等価です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の次元確認（ディメンションチェック）:
  • 答えが出たら単位を確認します。
  • \(t\) は \(\sqrt{h/g} \rightarrow \sqrt{[L]/([L][T]^{-2})} = [T]\) で時間。
  • \(v\) は \(\sqrt{gh} \rightarrow \sqrt{([L][T]^{-2})[L]} = [L][T]^{-1}\) で速さ。
  • \(H\) は \(h\) と同じ長さの次元。
  • これらが合っているか常に確認する癖をつけましょう。
• 係数の処理:
  • \(\frac{1}{2}\) や \(\sqrt{3}\) などの係数が頻出します。特に2乗するときに \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\) となる計算などは、暗算せず丁寧に書き残すことでケアレスミスを減らせます。
• 極限的なケースでの検算:
  • もし \(h=0\) なら？ 全て \(0\) になるはず。
  • もし斜面が垂直（\(90^\circ\)）なら？ 自由落下と同じになるはず。
  • このような極端な値を代入して、式が破綻しないか確認します。

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問題13 (愛知工大＋室蘭工大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「摩擦力のある面上での運動」です。
水平面および斜面上での物体の滑り運動を通して、動摩擦力、運動方程式、等加速度直線運動の公式、そして静止摩擦係数の条件を扱います。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)