無料でしっかり基礎固め！物理基礎 問題演習「運動方程式と浮力」【高校物理対応】

問題の確認

各設問の思考プロセス

この問題は、気球にはたらく力（重力と浮力）を考え、ニュートンの運動の第二法則（運動方程式）を立てて、その加速度を求める問題です。力学の基本である運動方程式の立て方を正しく理解しているかが問われます。

この問題を解く上で中心となる物理法則は、ただ一つです。

• ニュートンの運動の第二法則（運動方程式）:
  物体の質量を \(m\)、生じる加速度を \(a\)、物体にはたらく力の合力を \(F_{\text{合力}}\) とすると、これらの間には以下の関係が成り立ちます。
  $$ma = F_{\text{合力}}$$

この問題を解くための手順は以下の通りです。

1. 力の特定と図示: まず、気球にはたらく力をすべて見つけ出します。この場合は、鉛直上向きの「浮力」と、鉛直下向きの「重力」の２つです。これらの力を矢印で図示すると状況を整理しやすくなります。
2. (1) 運動方程式の立式: 問題文の指示に従い、上向きを正の向きと定めます。そして、特定した力に符号（上向きは正、下向きは負）をつけて足し合わせ、合力 \(F_{\text{合力}}\) を求めます。最後に、運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) の形にまとめます。
3. (2) 加速度の計算: (1)で立てた運動方程式を、加速度 \(a\) について解き、具体的な数値を代入して値を計算します。

各設問の具体的な解説と解答

(1) 上向きを正の向きとし,加速度を \(a[m/s^{2}]\) として,気球の運動方程式を書け。

問われている内容の明確化
上向きを正として、気球の運動方程式（\(ma = F\)）を立てます。

具体的な解説と立式
まず、気球にはたらく力を整理します。

• 浮力: 大きさは \(F_{\text{浮力}} = 784 \, \text{N}\)。向きは上向きなので、正(+)の力となります。
• 重力（重さ）: 大きさは \(W = mg\)。向きは下向きなので、負(-)の力となります。

したがって、気球にはたらく合力 \(F_{\text{合力}}\) は、
$$F_{\text{合力}} = F_{\text{浮力}} – mg$$
となります。
ニュートンの運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) にこれを代入すると、
$$ma = F_{\text{浮力}} – mg \quad \cdots ①$$
これが求める運動方程式です。

計算過程
この設問では式を立てることまでが求められています。問題文で与えられた数値を代入して示すのが一般的です。
質量 \(m = 70 \, \text{kg}\)、浮力 \(F_{\text{浮力}} = 784 \, \text{N}\)、重力加速度 \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) を用いると、運動方程式は
$$70a = 784 – 70 \times 9.8$$
と記述できます。

計算方法の平易な説明

• 運動方程式は「質量 × 加速度 = 合力」という形で表されます。
• 質量は70kg、加速度はaなので、左辺は「70a」です。
• 合力は、はたらく力をすべて足し合わせたものです。上向きをプラスとすると、上向きの浮力(784N)はプラス、下向きの重力(\(mg\))はマイナスになります。
• したがって、右辺の合力は「784 – mg」となります。これらを等号で結ぶと運動方程式が完成します。

(2) (1) の式から気球の加速度を求めよ。

問われている内容の明確化
(1)で立てた運動方程式を解いて、気球の加速度 \(a\) の値を求めます。

具体的な解説と立式
(1)で立てた運動方程式、
$$ma = F_{\text{浮力}} – mg$$
を、求めたい加速度 \(a\) について解きます。両辺を質量 \(m\) で割ることで、
$$a = \frac{F_{\text{浮力}} – mg}{m} \quad \cdots ②$$
となります。この式に、与えられた値を代入して計算します。

計算過程
まず、重力の大きさ \(mg\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
mg &= 70 \, \text{kg} \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \\[2.0ex]&= 686 \, \text{N}
\end{aligned}
$$
次に、この値を式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{784 \, \text{N} – 686 \, \text{N}}{70 \, \text{kg}} \\[2.0ex]&= \frac{98}{70} \, \text{m/s}^2 \\[2.0ex]&= 1.4 \, \text{m/s}^2
\end{aligned}
$$
加速度は正の値となったので、向きは設定通り「上向き」であることがわかります。

計算方法の平易な説明

• まず、気球にはたらく力を整理します。上向きに784Nの浮力、下向きに重力（\(70 \text{kg} \times 9.8 \text{m/s}^2 = 686 \text{N}\)）がはたらいています。
• 上向きをプラスとすると、力の合計（合力）は \(784 – 686 = 98\) N となります。つまり、気球は全体として上向きに98Nの力を受けています。
• 運動方程式 \(F=ma\) に、合力 \(F=98\text{N}\) と質量 \(m=70\text{kg}\) を代入すると、\(98 = 70a\) となります。
• これを解くと、加速度 \(a = 98 \div 70 = 1.4 \, \text{m/s}^2\) が求まります。

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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則

• ニュートンの運動の第二法則（運動方程式）: 力学の根幹をなす法則。\(ma=F_{\text{合力}}\) の形で、質量\(m\), 加速度\(a\), 合力\(F_{\text{合力}}\)の関係を記述する。
• 合力: 物体にはたらく複数の力を、ベクトル的に足し合わせたもの。物体の運動は、個々の力ではなく、この合力によって決まる。
• 重力と浮力: 地球上の物体にはたらく代表的な力。重力は常に鉛直下向き、浮力は流体（空気や水）中の物体に鉛直上向きにはたらく。

類似の問題を解く上でのヒントや注意点

• 力の図示（フリーボディダイアグラム）: 問題を解く最初のステップとして、物体にはたらくすべての力を矢印で図示する（フリーボディダイアグラムを描く）ことが非常に有効です。これにより、力の見落としや向きの間違いを防ぐことができます。
• 座標軸の設定: 問題で指定されていない場合は、自分で座標軸（どちら向きを正とするか）を設定します。一般的には、物体が動き出す向きを正とすると計算が楽になることが多いです。
• 重力加速度\(g\)の値: 問題文に指定がない場合、物理の問題では \(g=9.8 \, \text{m/s}^2\) を用いるのが一般的です。

よくある誤解や間違いやすいポイント

• 力の見落とし: 特に「重力」は常に存在するものとして、意識的に考慮に入れる必要があります。
• 力の向き（符号）の間違い: 座標軸の正の向きを定めた後、各力がその向きと同じか反対かを判断し、正しく式に符号を反映させることが重要です。合力を単純な力の大きさの引き算としてしまい、向きを考慮し忘れるミスに注意が必要です。
• 質量と重さ（重力）の混同: 「質量」は物体そのものの量（単位:kg）であり、場所によらず一定です。「重さ」は物体にはたらく重力（力）の大きさ（単位:N）であり、\(mg\) で計算されます。この2つを混同しないようにしましょう。

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