問題の確認
electromagnetic#20各設問の思考プロセス
この問題は、あらかじめ充電された2つのコンデンサーを接続したときに、電荷が再分配され、最終的にどのような状態に落ち着くかを問う問題です。この種の問題では、「電荷保存の法則」が成り立つこと、そして一般に「静電エネルギーは保存されない」ことを理解しているかがポイントとなります。
この問題を解く上で中心となる物理法則は以下の通りです。
- コンデンサーの基本式: \(Q = CV\)
- 電荷保存の法則: スイッチを閉じて2つのコンデンサーをつなぐと、それらは外部から孤立した一つの系をなします。このとき、系全体の電気量の総和は保存されます。
- 最終状態の考察: スイッチを閉じて十分に時間が経つと、電荷の移動が完了し、2つのコンデンサーは並列接続の状態になります。すなわち、両端の電圧が等しくなります。
- 静電エネルギー: \(U = \frac{1}{2}CV^2\)。電荷の再分配が起こる際、導線で熱が発生するため、静電エネルギーの総和は一般的に減少します。
この問題を解くための手順は以下の通りです。
- (1) 初期の電気量を計算する: まずは \(Q=CV\) を使い、それぞれのコンデンサーが最初に蓄えている電気量を計算します。
- (2) 最終的な電圧を求める:
- 回路図から、コンデンサーがどのように接続されるか（極性）を確認します。この問題ではプラス極板どうし、マイナス極板どうしが接続されます。
- 「電荷保存の法則」を使い、接続前後の総電荷が等しいという式を立てます。この場合、総電荷は単純な和 (\(Q_A+Q_B\)) となります。
- 最終状態では電圧が共通の\(V’\)になることを利用し、「総電荷 = 合成容量 × 最終電圧」の関係から\(V’\)を求めます。
- (3) エネルギー変化を計算する: 「スイッチを閉じる前」と「閉じた後」のそれぞれの状態で、2つのコンデンサーの静電エネルギーの総和を計算し、その差（変化量）を求めます。
各設問の具体的な解説と解答
(1) A, Bそれぞれのコンデンサーにたくわえられている電気量 \(Q_{A}\), \(Q_{B}\) を求めよ。
問われている内容の明確化
スイッチを閉じる前の、コンデンサーAとBにそれぞれ蓄えられている電気量 \(Q_A, Q_B\) を求めます。
具体的な解説と立式
コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) をAとBそれぞれに適用します。
$$Q_A = C_A V_A \quad \cdots ①$$
$$Q_B = C_B V_B \quad \cdots ②$$
計算の前に、単位を \(\mu\text{F}\) から Fに変換します: \(1\,\mu\text{F} = 10^{-6}\,\text{F}\)。
$$Q = CV$$
計算過程
式①に \(C_A = 3.0 \times 10^{-6} \, \text{F}\), \(V_A = 2.0 \times 10^2 \, \text{V}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_A &= (3.0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (2.0 \times 10^2 \, \text{V}) \\[2.0ex]
&= 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
式②に \(C_B = 2.0 \times 10^{-6} \, \text{F}\), \(V_B = 1.0 \times 10^2 \, \text{V}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_B &= (2.0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (1.0 \times 10^2 \, \text{V}) \\[2.0ex]
&= 2.0 \times 10^{-4} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
\(Q_A = 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}\), \(Q_B = 2.0 \times 10^{-4} \, \text{C}\)
(2) スイッチSを閉じた後のA, B両コンデンサーに加わる電圧Vを求めよ。
問われている内容の明確化
スイッチを閉じて電荷が再分配された後の、最終的な共通の電圧 \(V’\) を求めます。
具体的な解説と立式
スイッチを閉じると、2つのコンデンサーは外部から孤立した一つの系となります。このとき、系全体の電荷は保存されます。
図より、プラス極板どうし、マイナス極板どうしを接続しているため、保存される総電荷 \(Q’\) は、それぞれの電荷の和になります。
$$Q’ = Q_A + Q_B$$
スイッチを閉じた後、十分に時間が経つと2つのコンデンサーは並列接続の状態になり、共通の電圧 \(V’\) を持ちます。そのときの合成容量 \(C’\) は、
$$C’ = C_A + C_B$$
となります。
最終的に、合成されたコンデンサーに総電荷 \(Q’\) が蓄えられていると見なせるので、基本式 \(Q’=C’V’\) から \(V’\) を求めます。
$$V’ = \frac{Q’}{C’} = \frac{Q_A + Q_B}{C_A + C_B} \quad \cdots ③$$
使用した物理法則:
- 電荷保存の法則
- コンデンサーの並列接続: \(C’ = C_A+C_B\)
- コンデンサーの基本式: \(Q=CV\)
計算過程
(1)の結果を用いて、式③に値を代入します。
$$
\begin{aligned}
V’ &= \frac{(6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}) + (2.0 \times 10^{-4} \, \text{C})}{(3.0 \times 10^{-6} \, \text{F}) + (2.0 \times 10^{-6} \, \text{F})} \\[2.0ex]
&= \frac{8.0 \times 10^{-4} \, \text{C}}{5.0 \times 10^{-6} \, \text{F}} \\[2.0ex]
&= \frac{8.0}{5.0} \times 10^{-4 – (-6)} \, \text{V} \\[2.0ex]
&= 1.6 \times 10^2 \, \text{V} \\[2.0ex]
&= 160 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
この設問における重要なポイント
- 同じ極性で接続した場合、保存される総電荷は電荷の和になること。
- 最終状態では電圧が等しくなる（並列接続とみなせる）こと。
\(1.6 \times 10^2 \, \text{V}\)
(3) A, B両コンデンサーにたくわえられているエネルギーの総量は,スイッチSを閉じる前後でどのように変化するか。
問われている内容の明確化
スイッチを閉じる前のエネルギーの総和 \(U_{\text{前}}\) と、閉じた後のエネルギーの総和 \(U_{\text{後}}\) を計算し、その変化 \(\Delta U = U_{\text{後}} – U_{\text{前}}\) を求めます。
具体的な解説と立式
静電エネルギーの公式 \(U = \frac{1}{2}CV^2\) を用いるのが便利です。
- スイッチを閉じる前の総エネルギー \(U_{\text{前}}\):
$$U_{\text{前}} = U_A + U_B = \frac{1}{2}C_A V_A^2 + \frac{1}{2}C_B V_B^2 \quad \cdots ④$$ - スイッチを閉じた後の総エネルギー \(U_{\text{後}}\):
合成容量 \(C’ = C_A + C_B\) のコンデンサーが、電圧 \(V’\) になったと考えます。
$$U_{\text{後}} = \frac{1}{2}C’ (V’)^2 = \frac{1}{2}(C_A + C_B)(V’)^2 \quad \cdots ⑤$$ - エネルギーの変化量 \(\Delta U\):
$$\Delta U = U_{\text{後}} – U_{\text{前}}$$
$$U = \frac{1}{2}CV^2$$
計算過程
\(U_{\text{前}}\)の計算
$$
\begin{aligned}
U_{\text{前}} &= \frac{1}{2}(3.0 \times 10^{-6})(2.0 \times 10^2)^2 + \frac{1}{2}(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^2)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}(3.0 \times 10^{-6})(4.0 \times 10^4) + \frac{1}{2}(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^4) \\[2.0ex]
&= (6.0 \times 10^{-2}) + (1.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex]
&= 7.0 \times 10^{-2} \, \text{J}
\end{aligned}
$$
\(U_{\text{後}}\)の計算
(2)の結果 \(V’ = 1.6 \times 10^2 \, \text{V}\) を用います。
$$
\begin{aligned}
U_{\text{後}} &= \frac{1}{2}(C_A + C_B)(V’)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}(5.0 \times 10^{-6})(1.6 \times 10^2)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}(5.0 \times 10^{-6})(2.56 \times 10^4) \\[2.0ex]
&= 6.4 \times 10^{-2} \, \text{J}
\end{aligned}
$$
エネルギーの変化量 \(\Delta U\) の計算
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= U_{\text{後}} – U_{\text{前}} \\[2.0ex]
&= (6.4 \times 10^{-2}) – (7.0 \times 10^{-2}) \\[2.0ex]
&= -0.6 \times 10^{-2} \, \text{J} \\[2.0ex]
&= -6.0 \times 10^{-3} \, \text{J}
\end{aligned}
$$
負の値なので、エネルギーは減少したことがわかります。
この設問における重要なポイント
- 静電エネルギーの公式を正しく使えること。
- スイッチを閉じる前後で、エネルギーは保存されないことを理解していること。
- 変化量を問われたら、(後の量) – (前の量) を計算すること。
\(6.0 \times 10^{-3} \, \text{J}\) 減少する。
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