未来の得点力へ！高校物理 問題演習「コンデンサーの合成と耐電圧」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーの耐電圧」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

準備：各コンデンサーの最大電気量の計算
各設問を解く前に、コンデンサーAとBがそれぞれ蓄えることができる最大の電気量を計算しておきます。
コンデンサーAの最大電気量 \(Q_{A, \text{max}}\)
$$
\begin{aligned}
Q_{A, \text{max}} &= C_A V_{A, \text{max}} \\[2.0ex]&= (4.0 \times 10^{-6}) \times (3.0 \times 10^2) \\[2.0ex]&= 12 \times 10^{-4} \\[2.0ex]&= 1.2 \times 10^{-3} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
コンデンサーBの最大電気量 \(Q_{B, \text{max}}\)
$$
\begin{aligned}
Q_{B, \text{max}} &= C_B V_{B, \text{max}} \\[2.0ex]&= (1.0 \times 10^{-6}) \times (6.0 \times 10^2) \\[2.0ex]&= 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}
\end{aligned}
$$

問(1)

思考の道筋とポイント
AとBを並列に接続した回路全体にかけることができる最大の電圧 \(V_1\) を求めます。並列接続では、各コンデンサーにかかる電圧が等しくなるという性質が鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 並列接続では電圧が共通であること。
• 全体の性能は、最も弱い部品（この場合は耐電圧が低い方）によって制限されること。

具体的な解説と立式
並列接続では、コンデンサーAにかかる電圧 \(V_A\) とコンデンサーBにかかる電圧 \(V_B\) は、回路全体にかけた電圧 \(V_1\) と等しくなります。
$$V_A = V_B = V_1$$
コンデンサーAは \(3.0 \times 10^2\) V まで、コンデンサーBは \(6.0 \times 10^2\) V まで耐えられます。
もし回路全体の電圧 \(V_1\) を \(3.0 \times 10^2\) V より大きくすると、Aが耐えられずに破壊されてしまいます。
したがって、回路全体としての耐電圧は、AとBのうち耐電圧が低い方によって決まります。
$$V_1 = \min(V_{A, \text{max}}, V_{B, \text{max}})$$
(\(\min(a,b)\)はaとbのうち小さい方の値を表します)

$$
\begin{aligned}
V_1 &= \min(3.0 \times 10^2, 6.0 \times 10^2) \\[2.0ex]&= 3.0 \times 10^2 \, \text{V}
\end{aligned}
$$

並列接続では、2つのコンデンサーに全く同じ電圧がかかります。Aは300Vまで、Bは600Vまで耐えられます。もし300Vより少しでも大きな電圧をかけると、Aが先に壊れてしまいます。したがって、安全にかけられる電圧の上限は、より低い方の300Vとなります。

並列接続したときの全体の耐電圧は \(3.0 \times 10^2\) V です。

問(2)

思考の道筋とポイント
AとBを直列に接続した回路全体にかけることができる最大の電圧 \(V_2\) を求めます。直列接続では、各コンデンサーに蓄えられる電気量が等しくなるという性質が鍵となります。全体の耐電圧は、どちらかのコンデンサーが最大蓄電量に達した時点で決まります。
この設問における重要なポイント

• 直列接続では「電気量」が共通であるため、どちらが先に「最大電気量」に達するかで限界が決まること。
• 全体の耐電圧は、限界時の各コンデンサーの電圧の「和」になること。

具体的な解説と立式
直列接続では、各コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q\) が等しくなります。
$$Q_A = Q_B = Q_{\text{total}}$$
回路全体の電圧を上げていくと、この \(Q\) が増加していきます。そして、どちらかのコンデンサーが自身の蓄えられる最大電気量に達した時点で、回路は限界を迎えます。
準備で計算した最大電気量を比較すると、

• \(Q_{A, \text{max}} = 1.2 \times 10^{-3} \, \text{C}\)
• \(Q_{B, \text{max}} = 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}\)

\(Q_{B, \text{max}}\) の方が小さいので、コンデンサーBが先に限界に達します。
したがって、回路全体として安全に蓄えられる最大の電気量 \(Q_{\text{max}}\) は、
$$Q_{\text{max}} = \min(Q_{A, \text{max}}, Q_{B, \text{max}}) = 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}$$
となります。
この最大の電気が蓄えられているときに、AとBそれぞれにかかっている電圧を \(V_A’, V_B’\) とすると、
$$V_A’ = \frac{Q_{\text{max}}}{C_A}$$
$$V_B’ = \frac{Q_{\text{max}}}{C_B}$$
回路全体の耐電圧 \(V_2\) は、これらの電圧の和になります。
$$V_2 = V_A’ + V_B’$$

限界時の各コンデンサーの電圧を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_A’ &= \frac{6.0 \times 10^{-4}}{4.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex]&= 1.5 \times 10^2 \\[2.0ex]&= 150 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_B’ &= \frac{6.0 \times 10^{-4}}{1.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex]&= 6.0 \times 10^2 \\[2.0ex]&= 600 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
このとき、\(V_A’ = 150\,\text{V}\) はAの耐電圧 \(300\,\text{V}\) より小さく、\(V_B’ = 600\,\text{V}\) はBの耐電圧 \(600\,\text{V}\) とちょうど等しくなっており、Bが限界点であることが確認できます。
最後に、全体の耐電圧 \(V_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_2 &= V_A’ + V_B’ \\[2.0ex]&= 150 + 600 \\[2.0ex]&= 750 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮すると \(7.5 \times 10^2 \, \text{V}\) となります。

直列接続では、2つのコンデンサーに同じ量の電気がたまります。Aは最大1200\(\mu\)C、Bは最大600\(\mu\)Cまで電気をためられます。両方に同じ量がたまっていくので、先に限界が来るのは、ためられる量が少ないBの方です。つまり、回路全体でも600\(\mu\)Cまでしかためられません。回路全体に600\(\mu\)Cの電気がたまっているとき、AとBのそれぞれの電圧を計算し、それらを合計したものが全体の耐電圧になります。

直列接続したときの全体の耐電圧は \(7.5 \times 10^2\) V です。

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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 接続方法と限界条件の判断:
  • 核心: この問題は、コンデンサーの接続方法（直列か並列か）によって、どの物理量（電圧か電荷か）が共通になるかを理解し、それに基づいて回路全体の限界（耐電圧）を決定する思考プロセスを問うています。
  • 理解のポイント:
    • 並列接続: 電圧が共通 \(\rightarrow\) 限界は耐電圧の小さい方で決まる。
    • 直列接続: 電気量が共通 \(\rightarrow\) 限界は最大電気量の小さい方で決まる。

    この対応関係を明確に理解することが、この種の問題を解くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 3つ以上のコンデンサー: 3つ以上のコンデンサーが接続されている場合も考え方は同じです。並列部分があればその中の耐電圧の最小値がその部分の限界を決め、直列部分があればその中の最大電気量の最小値がその部分の限界を決めます。
  • 抵抗の定格電力: 抵抗における「定格電力（安全に消費できる最大の電力）」の問題も、考え方が似ています。直列接続では電流が共通なので各抵抗の電力 \(P=I^2R\) を比較し、並列接続では電圧が共通なので \(P=V^2/R\) を比較して、どちらが先に定格電力に達するかを考えます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 各部品の限界値を整理する: まず、問題で与えられた各コンデンサーの耐電圧 \(V_{\text{max}}\) と、それから計算できる最大電気量 \(Q_{\text{max}}=CV_{\text{max}}\) をリストアップします。
  2. 接続方法を確認する: 回路が並列か直列かを確認します。
  3. 共通の物理量に注目する: 並列なら「電圧」、直列なら「電気量」という、その接続方法で共通になる物理量に注目します。
  4. 限界を決める部品を特定する: 共通の物理量を0から増やしていったとき、最初に限界値に達するのはどの部品かを判断します。（並列なら\(V_{\text{max}}\)が最小のもの、直列なら\(Q_{\text{max}}\)が最小のもの）
  5. 限界時の全体の値を計算する: 特定した部品が限界に達した瞬間の、回路全体の電圧を計算します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 直列接続の耐電圧の誤解:
  • 誤解: 直列接続の耐電圧を、単純に個々の耐電圧の和 (\(300+600=900\,\text{V}\)) や、小さい方の耐電圧 (\(300\,\text{V}\)) と考えてしまう。
  • 対策: 直列接続では電圧は電気容量の逆比に分配されるため、耐電圧が低い方が先に壊れるとは限りません。必ず共通の物理量である「電気量」に注目し、どちらが先に最大電気量に達するか、という手順で考えることが重要です。
• 比較する物理量の混同:
  • 誤解: 直列接続の場合に、\(Q_{\text{max}}\) ではなく \(V_{\text{max}}\) を比較してしまう。
  • 対策: 「直列 \(\rightarrow\) 電荷が等しい \(\rightarrow\) \(Q_{\text{max}}\) で比較」「並列 \(\rightarrow\) 電圧が等しい \(\rightarrow\) \(V_{\text{max}}\) で比較」という対応関係を明確に覚えましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• なぜ並列では耐電圧の最小値が限界になるのか？:
  • 選定理由: 並列接続の定義「各要素にかかる電圧が等しい」から直接導かれます。
  • 適用根拠: 回路全体の電圧を \(V_{\text{total}}\) とすると、\(V_A = V_B = V_{\text{total}}\) です。コンデンサーAが壊れない条件は \(V_A \le V_{A, \text{max}}\)、Bが壊れない条件は \(V_B \le V_{B, \text{max}}\) です。両方が壊れないためには、\(V_{\text{total}} \le V_{A, \text{max}}\) かつ \(V_{\text{total}} \le V_{B, \text{max}}\) を満たす必要があり、これはすなわち、\(V_{\text{total}}\) が \(V_{A, \text{max}}\) と \(V_{B, \text{max}}\) のうち小さい方の値以下でなければならないことを意味します。
• なぜ直列では最大電気量の最小値が限界を決めるのか？:
  • 選定理由: 直列接続の定義「各要素に流れる電気量が等しい」から直接導かれます。
  • 適用根拠: 回路全体に蓄えられる電気量を \(Q_{\text{total}}\) とすると、\(Q_A = Q_B = Q_{\text{total}}\) です。Aが壊れない条件は \(Q_A \le Q_{A, \text{max}}\)、Bが壊れない条件は \(Q_B \le Q_{B, \text{max}}\) です。両方が壊れないためには、\(Q_{\text{total}} \le Q_{A, \text{max}}\) かつ \(Q_{\text{total}} \le Q_{B, \text{max}}\) を満たす必要があり、これはすなわち、\(Q_{\text{total}}\) が \(Q_{A, \text{max}}\) と \(Q_{B, \text{max}}\) のうち小さい方の値以下でなければならないことを意味します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 情報を整理する表を作る:
  

  	C [\(\mu\)F]	Vmax [V]	Qmax [\(\mu\)C]
  A	4.0	300	1200
  B	1.0	600	600

  このように、最初に各コンデンサーのスペックを一覧表にまとめると、比較すべき値が一目瞭然となり、思考が整理されミスが減ります。

• 単位をそろえて計算する: 計算の際には、\(\mu\)F を \(10^{-6}\) F に直すなど、単位をSI単位系に統一してから計算すると、間違いが起こりにくくなります。

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