問題の確認
electromagnetic#22各設問の思考プロセス
この問題は、コンデンサーの「耐電圧」という、現実の部品の性能限界を考慮した回路の問題です。耐電圧とは、そのコンデンサーが壊れずに耐えられる最大の電圧のことです。全体の耐電圧は、回路全体の電圧を0から徐々に上げていったときに、最初にいずれかのコンデンサーが自身の限界に達した時点での全体の電圧となります。
この問題を解く上で中心となる物理法則は以下の通りです。
- 並列接続の性質: 各コンデンサーにかかる電圧は等しい。
- 直列接続の性質: 各コンデンサーに蓄えられる電気量は等しい。
- 最大電気量: 各コンデンサーが蓄えられる最大の電気量 \(Q_{\text{最大}}\) は \(Q_{\text{最大}} = C \times V_{\text{最大}}\) で計算できる。
この問題を解くための手順は以下の通りです。
- 各コンデンサーの最大電気量を計算する:
まず、後の計算のために、AとBがそれぞれ蓄えられる最大の電気量 \(Q_{A, \text{最大}}\) と \(Q_{B, \text{最大}}\) を計算しておきます。 - (1) 並列接続の場合を考える:
並列接続では、両方のコンデンサーに同じ電圧がかかります。したがって、全体の耐電圧は、個々の耐電圧の小さい方で決まります。 - (2) 直列接続の場合を考える:
直列接続では、両方のコンデンサーに同じ電気量が蓄えられます。したがって、回路全体で蓄えられる最大の電気量は、個々の最大電気量の小さい方で決まります。その最大の電気が蓄えられたときに、各コンデンサーにかかる電圧をそれぞれ計算し、それらを合計したものが全体の耐電圧となります。
各設問の具体的な解説と解答
準備：各コンデンサーの最大電気量の計算
各設問を解く前に、コンデンサーAとBがそれぞれ蓄えることができる最大の電気量を計算しておきます。これは特に(2)の直列接続を考える際に重要になります。
コンデンサーAの最大電気量 \(Q_{A, \text{最大}}\)
$$
\begin{aligned}
Q_{A, \text{最大}} &= C_A V_{A, \text{最大}} \\[2.0ex]
&= (4.0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (3.0 \times 10^2 \, \text{V}) \\[2.0ex]
&= 12 \times 10^{-4} \, \text{C} \\[2.0ex]
&= 1.2 \times 10^{-3} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
コンデンサーBの最大電気量 \(Q_{B, \text{最大}}\)
$$
\begin{aligned}
Q_{B, \text{最大}} &= C_B V_{B, \text{最大}} \\[2.0ex]
&= (1.0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (6.0 \times 10^2 \, \text{V}) \\[2.0ex]
&= 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
(1) AとBを並列に接続したときの全体としての耐電圧 \(V_{1}[V]\) を求めよ。
問われている内容の明確化
AとBを並列に接続した回路全体にかけることができる最大の電圧 \(V_1\) を求めます。
具体的な解説と立式
並列接続では、コンデンサーAにかかる電圧 \(V_A\) とコンデンサーBにかかる電圧 \(V_B\) は、回路全体にかけた電圧 \(V_1\) と等しくなります。
$$V_A = V_B = V_1$$
コンデンサーAは \(300\,\text{V}\) まで、コンデンサーBは \(600\,\text{V}\) まで耐えられます。
もし回路全体の電圧 \(V_1\) を \(300\,\text{V}\) より大きくすると、Aが耐えられずに破壊されてしまいます。
したがって、回路全体としての耐電圧は、AとBのうち耐電圧が低い方によって制限されます。
$$V_1 = \min(V_{A, \text{最大}}, V_{B, \text{最大}}) \quad \cdots ①$$
(\(\min(a,b)\)はaとbのうち小さい方の値を表します)
使用した物理法則:
並列接続の性質: \(V_A = V_B = V_{\text{全体}}\)
計算過程
式①に具体的な値を代入します。
$$
\begin{aligned}
V_1 &= \min(300 \, \text{V}, 600 \, \text{V}) \\[2.0ex]
&= 300 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮すると \(3.0 \times 10^2 \, \text{V}\) となります。
計算方法の平易な説明
- 並列接続では、2つのコンデンサーに全く同じ電圧がかかります。
- Aは300Vまで、Bは600Vまで耐えられます。
- もし300Vより少しでも大きな電圧をかけると、Aが先に壊れてしまいます。Bはまだ大丈夫ですが、回路としては成り立ちません。
- したがって、安全にかけられる電圧の上限は、より低い方の300Vとなります。
この設問における重要なポイント
- 並列接続では電圧が共通であることを理解していること。
- 全体の性能は、最も弱い部品によって制限される「ボトルネック」の考え方を適用すること。
\(3.0 \times 10^2 \, \text{V}\)
(2) AとBを直列に接続したときの全体としての耐電圧 \(V_{2}[V]\) を求めよ。
問われている内容の明確化
AとBを直列に接続した回路全体にかけることができる最大の電圧 \(V_2\) を求めます。
具体的な解説と立式
直列接続では、各コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q\) が等しくなります。
$$Q_A = Q_B = Q_{\text{全体}}$$
回路全体の電圧を上げていくと、この \(Q\) が増加していきます。そして、どちらかのコンデンサーが自身の蓄えられる最大電気量 \(Q_{\text{最大}}\) に達した時点で、回路は限界を迎えます。
準備の計算より、
- Aの最大電気量: \(Q_{A, \text{最大}} = 1.2 \times 10^{-3} \, \text{C}\)
- Bの最大電気量: \(Q_{B, \text{最大}} = 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}\)
比較すると、Bの最大電気量の方が小さいです。したがって、Bのコンデンサーが先に限界に達します。
回路全体として安全に蓄えられる最大の電気量 \(Q_{\text{最大}}\) は、
$$Q_{\text{最大}} = \min(Q_{A, \text{最大}}, Q_{B, \text{最大}}) = 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}$$
となります。
この最大の電気が蓄えられているときに、AとBそれぞれにかかっている電圧を \(V_A’\), \(V_B’\) とすると、
$$V_A’ = \frac{Q_{\text{最大}}}{C_A} \quad \cdots ②$$
$$V_B’ = \frac{Q_{\text{最大}}}{C_B} \quad \cdots ③$$
回路全体の耐電圧 \(V_2\) は、これらの電圧の和になります。
$$V_2 = V_A’ + V_B’ \quad \cdots ④$$
使用した物理法則:
- 直列接続の性質: \(Q_A = Q_B = Q_{\text{全体}}\)
- コンデンサーの基本式: \(Q = CV\)
- 直列接続における電圧の関係: \(V_{\text{全体}} = V_A + V_B\)
計算過程
まず、限界となる電気量は \(Q_{\text{最大}} = 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}\) です。
このときの各コンデンサーの電圧を式②、③から計算します。
$$
\begin{aligned}
V_A’ &= \frac{6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}}{4.0 \times 10^{-6} \, \text{F}} \\[2.0ex]
&= 1.5 \times 10^2 \, \text{V} = 150 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
V_B’ &= \frac{6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}}{1.0 \times 10^{-6} \, \text{F}} \\[2.0ex]
&= 6.0 \times 10^2 \, \text{V} = 600 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
このとき、\(V_A’ = 150\,\text{V}\) はAの耐電圧 \(300\,\text{V}\) より小さく、\(V_B’ = 600\,\text{V}\) はBの耐電圧 \(600\,\text{V}\) とちょうど等しくなっており、Bが限界点であることが確認できます。
最後に、式④を用いて全体の耐電圧 \(V_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_2 &= V_A’ + V_B’ \\[2.0ex]
&= 150 \, \text{V} + 600 \, \text{V} \\[2.0ex]
&= 750 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮すると \(7.5 \times 10^2 \, \text{V}\) となります。
計算方法の平易な説明
- 直列接続では、2つのコンデンサーに同じ量の電気がたまります。
- Aは最大1200\(\mu\)C、Bは最大600\(\mu\)Cまで電気をためられます。
- 両方に同じ量がたまっていくので、先に限界が来るのは、ためられる量が少ないBの方です。つまり、回路全体でも600\(\mu\)Cまでしかためられません。
- 回路全体に600\(\mu\)Cの電気がたまっているとき、AとBのそれぞれの電圧を計算します。
- Aの電圧 = 600\(\mu\)C / 4.0\(\mu\)F = 150V
- Bの電圧 = 600\(\mu\)C / 1.0\(\mu\)F = 600V
- 全体の電圧は、この2つの電圧の合計なので、150V + 600V = 750V となります。これが全体の耐電圧です。
この設問における重要なポイント
- 直列接続では「電気量」が共通であるため、どちらが先に「最大電気量」に達するかで限界が決まること。
- 全体の耐電圧は、限界時の各コンデンサーの電圧の「和」になること。
\(7.5 \times 10^2 \, \text{V}\)
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