問題の確認
dynamics#03問題を解くための全体的な戦略と手順
この問題は、1次元の相対速度に関する基本的な問題です。相対速度を求める際の基本的な考え方と手順は以下の通りです。
- 座標軸の設定:
まず、運動の向きを表すために座標軸を設定します。東西方向の運動なので、例えば東向きを正（\(+\)）、西向きを負（\(-\)）と定めます。これにより、各物体の速度を符号付きの数値（スカラー）として扱うことができます。 - 各物体の速度の表現:
設定した座標軸に従って、各物体の速度を符号を付けて表します。- 列車Aの速度 \(v_A\)
- 自動車Bの速度 \(v_B\)
- 自動車Cの速度 \(v_C\)
- 相対速度の公式の適用:
観測者Xから見た物体Yの相対速度 \(v_{XY}\) は、物体Yの速度 \(v_Y\) から観測者Xの速度 \(v_X\) を引くことで求められます。
$$v_{XY} = v_Y – v_X$$
この公式を各設問に適用します。 - 結果の解釈:
計算結果の符号が相対的な運動の向きを示します。正であれば東向き、負であれば西向きとなります。大きさはその速さを表します。
この手順に従って、各設問を解いていきます。
各設問の具体的な解説と解答
座標軸の設定:
東向きを正（\(+\)）の向きとし、西向きを負（\(-\)）の向きとします。
各物体の速度:
- 列車A: 西向きに \(30 \, \text{m/s}\) なので、\(v_A = -30 \, \text{m/s}\)
- 自動車B: 東向きに \(15 \, \text{m/s}\) なので、\(v_B = +15 \, \text{m/s}\)
- 自動車C: 西向きに \(20 \, \text{m/s}\) なので、\(v_C = -20 \, \text{m/s}\)
1. Aから見たBの速度 \(v_{AB} \, [\text{m/s}]\)
問われている内容の明確化:
列車Aに乗っている人から見て、自動車Bがどの向きにどれくらいの速さで運動しているように見えるかを求めます。
具体的な解説と計算手順:
Aから見たBの相対速度 \(v_{AB}\) は、Bの速度 \(v_B\) からAの速度 \(v_A\) を引いて求めます。
$$v_{XY} = v_Y – v_X$$
ここで、Xが観測者A、Yが物体Bにあたります。
$$v_{AB} = v_B – v_A$$
値を代入します:
\(v_A = -30 \, \text{m/s}\)
\(v_B = +15 \, \text{m/s}\)
$$v_{AB} = (+15 \, \text{m/s}) – (-30 \, \text{m/s})$$
$$v_{AB} = +15 \, \text{m/s} + 30 \, \text{m/s}$$
$$v_{AB} = +45 \, \text{m/s}$$
計算方法の平易な説明:
まず、Aの速度は西向きに \(30 \, \text{m/s}\) (\(-30 \, \text{m/s}\))、Bの速度は東向きに \(15 \, \text{m/s}\) (\(+15 \, \text{m/s}\))です。「Aから見たBの速度」を求めるには、Bの速度からAの速度を引きます。
計算式は、\((+15) – (-30)\) となります。
マイナスの数を引くことは、その数を足すことと同じなので、\(+15 + 30 = +45\) となります。
この結果の \(+45 \, \text{m/s}\) は、Aから見るとBが東向き（正の向き）に \(45 \, \text{m/s}\) の速さで進んでいるように見えることを意味します。
- 観測者（A）の速度と、観測される物体（B）の速度を正しく把握する。
- 相対速度の公式 \(v_{AB} = v_B – v_A\) の引き算の順序を間違えない。
- 符号の計算（特に負の数を引く場合）を正確に行う。
Aから見たBの速度 \(v_{AB}\) は、東向きに \(45 \, \text{m/s}\) です。
(\(v_{AB} = +45 \, \text{m/s}\))
2. Bから見たCの速度 \(v_{BC} \, [\text{m/s}]\)
問われている内容の明確化:
自動車Bに乗っている人から見て、自動車Cがどの向きにどれくらいの速さで運動しているように見えるかを求めます。
具体的な解説と計算手順:
Bから見たCの相対速度 \(v_{BC}\) は、Cの速度 \(v_C\) からBの速度 \(v_B\) を引いて求めます。
$$v_{XY} = v_Y – v_X$$
ここで、Xが観測者B、Yが物体Cにあたります。
$$v_{BC} = v_C – v_B$$
値を代入します:
\(v_B = +15 \, \text{m/s}\)
\(v_C = -20 \, \text{m/s}\)
$$v_{BC} = (-20 \, \text{m/s}) – (+15 \, \text{m/s})$$
$$v_{BC} = -20 \, \text{m/s} – 15 \, \text{m/s}$$
$$v_{BC} = -35 \, \text{m/s}$$
計算方法の平易な説明:
Bの速度は東向きに \(15 \, \text{m/s}\) (\(+15 \, \text{m/s}\))、Cの速度は西向きに \(20 \, \text{m/s}\) (\(-20 \, \text{m/s}\))です。「Bから見たCの速度」を求めるには、Cの速度からBの速度を引きます。
計算式は、\((-20) – (+15)\) となります。
これは、\(-20 – 15 = -35\) となります。
この結果の \(-35 \, \text{m/s}\) は、Bから見るとCが西向き（負の向き）に \(35 \, \text{m/s}\) の速さで進んでいるように見えることを意味します。
- 観測者（B）の速度と、観測される物体（C）の速度を正しく把握する。
- 相対速度の公式 \(v_{BC} = v_C – v_B\) を適用する。
- 符号の計算を正確に行う。
Bから見たCの速度 \(v_{BC}\) は、西向きに \(35 \, \text{m/s}\) です。
(\(v_{BC} = -35 \, \text{m/s}\))
3. Cから見たAの速度 \(v_{CA} \, [\text{m/s}]\)
問われている内容の明確化:
自動車Cに乗っている人から見て、列車Aがどの向きにどれくらいの速さで運動しているように見えるかを求めます。
具体的な解説と計算手順:
Cから見たAの相対速度 \(v_{CA}\) は、Aの速度 \(v_A\) からCの速度 \(v_C\) を引いて求めます。
$$v_{XY} = v_Y – v_X$$
ここで、Xが観測者C、Yが物体Aにあたります。
$$v_{CA} = v_A – v_C$$
値を代入します:
\(v_C = -20 \, \text{m/s}\)
\(v_A = -30 \, \text{m/s}\)
$$v_{CA} = (-30 \, \text{m/s}) – (-20 \, \text{m/s})$$
$$v_{CA} = -30 \, \text{m/s} + 20 \, \text{m/s}$$
$$v_{CA} = -10 \, \text{m/s}$$
計算方法の平易な説明:
Cの速度は西向きに \(20 \, \text{m/s}\) (\(-20 \, \text{m/s}\))、Aの速度は西向きに \(30 \, \text{m/s}\) (\(-30 \, \text{m/s}\))です。「Cから見たAの速度」を求めるには、Aの速度からCの速度を引きます。
計算式は、\((-30) – (-20)\) となります。
マイナスの数を引くことは、その数を足すことと同じなので、\(-30 + 20 = -10\) となります。
この結果の \(-10 \, \text{m/s}\) は、Cから見るとAが西向き（負の向き）に \(10 \, \text{m/s}\) の速さで進んでいるように見えることを意味します。Aの方がCよりも速く西に進んでいるため、CからはAが自分よりさらに西へ \(10 \, \text{m/s}\) の速さで遠ざかっていくように見えます。
- 観測者（C）の速度と、観測される物体（A）の速度を正しく把握する。
- 相対速度の公式 \(v_{CA} = v_A – v_C\) を適用する。
- 符号の計算（特に負の数を引く場合）を正確に行う。
Cから見たAの速度 \(v_{CA}\) は、西向きに \(10 \, \text{m/s}\) です。
(\(v_{CA} = -10 \, \text{m/s}\))
問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 速度のベクトル性: 速度は大きさと向きを持つ量（ベクトル）です。1次元の運動では、正負の符号で向きを表すことができます。
- 相対速度: ある物体から見た他の物体の速度のことです。観測者の運動状態によって、同じ物体の運動も異なって見えます。
- 公式: \(v_{XY} = v_Y – v_X\) （Xに対するYの相対速度 = Yの速度 – Xの速度）
- 座標系の設定: 運動を記述するためには、基準となる座標系（どの向きを正とするかなど）を定めることが重要です。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 必ず向きを定める: 速度の問題では、まず正の向きを決めましょう。これにより、速度を符号付きの数値として扱え、計算が明確になります。
- 観測者を明確にする: 「誰から見た誰の速度か」を常に意識し、相対速度の公式の \(v_X\) (観測者)と \(v_Y\) (観測対象)を間違えないようにしましょう。
- 図を描いてみる: 状況が複雑な場合は、各物体の速度ベクトルを図に矢印で描いてみると、相対的な関係を理解しやすくなります。
- 日常的な感覚との照らし合わせ: 例えば、自分が乗っている電車から反対向きに進む電車を見ると非常に速く感じる、同じ向きに進む遅い車を見ると後ろに下がっていくように感じる、といった日常的な感覚と計算結果が合うか確認することも有効です。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 符号のつけ間違い: 最初に設定した正負の向きに従って、各物体の速度に正しく符号を付けないと、計算結果が大きく変わってしまいます。
- 相対速度の引き算の順序: \(v_{AB} = v_B – v_A\) であり、\(v_A – v_B\) ではありません。観測される物体の速度から観測者の速度を引く、という順序を覚えましょう。
- 絶対値だけで考えてしまう: 速さ（スカラー量）だけでなく、向き（ベクトル量）を考慮することが重要です。相対「速度」を問われているので、向きも答えに含める必要があります。
- 直感的な足し算・引き算の誤り: 例えば、A（西向き30）とB（東向き15）の場合、Aから見るとBは単純に \(30+15=45\) で遠ざかる、というように直感的にわかることもありますが、Bから見たC（B:東向き15、C:西向き20）のような場合に、どちら向きにどれだけかを正確に把握するには、やはり符号と公式を使った方が確実です。Cから見たA（C:西向き20、A:西向き30）のような同じ向きの場合も、Aの方が速いので、CからはAが同じ西向きに \(30-20=10\) で遠ざかるように見えます。これらの直感的理解も、符号を用いた計算で確認できます。