今回の問題
electromagnetic21【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「コンデンサーの合成容量と電圧・電荷の分配」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- コンデンサーの並列接続: 合成容量は単純な和 (\(C_{\text{並列}} = C_a + C_b\))。各コンデンサーの電圧は等しい。
- コンデンサーの直列接続: 合成容量の逆数が、各容量の逆数の和 (\(\frac{1}{C_{\text{直列}}} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b}\))。各コンデンサーの電気量は等しい。
- コンデンサーの基本式: \(Q = CV\)
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、まず\(C_2\)と\(C_3\)の並列部分を合成し、次にその合成容量と\(C_1\)との直列合成を計算して、回路全体の合成容量を求めます。
- (2), (3)では、まず回路全体に蓄えられる総電気量\(Q_{\text{total}}\)を計算します。この総電気量が\(C_1\)に蓄えられる電気量\(Q_1\)と等しいことを利用して\(V_1\)を求め、全体の電圧から\(V_1\)を引いて\(V_2\)を求めます。
- (4)では、(2), (3)で求めた電圧を用いて、各コンデンサーの電気量を\(Q=CV\)の式からそれぞれ計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
回路全体の合成容量 \(C\) を求めます。このような複合回路は、計算しやすい部分から段階的に合成していくのが定石です。この回路では、まず\(C_2\)と\(C_3\)の並列部分を一つのコンデンサーと見なします。
この設問における重要なポイント
- 複雑な回路は、単純な部分（並列や直列）に分けて段階的に合成していくこと。
- 並列接続は和、直列接続は逆数の和という公式を正しく使い分けること。
具体的な解説と立式
ステップ1: 並列部分の合成容量 \(C_{23}\) を求める
\(C_2\) と \(C_3\) は並列に接続されているため、その合成容量 \(C_{23}\) は単純な和で表されます。
$$C_{23} = C_2 + C_3$$
ステップ2: 回路全体の合成容量 \(C\) を求める
この \(C_{23}\) と \(C_1\) は直列に接続されています。したがって、回路全体の合成容量 \(C\) は、逆数の和で計算します。
$$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{23}}$$
使用した物理公式
- 直列接続: \(\displaystyle\frac{1}{C_{\text{直列}}} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b}\)
- 並列接続: \(C_{\text{並列}} = C_a + C_b\)
まず、\(C_{23}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
C_{23} &= 2.0 \, \mu\text{F} + 4.0 \, \mu\text{F} \\[2.0ex]&= 6.0 \, \mu\text{F}
\end{aligned}
$$
次に、全体の合成容量 \(C\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{23}} \\[2.0ex]&= \frac{1}{3.0} + \frac{1}{6.0} \\[2.0ex]&= \frac{2}{6.0} + \frac{1}{6.0} \\[2.0ex]&= \frac{3}{6.0} \\[2.0ex]&= \frac{1}{2.0}
\end{aligned}
$$
最後に逆数をとって、
$$ C = 2.0 \, \mu\text{F} $$
まず、並列になっている\(C_2\)と\(C_3\)を合成します。並列の場合は単純な足し算なので、\(2.0 + 4.0 = 6.0 \, \mu\text{F}\)です。次に、この\(6.0 \, \mu\text{F}\)のコンデンサーと\(C_1=3.0 \, \mu\text{F}\)が直列になっていると考えます。直列の場合は逆数を足すので、「1/3.0 + 1/6.0」を計算して「1/2.0」となります。最後に逆数に戻すと、全体の合成容量は \(2.0 \, \mu\text{F}\) となります。
ad間の合成容量は \(2.0 \, \mu\text{F}\) です。
問(2), (3)
思考の道筋とポイント
コンデンサー \(C_1\) にかかる電圧 \(V_1\) と、並列部分にかかる電圧 \(V_2\) を求めます。まず回路全体を一つのコンデンサーと見なし、蓄えられる総電気量を計算します。その後、直列接続の性質を利用して電圧を分配します。
この設問における重要なポイント
- まず回路全体の総電気量を求める。
- 直列接続では、各部分に蓄えられる電気量は総電気量に等しい。
- 直列接続では、全体の電圧は各部分の電圧の和になる。
具体的な解説と立式
ステップ1: 回路全体の総電気量 \(Q\) を求める
(1)で求めた全体の合成容量 \(C\) と電源電圧 \(V\) から計算できます。
$$Q = C V$$
ステップ2: \(C_1\) の電圧 \(V_1\) を求める
\(C_1\) は、この合成コンデンサーの直列部分を構成しているため、\(C_1\)に蓄えられる電気量 \(Q_1\) は、この総電気量 \(Q\) に等しくなります。
$$Q_1 = Q$$
したがって、\(C_1\)にかかる電圧 \(V_1\) は、基本式 \(Q_1 = C_1 V_1\) を変形して求められます。
$$V_1 = \frac{Q_1}{C_1}$$
ステップ3: 並列部分の電圧 \(V_2\) を求める
\(C_1\) と並列部分（bc間） は直列に接続されているため、それぞれの電圧の和が全体の電圧 \(V\) になります。
$$V = V_1 + V_2$$
この式を \(V_2\) について解きます。
$$V_2 = V – V_1$$
使用した物理公式
- コンデンサーの基本式: \(Q=CV\)
- 直列接続の性質: \(Q_1=Q_2=Q\), \(V=V_1+V_2\)
総電気量 \(Q\) の計算
$$
\begin{aligned}
Q &= (2.0 \times 10^{-6}) \times 300 \\[2.0ex]&= 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
\(V_1\) の計算 (問2)
\(Q_1 = Q = 6.0 \times 10^{-4}\) C, \(C_1 = 3.0 \times 10^{-6}\) F なので、
$$
\begin{aligned}
V_1 &= \frac{Q_1}{C_1} \\[2.0ex]&= \frac{6.0 \times 10^{-4}}{3.0 \times 10^{-6}} \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{2} \\[2.0ex]&= 200 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
\(V_2\) の計算 (問3)
$$
\begin{aligned}
V_2 &= V – V_1 \\[2.0ex]&= 300 – 200 \\[2.0ex]&= 100 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
まず回路全体にたまる電気量を計算します。次に、その電気量を使って \(C_1\) の電圧 \(V_1\) を求めます。全体の電圧は300Vなので、残りが \(C_2, C_3\) の部分にかかる電圧 \(V_2\) となります。
ab間の電位差は200V、bc間の電位差は100Vです。
問(4)
思考の道筋とポイント
3つのコンデンサーそれぞれに蓄えられている電気量を求めます。これまでの計算で、各コンデンサーにかかる電圧がすべて判明しているので、それぞれのコンデンサーについて \(Q=CV\) を適用するだけです。
この設問における重要なポイント
- \(Q_1\) は回路全体の総電気量に等しい。
- \(C_2\) と \(C_3\) には共通の電圧 \(V_2\) がかかる。
具体的な解説と立式
- \(Q_1\): (2)の計算過程で求めた総電気量 \(Q\) に等しいです。
- \(Q_2\): \(C_2\) にかかる電圧は \(V_2\) です。
$$Q_2 = C_2 V_2$$ - \(Q_3\): \(C_3\) にかかる電圧も \(V_2\) です。
$$Q_3 = C_3 V_2$$
\(Q_1\) の計算
(2)の計算過程より、
$$ Q_1 = Q = 6.0 \times 10^{-4} \, \text{C} $$
\(Q_2\) の計算
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= (2.0 \times 10^{-6}) \times 100 \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{-4} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
\(Q_3\) の計算
$$
\begin{aligned}
Q_3 &= (4.0 \times 10^{-6}) \times 100 \\[2.0ex]&= 4.0 \times 10^{-4} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
各コンデンサーについて「電気量 = 電気容量 × 電圧」を計算します。\(C_1\) にかかる電圧は200V、\(C_2\) と \(C_3\) にかかる電圧は100Vです。
各電気量は \(Q_1 = 6.0 \times 10^{-4}\) C, \(Q_2 = 2.0 \times 10^{-4}\) C, \(Q_3 = 4.0 \times 10^{-4}\) C です。
検算として、並列部分では電荷が保存されるはずなので \(Q_1 = Q_2 + Q_3\) が成り立ちます。\( (2.0 + 4.0) \times 10^{-4} = 6.0 \times 10^{-4} \) となり、\(Q_1\) の値と一致するため、計算は正しいことが確認できます。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- コンデンサーの合成と電圧・電荷の分配法則:
- 核心: この問題は、直列・並列が組み合わさった回路を、部分ごとに単純化（合成）していくことで解析できることを理解しているかが核心です。そして、直列接続では「電荷が等しい」、並列接続では「電圧が等しい」という、それぞれの接続方法における物理量の分配ルールを正しく適用することが求められます。
- 理解のポイント:
- まず回路全体を一つのコンデンサーと見なして、全体の電気量を求める。
- 次に、その電気量や電圧が、回路の各部分にどのように分配されるかを、接続のルールに従って考えていく。
この「全体から部分へ」という思考の流れが、コンデンサー回路の解析の基本です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 電圧分配則（直列）: (2)と(3)は、電圧分配の法則を使えばより速く解けます。\(C_1\) と \(C_{23}\) の容量比は \(3.0:6.0 = 1:2\) です。直列接続では電圧は容量の「逆比」に分配されるので、電圧比は \(V_1:V_2 = 2:1\) となります。全体の電圧 300V を \(2:1\) に分けるので、\(V_1 = 300 \times \frac{2}{2+1} = 200\) V、\(V_2 = 300 \times \frac{1}{2+1} = 100\) V とすぐに計算できます。
- 電荷分配則（並列）: (4)の \(Q_2, Q_3\) は、\(Q_1\) が \(C_2\) と \(C_3\) に分配されると考えることもできます。並列接続では、電気量は電気容量の「比」に分配されます。\(C_2:C_3 = 2.0:4.0 = 1:2\) なので、\(Q_1=600\,\mu\text{C}\) を \(1:2\) に分けると、\(Q_2 = 600 \times \frac{1}{1+2} = 200\,\mu\text{C}\)、\(Q_3 = 600 \times \frac{2}{1+2} = 400\,\mu\text{C}\) と計算できます。
- 初見の問題での着眼点:
- 回路の構造を把握する: どこが直列で、どこが並列になっているかを正確に見抜きます。必要なら回路図を自分で書き直します。
- 単純な部分から合成する: 最も内側にある単純な並列または直列の部分から合成を始め、段階的に回路全体を一つのコンデンサーに単純化していきます。
- 全体から部分へ: まず全体の合成容量と総電荷を求め、そこから各部分の電圧や電荷を分配法則に従って計算していく、という流れを意識します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 直列と並列の公式の混同:
- 誤解: 抵抗の合成のイメージから、直列を和、並列を逆数の和としてしまう。
- 対策: 「コンデンサーは抵抗と逆」と覚えるか、「並列は面積増→容量増（和）」「直列は距離増→容量減（逆数の和）」と物理的イメージで覚えましょう。
- 直列接続の性質の誤解:
- 誤解: 直列接続なのに、各コンデンサーにかかる電圧が等しいと考えてしまう。
- 対策: 直列接続で等しいのは「電気量」です。電圧は電気容量の逆比に分配されます。
- 並列接続の性質の誤解:
- 誤解: 並列接続なのに、各コンデンサーに蓄えられる電気量が等しいと考えてしまう。
- 対策: 並列接続で等しいのは「電圧」です。電気量は電気容量の比に分配されます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- なぜ直列では電荷が等しいのか？:
- 選定理由: これは電荷保存則の現れです。
- 適用根拠: 直列に接続されたコンデンサーの間をつなぐ導線部分は、回路全体から見ると電気的に孤立しています。最初は電気的に中性（電荷0）なので、充電後もこの部分の総電荷は0でなければなりません。一方のコンデンサーの＋極板に \(+Q\) が蓄えられると、静電誘導で向かいの極板に \(-Q\) が現れます。この \(-Q\) は孤立部分から供給されるため、孤立部分のもう一方のコンデンサーの極板には \(+Q\) が残ります。このプロセスが繰り返され、結果的に直列につながったすべてのコンデンサーに同じ大きさの電荷 \(Q\) が蓄えられます。
- なぜ並列では電圧が等しいのか？:
- 選定理由: これは電位の定義に基づいています。
- 適用根拠: 並列接続では、各コンデンサーの両端が、それぞれ共通の2本の導線に接続されています。導線内はどこでも電位が等しい（等電位）と見なせるため、各コンデンサーの両端の電位差（電圧）は、必然的にすべて等しくなります。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位をそろえて計算する: この問題では、容量を \(\mu\)F のまま計算し、最終的な電荷の単位を \(\mu\)C とすることで計算を簡略化できます。しかし、エネルギー計算など、他の物理量と組み合わせる場合は、必ずF, C, Vなどの基本単位に直してから計算する癖をつけましょう。
- 検算の習慣: (4)で求めた \(Q_2\) と \(Q_3\) を足し合わせると、\(Q_1\) と一致するかを確認する（\(Q_1 = Q_2 + Q_3\)）。また、(2)と(3)で求めた \(V_1\) と \(V_2\) を足し合わせると、電源電圧 \(V\) と一致するかを確認する（\(V = V_1 + V_2\)）。このような検算を行うことで、計算ミスを大幅に減らすことができます。
- 和分の積の公式: (1)の直列部分の計算は、\(C = \frac{C_1 C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{3.0 \times 6.0}{3.0 + 6.0} = \frac{18.0}{9.0} = 2.0 \, \mu\text{F}\) のように、「和分の積」の公式を使うと、逆数をとる手間が省け、計算が速くなる場合があります。
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